問58

連立方程式を解く問題
<コメント>ひらめき&すっきり問題です☆中学校までの知識だけで、計算も比較的楽に解く方法があります!

問58

<追加コメント>通常の連立方程式の解き方である文字を1つにする解法を自分でも試してみましたが、途中であきらめました。

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> Wilsonic、shah-san、M.R、gb、くわがたお、いわちょ、coldia、スモークマン、fs (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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shah-sanさん

> こんばんは
>
> すいません、ギブアップです。
> 答えもわからんのに、コメです。
>
> ひらめき一発、だそうですが、私の固い頭では閃きませんでした。こういう時はしばらく休むのが一番でしょうねぇ。
> というわけで、閃きがないと解けんなぁ、あっはっは。なわけです。
>
> 難しいですねぇ。

こんにちは、問題をしっかり考えてもらえてうれしいです♪中学生までの簡単な計算の知識だけで解ける問題なのですが、かなり難しいと思います☆難易度5にしようか迷ったぐらいです。以下ヒントになるかもしれない補足です♪

答えは実は4つとも整数になり、1通りしかありません!

もし解けていなくても、何かコメントをいただければ、ヒントか何か言うこともできます☆たしかにこういったひらめき重視の問題は、休憩したから良いアイデアが浮かぶこともありますよね♪あともしかしたら高校や大学の知識でも解く方法があるかもしれませんし(自分ではまだそんな方法は見つけていませんが)、答えの数字だけ先に見つけて後から導き方をこじつけるのもありかもしれませんね!

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Wilsonicさん

> う~む…最初にやったときは8次方程式とかすごいのがでてきた
> ので、方針を変えて因数定理の要領でcを1個決めてみたら、
> なんとかできました。
> (模範解答はこれじゃあないんだろうなぁ、等と思いつつ…)

正解です♪この問題最初の正解者ですね☆ただWilsonicさんの方法だと、他に解がないことを証明できていないと思います。cを1個決めましたが、全て二次方程式なのでcの解が他にもあるかもしれません。(1つしかないとコメントしていますが)

たしかに通常の解き方では、文字1つの式にまではできるものの、ものすごい方程式になってしまい解けそうにありませんでした(笑)おそらくほとんどが虚数解になることを示せばいいのですが、別解がないかまだ自分でも検討中です!

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> すいません、と毎回言っている気がしますが、今回は(も?)大ポカ。
> 問題の式を写す際に、符号を1か所間違えてました。

こんばんは、さすがですね!正解です☆当初予定していた解法とは違いますが、自分でも文字を1つにする方法も試していて、15次方程式が出てきたところであきらめていました!

お願いなのですが

 いつもありがとうございます。
 ちいぼうのタイ日記、ちいぼうと申します。
 実はこの58番の問題につき拙ブログの
 トピックで掲載させていただきたいのですが
 ご了解いただけますでしょうか。
 よろしくお願い致します。
 

ちいぼうさん

ご訪問とご連絡ありがとうございました!できるだけ多くの方々に楽しんでもらえるとうれしいので、ぜひ紹介してくださいね☆問題を気に入ってくれてありがとうございます♪

ありがとうございます

 さっそくご了解いただきありがとうござました。
 10月28日12:00(TH)のUpdateで使わせて
 いただきました。
 
 なにか小学校程度の算数はありませんか(笑)

ちいぼうさん

>  さっそくご了解いただきありがとうござました。
>  10月28日12:00(TH)のUpdateで使わせて
>  いただきました。
>  
>  なにか小学校程度の算数はありませんか(笑)

ありがとうございます!小学生の算数で解ける問題、たくさんありますよ♪右側にあるカテゴリの中の、算数•中学数学や数理パズルは、小中学生までの知識で解けます☆小学生に限定すれば、例えば問10、問13、問21、問39、問42、問47、問52、問54、問57などは、公式などは必要なくほとんど通常の掛け算や割り算だけで解けますよ!おすすめは問42、問47、問57などですね。

ただこれらは他と比べて難易度は低くなってしまいます。他のカテゴリ内でも、いくつかの問題は文字式を使っているだけで、数字の羅列に変えたり、言い換えて小中学生でも問題の意味が分かるようにできるものもありますよ。これらは小中学生の知識だけで解けるけど、かなり難しいものもありますね☆問38などです。

まだまだ算数の問題のアイデアはあるのですが、後々のお楽しみということで♪

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M.Rさん

> 1次連立方程式なら解は一意に決まるはずですが2次なので他にある可能性が捨てられず…
> たぶん4つをうまく組み合わせて平方完成すればいいのではないかと推測はしましたが、複雑すぎて諦めました(TдT)


すばらしいです!この問題はまだ誰も正確な答えにたどり着けていないのですが、最も答えに近いところまで来ていますね!

解も合っていますし、推測も正しいので正解にしますね☆早く解答を掲載したい問題の一つです♪

>mm2445さん

ありがとうございます!それを聞いてまたやる気が復活(笑)
もうしばらく式をこねくり回してみます

M.Rさん

ぜひがんばってみてくださいね☆

gbさん

正解です!ただこの問題は連立方程式や2乗を知っている中学生なら、十分解ける問題ですよ☆

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^


くわがたおさん、おはようございます♪正解です!

この問題はくわがたおさんと同じように答えを見つけた方は多かったのですが、数学的に解いた(他に解がないことの証明を含む)方はまだいません☆

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いわちょさん

> 答えありきなのがバレバレですが(笑)


すばらしい、むしろ完璧ですね☆答えを見つけた方は多かったのですが、答えが1つしかないことを証明できた方は初めてですよ!解き方も答えありきですが、予定していたものと同じです♪さすがですね!

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coldiaさん

> 悩みに悩んだこいつがやっと解けました〜
>
> 第1式と第3式を見比べて
> a^2-b^2=c^2-d^2
> 第2式と第4式を見比べて
> a^2-c^2=b^2-c
> この2つを見比べると、
> c=d^2
> が分かります。
> これを第1式に戻すことで
> b=-c^2=-d^4
> が分かります。
> あとは第3,4式からb,cを消去し、aとdの連立方程式にすると
> a^2 = d^8+d^4-d^2
> a = d^8-d^2+d+2
> という連立2元8次方程式が出来ます(笑)
>
> ここからaを消去して16次方程式を作って解いてもいいんですが、解が全然見つからないので工夫しようと思いいろいろ考えてたんですけどかなり時間がかかってしまいました。
>
> 方針としては、適当に値を代入してるとd=-1がどうやら解だと分かり、そのときa=1なので
> 平方完成をして(a-1)^2<=0みたいな関係式を作ったり出来ないかというのを狙った変形をしました。
>
> 上の8次連立方程式で、下を2倍して引きます。すると
> a^2-2a = -d^8+d^4+d^2-2d-4
> 両辺に1を足して左辺を平方完成すると
> (a-1)^2 = -d^8+d^4+d^2-2d-3
> 左辺は実数の2乗なので必ず正で、これより
> -d^8+d^4+d^2-2d-3>=0
> →d^8-d^4-d^2+2d+3<=0
> であることが分かります。
> あとはこの8次不等式を解くのですが、なんと(d+1)で2回割ることができて
> (d+1)^2(d^6-2d^5+3d^4-4d^3+4d^2-4d+3)<=0
> となります。
>
> あとは後ろの6次式の処理です。
> dに何を代入しても0になる気配がなく、、、奇数次のときは必ず実根を持つので探さなければいけませんが偶数次だとすべてが虚根ということも有り得るのでそれを示してやろうと思いました。
> はじめはf(d)とおいて微分して示そうと思いましたがさすがに5次方程式解けなさそう(やってないけど)なので平方完成で処理しました。
>
> d^6-2d^5+3d^4-4d^3+4d^2-4d+3
> =(d^6-2d^5+d^4)+(2d^4-4d^3+2d^2)+(2d^2-4d+3)
> =d^4(d-1)^2+2d^2(d-1)^2+2(d-1)^2+1
> >=1
>
> となり見事に6次式の最小値が1 (d=1のとき) と分かりました。
> つまり正なので不等式を解く上では割ってしまうことができて、件の8次方程式は
> (d+1)^2<=0
> となります。
> この解はd=-1のみで、これを順々に戻していくことにより
> a=1, b=-1, c=1が分かります。
>
> 以上より解は(a,b,c,d)=(1,-1,1,-1)のみ。
>
> いかがですか?


これはおもしろい解き方ですね♪以前自分でも16次方程式の付近でいろいろ試していましたが、最終的にあきらめました(笑)目的な解だけ因数分解して、あとは平方完成とは!これまたすごいです!

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スモークマンさん

> 平方数だけが残るように式の差を作ると...
> b^2+c^2=a^2+d^2
> a^2+c=b^2+c^2
> so…c=d^2
> c^2+b=0
> b^2=a^2
> c=c^2
> so…c=1
> b=-1
> a=±1, d=±1
> a(a-1)=-1-d
> a=1, d=-1
> a=-1,d=-3・・・これは満たさず…


さすがですね!正解です☆

これはまだ出ていない解法ですね♪解答が掲載されている問題なので、答え以外をそのまま添付させていだきます。新しい解答なので自分でも確認したのですが、b^2=a^2のところだけ分かりませんでした!b^2=a^2をどうやって出したか、もし覚えていれば、ぜひ教えてください!

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fsさん

いいですね!正解です♪

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

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