問53

蚊取り線香で測れる時間
<コメント>蚊取り線香2個で45分を測るのは有名問題ですね☆蚊取り線香は説明の関係上、直線にしています。

<追加コメント>100個はちょっと無理があったので10個にしましたが、それも無理があったので5個に変更しました!!問題制作者も何度も見落としてしまいましたので、見逃しには気をつけてください(笑)

問53-最終

問53-2

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> たけちゃん (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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フェアリーグランマさん

今回は結構難問です♪とりあえず100本のことは忘れて、蚊取り線香がもし3本あったら何分が測れるか考えてみるのはどうでしょう?もちろん2本のときの15,30,45分と1時間,1時間半,2時間は測れます(1本使わなければよいだけなので)。例えばそれ以外に3時間も測れますよね。3時間以外にもまだいくつかありますよ☆

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 問題文の「同時に何か所でも点火できる」というのが引っ掛かりまして。任意の場所に正確に点火できるなら、どんな時間も計測できてしまうので(1/p時間を計測するなら全体の1/pのところと近接する端に同時に点火すればよい)。なので、例題通りに「同時に何本でも点火していい」が、「点火場所は(燃え)残っている線香の端のみで、点火のタイミングは線香で計測する」と解釈しました。また、「点火は、最初と、ある線香が燃え尽きた時点でのみ可能」「計測可能な時間は線香に点火した時点、あるいは燃え尽きた時点から、別の線香でも構わないが、ある線香に点火または燃え尽きた時点までの連続した期間とする」の2条件があるものとする。
>
> これで終わりだといいのだが、まだ続きがある。例えば、n本で計測できる∑(n=i~j)2^(-n)時間の(1/2)の冪乗の間を飛ばすこと、例えば2^(-2)+2^(-4)が計測できないかということである。実は線香の本数が多ければ可能で、例の場合は、まず1-2^(-2)=2^(-1)+2^(-2)と1時間(差が2^(-2)時間)を同時に計測開始する(線香は2本で同時計測できる)。1-2^(-2)時間が経過したら、そこから2^(-4) 時間を計測するための線香に点火する(線香4本)。最初から1時間が経過したら新たに1時間を計測開始する(線香1本)。2^(-4)時間の計測開始(つまり最初から1-2^(-2)+1-2^(-4)時間)から途中から始めた1時間の計測終了(1+1=2時間)までの経過時間が2^(-2)+2^(-4)時間となる。使用する線香は2+4+1=7本である。
> こんなとこです。
>
> すいません
>
> 自力で見つけた間違いが1つ。
> n=100の時を計算する前後で、式を立てる時の勘違い。
> 和を重複して取ってました。
>
> というわけで、この段階でもn=100だと171800通りもあるらしい、です。

こんにちは!詳しい説明をありがとうございます♪当初は途中経過にある171800通りが答えの予定でした。たしかにshah-sanさんの解答の続きにあるような、2^(-2)+2^(-4)などもありますね。完全に見逃していました。よく見つけましたね!

n=100では無理そうなので、問題を蚊取り線香10個で何通りか求める問題に変更しようと思います!10個ぐらいなら、2^(-2)+2^(-4)のような見逃しも追加で数えられる程度なので、同じ方法でも解けると思います☆

あと確認なのですが、2^(-2)+2^(-4)に必要なのは8本だと思ったのですが、もしまたこちらが見逃していたら教えてもらえると助かります。2^(-2)と1は2本では同時に測れないような気がします。

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> はい、すいません。2^(-2)+2^(-4)の計測には線香8本必要です。勘違いしてました。途中だと、考えが練れてないですねぇ。
> こんな図でわかりますかね? ワードか何かに貼り付ければ、レイアアウト崩れも少ないと思います。

こんにちは。わかりやすい図での説明をありがとうございました☆この発想を完全に見逃していましたね。教えてもらったときは驚きました!

shah-sanさんのおかげで、問題のミスを修正できたので助かりました♪では100本だと2^(-2)+2^(-4)時間などを見つけていくのがほぼ不可能なので、このような時間をなんとか数えることができる10本にしますね☆

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野の花さん

> 全く自信がないので答えのみ書きます。

こんばんは!残念ながら不正解です。もっとかなりたくさんあるんですよ。

何度でも解答できるので、もし分かったらまた解答してくださいね☆

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^
>
> 理由:数えてみたら、3つのとき13とおり、4つのとき32とおりありました。13=3^2+2^2、32=4^2+2^3なので、答えは10^2+2^9と推測した為。なぜそうなるかは説明できません。m(__;m

くわがたおさん、おはようございます♪

n^2+2^(n-1)とはおもしろい推測ですね!たしかに3つのときまで合っていました☆ただ4つのときは計算上4^2+2^3=24ですが、実際に数えると25通りのはずです。もしかしたら(1/8+1/16)時間を4本で測ったあとに、(1/2)時間を1本で測る(1/2+1/8+1/16)時間を見落としているかもしれません!

解答が合っているか不安なので、ぜひ解いてもらいたいですね☆

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> うひゃ~。
> 前回からの続きなんですが、途中までは線香100本を考えていたので、もう大変なことになってます。 ; (A・ω・)
> 追加分も結構理解が面倒かと思って書いたら、やっぱりめっちゃ長くなりました。それで出てきたのは1通りだけ。大山鳴動して鼠1匹、でした。
> 30分を勘定する際の扱いも、ちゃんと考えないといけないし、
> 計測方法も考えないといけないので、
> めっちゃレベルの高い問題なのではないでしょうか。
> あっさり簡単に解けたら、解き方教えてください。

こんにちは!丁寧な解答をありがとうございました。100のときの見逃しがあったため、ものすごい問題になってしまいましたね!難易度を5に変えようと思っています☆shah-sanさんのように、数列として解く部分と数列の見逃しを見逃さないように場合分けをして解くしかないですね。多少の効率の違いはあると思いますが。

とりあえずshah-sanさんの答えには、例えば4本のときに2^(-1)+2^(-3)などの見落としがあるのではないでしょうか。2^(-3)を3本で測ったあとに2^(-1)を測って、4本で2^(-1)+2^(-3)を測れます。同様に5本で2^(-1)+2^(-4)を測れます。

現在こちらでも解答をもう一度確認中です(笑)また追加で返事するかもしれません。

shah-sanさん

かなり難しくて見逃しやすい問題になってしまいましたね!自分でも正確な答えにたどり着いたのか不安ですが、解答者の方々と力を合わせて、正確な答えを導きたいと思っています☆

先程の返信の2^(-1)+2^(-3)以外にも、見落としと思われるところを3点見つけました。

1) 解答に2^(-3)+2^(-5)と2^(-1)が不連続になるから除外とありましたが、10本でできると思います。まず2^(-3)を測るときに2^(-1)が終わった時点で1時間+1時間を開始し、2^(-3)の後に2^(-5)を測ります。そうすると1+1の終了と2^(-5)の終了の差が2^(-1)+2^(-3)+2^(-5)になります。

2) y=9は1時間と1/2時間の追加以外に、1+1/2時間の追加もありそうです。上記の2^(-1)のずらして開始することで1/2時間が追加され、残りの1本で1時間を測って、合計1+1/2時間が追加できます。よってy=9は2×3+2=8通りかなと思います。

3) 後半の1.01011の1通りの追加ですが、y=9の2^(-2)+2^(-4)+2^(-5)に1時間を追加したときとかぶっています。なので多分追加はなしですね。

あまりに問題が複雑で、こちらに勘違いがあるかもしれないので、指摘が間違っていたらすみません。なんとかこの難問を攻略したいですね♪

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> すいません。自分で計測できるとか言いながら数え落とし。今度は虱潰しで勘定しますよ。ここまできたら、何とか正解に辿り着きたいものです。

こんにちは!予想外のものすごい問題になってしまいました☆ここまで来たらなんとか答えを明らかにいしないとすっきりできないですね。

まず2^(-1)+2^(-2)+2^(-4)時間についてですが、7本ではなく6本でもいけるのではないでしょうか。2^(-4)時間を4本で測った後に2^(-2)を2本で測ると、後半が2^(-4)+2^(-1)+2^(-2)時間になります。またshah-sanさんの答えは、こちらで出した答えよりも100通りぐらい少なくなっています。


現在こちらで考えている解答はこんなかんじです☆shah-sanさんの図が分かりやすいので、少し真似しますね♪

場合分けA:シンプルな連続の時間、つまりshah-sanさんが求めた(1/2)x+∑(k=i~j)2^(-k)の形式
これはshah-sanさんの答えと一致しているので省きます。

場合分けB:前半と後半の時間を繋げるパターン
具体的な点火の順番の例:③から⑤で2^(-3)+ 2^(-1)時間
①●●●●●●②②●●●●●●①

①●●●●●●●●●●③③●●②
①●●●●●●●●●●●③④④③
④●●●●●●⑤⑤●●●●●●④
例えば4本のとき、2^(-3) 時間を3本で測った後に2^(-1)時間を測ると、2^(-3)+ 2^(-1)時間を測れます。同様に5本のとき、2^(-4) 時間を4本で測った後に2^(-1)時間を測ると、2^(-4)+ 2^(-1)、2^(-3)+ 2^(-4)+ 2^(-1)時間を測れます。
合計6本ぐらいからは複雑で、2^(-5) 時間を5本で測った後に2^(-1)時間を測ると、2^(-5)+ 2^(-1)、2^(-4)+ 2^(-5)+ 2^(-1)、2^(-3)+ 2^(-4)+ 2^(-5)+ 2^(-1)時間を測れます。さらに2^(-4) 時間を4本で測った後に2^(-2)時間を測ると、2^(-4)+ 2^(-1) + 2^(-2)時間を測れます。規則性があるので、効率よく探せます。

場合分けC:3回シリーズ連続で測るパターン
具体的な点火の順番の例:③から⑦で2^(-4)+ 2^(-1) + 2^(-2) + 2^(-1)= 2^(-4)+ 2^(-2) + 1時間
①●●●●●●②②●●●●●●①

(2本省略)
①●●●●●●●●●●●●⑤⑤③
⑤●●●●●●⑥⑥●●●●●●⑤
⑤●●●●●●●●●●⑦⑦●●⑥
⑦●●●●●●⑧⑧●●●●●●⑦
例えば7本のとき、2^(-4) 時間を4本で測った後に2^(-2)時間を2本で測り、さらにその後と2^(-1)時間を1本で測ると、2^(-4)+ 2^(-1) + 2^(-2) + 2^(-1)= 2^(-4)+ 2^(-2) + 1時間を測れます。
8本になると上記に1を足した2^(-4)+ 2^(-2) + 2時間を測れます。ただし上記に2^(-1)を足すと、 2^(-4)+ 2^(-2) + 1+ 2^(-1)となり、場合分けBとかぶります。
例えば9本になると、2^(-6) 時間を6本で測った後に2^(-2)時間を2本で測り、さらにその後と2^(-1)時間を1本で測る、2^(-6)+ 2^(-1) + 2^(-2) + 2^(-1)= 2^(-6)+ 2^(-2) + 1時間以外にも、2^(-5) 時間を5本で測った後に2^(-3)時間を3本で測り、さらにその後と2^(-1)時間を1本で測る、2^(-5)+ 2^(-3) + 2^(-2) + 2^(-1) + 2^(-1)= 2^(-5)+ 2^(-3) + 2^(-2) + 1時間なども測れます。

場合分けD:2つのシリーズで測るパターン
具体的な点火の順番の例:⑧から⑨で2^(-2)+ 2^(-4)時間
①●●●●●●●●●●●●●●●④●●●●●●●●●●●●●●⑨
①●●●●●●②②●●●●●●①

①●●●●●●●●●●③③●●②
③●●●●●●⑤⑤●●●●●●③
(2本省略)
③●●●●●●●●●●●●⑧⑧⑦
以前議論した、8本で2^(-2)+2^(-4)時間などを測るパターンです。ただし2^(-2)+2^(-4)+1時間などは場合分けCとかぶる。このパターンは多分4通りのはず。また前回議論した2^(-1)+2^(-3)+2^(-5)の1通りあり、場合分けDは合計5通り。

まだ見逃しや重複がないか確認中ですが、今のところこんな感じの予定です♪

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^
>
> 答えはまだなのですが、数えてみたら4本のとき25とおりではなく、32とおりでした。以下に書きますので、あやしいのがあれば教えていただけると幸いです。m(__;m
>
> 1/16、2/16、・・・、16/16、18/16、20/16、21/16、・・・、24/16、26/16、28/16、30/16、32/16、34/16、36/16、40/16、48/16、52/16、64/16っす。

くわがたおさん、おはようございます!この問題は自分でも混乱していて、答えが正しいのかまだあやしい状況です(笑)何とか解答者の方々と答えが一致すれば安心できるんですが。

途中解答ありがとうございます♪2ヶ所の時間を組み合わせればできそうですが、数えるのは連続した時間のみですよ。くわがたおさんの答えの中のまず1以下のときですが、1/16や15/16などは測れますが、9/16や11/16や13/16は測れないような気がします。1以上のときは、21/16や26/16も無理だと思いますね。あと以前お伝えした4本のときは25ではなくて26の間違いでした。すみません。

答えは1つに決まるはずの問題なので、何とか正しい答えを見つけたいですね☆

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^
>
> またまた一部で申し訳ございませんが、私の思う9/16と11/16を以下に書いて見ます。
>
> 自分で数えるときは絵を描いたのですが、、伝え方がむずかしいのですが、、伝え方の説明をさせていただきます。m(__;m
>
> ・蚊取り線香1本目を①とその直後に続く1対の大カッコで表します。
> ・蚊取り線香への点火時刻を大カッコの中に1番目に書きます。
> ・蚊散り線香の燃え尽き時刻を大カッコの中に2番目に小カッコで囲って書きます。
> ・蚊取り線香の残りの端に点火した場合、大カッコの中に3番目に書きます。
> ・いずれの時刻も、1本目の最初の点火時刻0からの経過時間を書きます。単位は1時間です。
>
> 例:蚊取り線香が1本の場合、①[0,(1)],①[0,(1/2),0]により、2とおり。
>
> では、 9/16。
> ①[0,(1/2),0],②[0,(3/4),1/2],③[1/2,(9/8),3/4],④[1/2,(21/16),9/8]。ここで、21/16-3/4=9/16となる。
>
> 次に、11/16.
> ①[0,(1/2),0],②[0,(3/4),1/2],③[1/2,(9/8),3/4],④[3/4,(23/16),9/8]。ここで、23/16-3/4=11/16となる。
>
> 私は何か勘違いをしているのでしょうか?^^;

くわがたおさん、おはようございます!途中解答の補足をありがとうございます☆たしかにこの方法なら9/16や11/16など、もっといろいろ測れますね♪さすがですね、全く気がつきませんでした。そうなると10本はさすがに数えられそうにないので、問題を5本ぐらいにした方がよさそうです。こちらでもう一回考えてみてから問題を修正しようと思います!

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shah-sanさん

> おはようございます
>
> すいません。
> 力尽きた問題でした。
>
> いつの間にか5本になってましたねぇ~
> これなら何とかなったかも。
> 妙な計測方法がだいぶ削れそうですし。
>
> 解けてないですけど、
> まぁ、とにかく大変な問題でした。
> 解答の作成、ご苦労様でした。


おはようございます!shah-sanさんには何度も考えていただいたのに、結局ほかにも見逃しの数え方があるという、ミスを連発してしまった問題でした。5本でも数えるのがかなり大変でしたが、何とかがんばりました♪

承認待ちコメント

このコメントは管理者の承認待ちです

ひぐちくんさん

解答ありがとうございます♪それ以外にもまだまだありますよ!

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

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