問7

整数の証明の問題
<コメント>シンプルな問題ですが、解くのはかなり大変です。
問7

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> ダメ子、ダイちゃん♂、たみひかのろ、いわちょ、shah-san、しょー、M.R、スモークマン、coldia (敬称略)

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ダメ子さん

正解です!わかりやすい解説もありがとうございました。この問題が解けるとは天才です☆

> 問12難しいですね

問12のコメントもありがとうございます!「確率を求めよ」とは書いてないことがポイントかもしれませんね☆自分でも一つ一つ求めようとして、n=4,5ぐらいであきらめました。

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ダイちゃん♂ さん

正解です☆証明のわかりやすい説明もありがとうございました!

> 問5より早かったかも^^;
> ですが、閃くと気持ちいいですね♪
>
> 個人的には、面積の二問が計算が面倒そう・・・
> 問12は解ける気がしないです><
>
> 夜中に頭使いすぎたー
> おやすみなさいzzz

お疲れ様です☆面積の問題の計算は、もっとすぐに終わりますよ!例えばlogxの積分など、面倒な公式はカンニングOKです♪

問12は超難問の予定です!でも斬新な解き方をひらめけば、計算はすぐ終わりますよ☆

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たみひかのろさん

正解です!わかりやすい説明もありがとうございました☆さすがですね!

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いわちょさん

正解です☆完璧ですね!丁寧な証明をありがとうございました♪

次々と問題を解いてしまって、かなりの天才ですね!

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> 答えは、正の整数解a,b,cは存在しない。
>
> いつも回答の出てる問題の場合、一応解いてから皆様の解答を確認して、重複などないか確認するのですが。重複しない回答になるのは、やっぱり私が捻くれてるからでしょうか? ww
>
> X=b/a,Y=c/aとすると問題の方程式は、a>0なので、X^2+Y^2=7となる。よって問題は、円C:X^2+Y^2=7上に有理数を座標とする点(有理点)(X,Y)を求めよ、なければよそれを証明せよ、と言い換えられる。円は有理点を持たないか、持つなら無数に持つかであるので、問題の解は存在しないと予想する。以下、問題は正の整数に関するので、関連する数字は正とする。
>
> 円の半径rと円上(X,Y)の点はピタゴラス数から、2つの実数m,nを用いてr=m^2+n^2,X,Y=2mn,m^2-n^2で表し尽くすことができる(-√r<=m,n<=√rの範囲を左記のピタゴラス数の条件下で動かすと、円上の点が全て出尽くす)。今の場合、円C上に有理点(X,Y)を見つけたいので、m.nともに有理数であるか、(m,n)=(M√q N√q), (M√q N/√q), (M/√q N√q)(M,Nは有理数、qは有理数の2乗ではない有理数で√qが無理数)である。それぞれ2mn=2MNq,2MN,2MN、m^2-n^2=q(M^2-N^2),qM^2-N^2/q,M^2/q-qN^2で、2mn,m^2-n^2は有理数となる。しかし、r=m^2+n^2=√7なので、m.nともに有理数はあり得ない。それ以外の場合は、それぞれr=√7=m^2+n^2=q(M^2+N^2),qM^2+N^2/q,M^2/q-qN^2となって、右辺は全て有理数になるので、やはりあり得ない。
> 以上から、円C:X^2+Y^2=7上には有利点は存在せず、よって7a^2=b^2+c^2には整数解は存在しない。


こんばんは、これはきれいな証明方法ですね☆数字の計算ばかりの方法ではなく、文字だけでシンプルに解けるとは!m,nを使ったピタゴラス数の式は、高校で多分習わなかったと思いますが、高校生でも何の問題もなく理解できる内容ですね。

ほかの方とは別の方法を思い付くことは、新しい物や考え方を生み出すという意味で、普段の仕事や生活などにもかなり有用な才能だと思いますよ☆

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しょーさん

> 大変さって、面倒さですかねぇ??(^^;一般論を導いてそれを使わなきゃいけない厄介さがありましたし。。一瞬循環論法かと思ったんですがどっかで打ち止めになるかと思って一気に進みましたね。。思い切りも大事なのかなって思います。
>
> リンクにミスがあったのでこちらの解答でお願いします。 すみません。


丁寧な証明をありがとうございました☆完璧ですね、正解です♪

たしかに大変というのは言い過ぎでしたね!他の解答者の方も、それほど大変ではなかったと言っていました。高校時代に証明を習ったときの練習問題のようなシンプルな式の割に、大学入試レベルの解答となるという意味でした。もちろん結構面倒ですが。

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M.Rさん

> 問89の方で上げたフェルマーの二平方和定理(http://mathtrain.jp/twosquare)を使うと、「左辺は因数分解した時、4n+3型の素数(7)が奇数個あるので、平方数の和では表せない。」とすごくシンプルに解けますね(笑)


なるほど、ここにもフェルマーの二平方和定理が使えるんですね!しかも定理のみで証明終了とは(笑)すでに解答を掲載した問題ですが、おもしろい解答なので、そのままコメント欄に残しておきますね♪解答が載っている問題でも、今回みたいな別解などがあったらぜひ教えてください☆

No title

https://twitter.com/mathquestionakt/status/706248454452817920
こちらの問題でも使えますし、平方関連の問題で結構便利な定理ですよね(笑)

M.Rさん

たしかにいろんなところで使えそうですね!高校時代に習えば、役立ちそうですよね♪

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スモークマンさん

前半で、a=4m+2のときには両辺4の倍数になりうるので、証明不十分ですね。あとb=4m+2やc=4m+2のときも考慮していないので、不正解です。考え方は正しいので、答えが分かったらまた解答してくださいね!

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スモークマンさん

> みたいなのでは如何でしょうか知らん ^^;...


再解答ありがとうございました♪今回はOKです!正解ですね☆

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coldiaさん

> 両辺を7で割った余りを考えます。
> 左辺は7の倍数です。
> 平方数を7で割った余りは
> 1,4,2,2,4,1,0
> なので、平方数の和を7で割った余りが0となるのは
> その平方数がどちらも7の倍数であるときのみです。
> よって右辺のb,cはどちらも7の倍数です。
>
> よってb=7b',c=7c'とおくと
> 7a^2=49b'^2+49c'^2
> すなわち
> a^2=7b'^2+7c'^2
> この式に対し再び両辺を7で割った余りを考えると
> aが7の倍数であることが分かります。
> したがって、a=7a'とおくと
> 49a'^2=7b'^2+7c'^2
> すなわち
> 7a'^2=b'^2+c'^2
> となり同じ方程式が出現しました。
>
> 無限降下法(?っていうのかな?)が使える香りがしますね。
> 7a^2=b^2+c^2が解a,b,cを持つと仮定すると、a,b,cはすべて7の倍数となり、
> a=7a', b=7b', c=7c'を満たす整数a',b',c'が
> 7a'^2=b'^2+c'^2を満たします。
> a',b',c'は整数で上の式を満たしているので、a',b',c'はすべて7の倍数となり、
> a'=7a'', b'=7b'', c'=7c''を満たす整数a'',b'',c''が
> 7a''^2=b''^2+c''^2を満たします。
> この時点でa''はaから7が2つ取り除かれた整数です。
> これを繰り返すと、
> a''が7の倍数で、a''=7a'''とおけて、
> a'''も7の倍数でa'''=7a''''とおけて、…
> というように無限回の操作が可能で、任意のnに対して自然数a,b,cからn個の7を取り除いた、整数、すなわち
> a=7^n*a'''…' (プライムがn個)、b=7^n*b'''…'、c=7^n*c'''…'
> を満たす整数a'''…', b'''…', c'''…'が存在することになります。
>
> しかしa,b,cは自然数なのでたかだか有限個しか素因数7を持ちません。
> したがって、いくらでも7を取り除いて新たな整数を作ることができるという点が矛盾します。
> したがって、a,b,cは自然数の範囲に解を持たないことになります。
>
>
> プライムじゃなくて添え字にすればよかった。
>
> 無限うんぬんの話があまり馴染みのない点ですが、a,b,cを例えば有理数の範囲まで拡張すれば、(そもそも倍数の話が通用しなくなるのですが、)
> 同様に
> 7a^2=b^2+c^2が成り立つならば
> 7a'^2=b'^2+c'^2も成り立ちます。
> このとき a',b',c'が整数である必要がないため、
> 例えばa=2→a'=2/7→a''=2/49→…→a'''…'=2/7^n
> となり、任意のnに対してa'''…'を定義できるので(b,cも同様)、無限回操作を繰り返せるという部分と矛盾はしないのです。
> むしろ、この操作によって新たな有理解を生み出すことができるので、
> 無限回操作を繰り返せる→無限個の解を持つ
> という部分と対応することになります。
> (ただし、有理解を持つとはいってません、持たないことが否定できないだけです)
>
> これに対し、整数の範囲だと、例えば
> a=2*3^2*7^k→a'=2*3^2*7^(k-1)→a''=2*3^2*7^(k-2)→…→a''…'=2*3^2→a''…''=18/7
> のように無限に操作を繰り返すとあるタイミングで整数でないものが現れて矛盾が生じるのです。


「参考までに解がないことの、より確実な証明です☆」

bとcが7の倍数まではOKとします。b=7^n×B(Bは7の倍数ではない数)、c=7^m×C(Cは7の倍数ではない数)と書けます。ここでn>mとします(逆も同じなので)。またa=7^l×A(Aは7の倍数ではない数、ただしl=0もあり)。よって与式は7^(2l+1)×A^2=7^2n×B^2+7^2m×C^2。

① 2l+1>2n>2mのとき、7^2mで割ると、7^(2l+1-2m)×A^2=7^(2n-2m)×B^2+C^2となり、左辺は7の倍数ですが、右辺は7の倍数ではないので不適。
② 2n>2m>2l+1のとき、7^(2l+1)で割ると、A^2=7^(2n-2l-1)×B^2+7^(2m-2l-1)×C^2となり、右辺は7の倍数ですが、左辺は7の倍数ではないので不適。
③ 2n>2l+1>2mなども①同様7^2mで割ればよいので省略。

①から③より、n=mのみ。7^(2l+1)×A^2=7^2n×B^2+7^2n×C^2=7^2n×(B^2+C^2)。しかし右辺は7の偶数乗の倍数ですが、左辺は7の奇数乗の倍数なので不適。(B^2+C^2が7の倍数になるためにはBかつCが7の倍数にならなければならない。(この問題の前半で証明済み。))

よって解なし♪

だったような気がします。ずいぶん昔のことなので。どこかにメモしておけばよかった(笑)

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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