問55

レストランからの挑戦状
<コメント>最近文章問題が多いですね。証明することもできますが、もし答えだけ分かった場合でも正解にします。

問55

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> shah-san、たんめん老人、いろは、いわちょ、Wilsonic、くわがたお、coldia、スモークマン (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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答えじゃないけど……

えっ……最大ってことは、無量大数とかいる系の問題……!?( ゚д゚)
降参です(;´Д`A

藤崎 藍さん

そんなに大きい数字にはならないですよ☆数字が大きくなってくると、だんだん13と9だけでも取れる数字の割合が増えてくるんです♪そしてある数字を越えると全て取るようになるので、その最後の数字を探す問題です!

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> もう、開き直って、長さは気にしないことにしました。 ww

こんにちは☆すばらしい、正解です♪最初の正解者ですね!

ものすごい途中解答ですね!どんな方法でも正解ですが、もっとあっさり解く方法もありますよ♪

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> まぁ、最初に思いついた方法、次に思いついた方法・・・と試していきますから。
> 収集がつかなくなるまでは、一応それで押し通すので、
> 最初が良くないと、こうなっちゃうんですよね。
> 何通りか思いついてから、楽そうな方法を試せばいいんでしょうけど。
> 急がば回れ、ができない性格なんでしょうね。
>
> なが~~いのを丁寧に読んでいただき、
> いつもコメント、ありがとうございます。

こんにちは!いえむしろ予想外でおもしろい解答を楽しませてもらっていますよ☆丁寧な解説のおかげで、どのように解いたのかも理解しやすいです♪分かりやすい解答をいつもありがとうございます!

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たんめん老人さん

正解です!全ての数字を並べるのも、一つの作戦ですね☆ちょっと目的の数字を見つけるのに苦労するかもしれませんが。

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いろはさん

解答ありがとうございます!ただこれは13と9ではなくて、13と8の場合の解答ですね(笑)解き方も完璧で、もし問題が13と8ならたしかに83で正解なので、オマケで正解にしますね☆正解者リストにお名前を加えました♪

いろはさん

> 8と9を見間違えました。

再度解答ありがとうございました♪2つ目のコメントに気がつかず、先程返事をしてしまいました。13と9のときの答えも正解です☆

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いろはさん

> 正解頂きありがとうございます。
> 一般的な互いに素な自然数a.bで考えた時、表されない自然数の最大値は(a-1)(b-1)+1と表されるのでしょうか?

(a-1)(b-1)-1ですね。よく気がつきましたね!a,bが最小限1つある場合には表せない最大値はabになるので、どちらかが0もOKな今回の場合にはab-a-bと変形でき、(a-1)(b-1)-1と書くことができます♪

まいったなあ

 
こんにちは
どんなものかとお邪魔しましたが
やはり私には無理。
なぜなら私の数学は中学一年生で完全停止なのです。
したがって高校時代は各期のテストをパスするために
テスト前には数学担任の家を訪問しテストの内容を
横流ししてもらうありさまでした。
以降私の人生は文科系まっしぐらでした。
でもこのような問題がすらすら解けたら
楽しいでしょうね。

ちいぼうさん

こんにちは!訪問ありがとうございました☆

中には小学校までの知識でも解ける問題もありますが、中高生で数学を勉強していても難しい問題も多いです。

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いわちょさん

> こんな感じでしょうか
>
> 13のところにa、9のところにbとかおけば、そのまま一般化できますね(もちろんaとbが互いに素である必要はありますが)

正解です!丁寧な証明もありがとうございます☆

たしかにaとbが互いに素であれば、どんな組み合わせでもすぐ解けますね♪さらにaとbが少なくとも1以上ある場合でもほぼ同じで、むしろもっと簡単になります!

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shah-sanさん

> こんばんは

こんばんは。互いに素な2つの自然数x,yで表せない数字の最大値の証明を使った解答をありがとうございます!ただこの式は問題掲載段階では制作者自身も実は知らなかったので、別のいくつかの解答を予定していました。掲載した後、何かありそうだと自分で調べて、後々この方法もあることに気がつきました。つまりこの式を使って解く、またはこの式を証明してから使って解く、という答え以外にも導く方法はあります♪

1つは上記の証明を、全てのx,yではなく、13と9のみで証明してから使うというパターンです。具体的な数字なので、説明や計算がもっと楽になるかもしれません。

2つ目はshah-sanさんの最初の解答と少し重なるところもあります。13の倍数である13,26,39,52,65,78,91,104は9で割ると4,8,3,7,2,6,1,5となる。よって104以上は全て13x+9yで表せる。96から103の9で割った余りは5以外なので、13x+9yで表せる。よって96以上も全て13x+9yで表せる。(もちろんshah-sanさんの解答より説明をかなり省いているため、shah-sanさんの解答の方が丁寧で優れているのですが。)

3つ目は数学的ではありませんが、問題作成段階に考えていた方法です。まず最大値pは、13x9より少し小さい数字が怪しいと勘で予想する。最大値pを運良く見つけたら、p+1からp+9までが13x+9yで表せることを確認する。p+10以上はp+1+9となり、p+1からp+9までが13x+9yで表せれば、全て13x+9yで表せことになる。

よって以前の「あっさり」というのは言い過ぎでした。すみません、反省しています。shah-sanさんの最初の解答も、解説が丁寧なので少し長い印象を受けましたが、それほど計算が大変というわけでもないですよね!今後もいろんな別解を期待しています☆

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 「あっさり解ける」と言うと、もっとすっきりした綺麗な証明があると思いますよね。なので、検討したくなるんですよ。数学の問題の回答って、すっきりシンプルな方がスキッとするじゃないですか。
>
> ただ、肝心の「それ以上の自然数は常に分解できる最小のN」を求めるのには、役に立ちそうもありません。多少分解の計算が楽になるかなぁという程度ですが、一応こんな感じです。ご参考まで。

こんにちは、新しい別解を丁寧な説明で送ってもらいありがとうございます☆

ベクトルの内積に見立てて、幾何学として解く方法ですか!かなり斬新な解法ですね!たしかにshah-sanさんの言う通り、この方法で大きい数字が常に分解できることまで証明するのは難しそうですね。

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Wilsonicさん

> 数が大きかったのもあってか、検証するのが大変でした(汗
> 数え漏れがあるかもしれません。

数え漏れもなく、正解ですよ!ちょっと探すのが大変そうですが、確実な方法ですね♪

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^

くわがたおさん、おはようございます☆いいですね、正解です!

答えを仮定して、+1から+9まであることを確認すれば証明になります。(それ以降はさらに+9するだけなので)

No title

http://mathtrain.jp/frobeniuscoin
こんな綺麗な証明があるようですよ

M.Rさん

背理法を使った証明もあるんですね!意外と簡単でおもしろいです♪教えてもらいありがとうございます!

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coldiaさん

> なんかうろ覚えだったので1次不定方程式をちょっと勉強してきましたー。


117は9×13やなので、むしろ2通りで成り得ますよ(笑)mやnは自然数のみではなく、0もあります!

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coldiaさん

> 本当だ(笑)
>
> 珍しく検算を怠りました(笑)


再解答ありがとうございました!正解です☆

ちなみに問題を掲載した後に見つけましたが、互いに素な自然数a,bでは、a,bが最小限1つある場合に表せない最大値はa×bとなるようです。今回のようなどちらかが0もOKな今回の場合には、a×bからaとbを引いたa×b-a-bと書くことができます♪

No title

>mm2445さま

そんな式が成り立つんですね!後で証明して、一人で感慨に浸っておきますね!(笑)

coldiaさん

> >mm2445さま
>
> そんな式が成り立つんですね!後で証明して、一人で感慨に浸っておきますね!(笑)


ぜひ考えてみてくださいね☆

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スモークマンさん

> ね ^^


いいですね、正解です♪この問題を出したときは知らなかったのですが、スモークマンさんのように一般的に出す式があるみたいですね☆

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

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