問52

自然数の和と積
<コメント>全て見つけたら正解の問題ですが、今回は答えが5つもあります☆

問52

<問題の確認>25個ではなく、例えば2個の場合は、2と2ですね。2+2=4, 2×2=4なので一致します。例えば3個の場合は、1と2と3ですね。1+2+3=6, 1×2×3=6なので一致します。25個からではなく、小さい個数をまず試してみるのも一つの手ですね♪

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> Mercy、shah-san、たんめん老人、くわがたお、フェアリーグランマ、いわちょ、coldia、スモークマン  (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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フェアリーグランマさん

問題がわかりにくくてすみません。まず25個の数字を適当に選びます。そして全て足し算したものと、全て掛け算したものを計算します。足し算したものと掛け算したものがもし一致すれば、それが答えです♪足し算したものと掛け算したものが一致する組み合わせを探します。

例えば25個ではなくて、3個を例にしてみます☆3個の数字が1,2,3なら、1+2+3=6, 1×2×3=6となり、両方6で一致しますね。つまり1+2+3=1×2×3ですね。よって3個のときの答えは1,2,3となります。例えば間違って2,3,4を選んでしまうと、2+3+4=9, 2×3×4=24なので9と24と一致しないので不適です。

次に4個を例にしてみます☆4個の数字に1,1,2,4を選べば、1+1+2+4=8, 1×1×2×4=8で一致しますね。つまり1+1+2+4=1×1×2×4です。よって4個のときの答えは1,1,2,4となります。

25個のときは、3個や4個のときと違って、組み合わせが5通りあります!つまり○+○+○+○+○+○+○+○+○+○+○+○+○+○+○+○+○+○+○+○+○+○+○+○+○=○×○×○×○×○×○×○×○×○×○×○×○×○×○×○×○×○×○×○×○×○×○×○×○×○となるものを探します。○には何か数字が入ります。

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フェアリーグランマさん

> すみませんでした。ありがとうございます。なんにも知らず、あまりにも初歩で、お恥ずかしいですね。簡単にわかりましたといってはいけませんが、なんとなくわかったようです。かんがえてみます。ありがとうございました。がんばってみようかなあ。

もし問題がよくわからないときは、気軽に質問してくださいね!25個が難しいときは、まず5個ぐらいから初めてみるのもいいかもしれません♪

問52の答え

初めて投稿します。答えを以下に示します。合っていますか?
25,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
13,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
9,4,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
7,5,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
4,4,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1

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Mercyさん

すばらしい、正解です!最初の正解者ですね♪お名前を正解者リストに掲載させていただきます☆

フェアリーグランマさん

これは数字の個数が17個のときですね☆17個なら正解ですが、問題は数字を25個使います。計算結果は25にならなくてもいいですよ。

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> やってることは簡単なのに、書き下すとなんでこんなに長大になるんでしょうか。
> いつも、読むのが大変ですいません。

こんばんは♪正解ですね!丁寧な解答をありがとうございます☆どのように解いてもらえたか詳しく分かるので、いつも楽しませてもらっていますよ♪とくに予定していた解法と違うときには、詳しく解き方が分かると、新しい問題のアイデアにも繋がります☆

> FC2の接続障害、長かったですねぇ。

少しの間、繋がらなかったんですか。こちらは大丈夫でした。

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フェアリーグランマさん

> やはり、理解していませんでした。今度はわかりました、それが25個ですね。慌てんぼうですみません。ありがとうございました。お世話掛けました。

よく他の解答者の方々からも、問題の文章がどちらの意味か分かりにくいという指摘を受けますので、よく分からない場合には遠慮せずに言ってくださいね。また内容が一見難しそうな問題でも、意味が分かれば解けるかもしれないので何でもぜひ聞いてください☆

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たんめん老人さん

> このやり方では、答えがこれしかないことは証明できませんが、とりあえず回答まで。

さすがですね☆正解です!

ちなみに数字を大きくしていったときに、掛け算の方が大きくなった時点でそれ以上数字を大きくしても差が大きくなるだけなので、見つからないことがわかります。このことを解がそれ以上見つからない説明にしてもOKですね♪

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フェアリーグランマさん

> 私にはむつかしいですが、出来たと思うので、たぶんコツがあるあるというか、式があるのでしょうね。勘です。

おしいです!3つ正解でしたが、最後の1つは足し算は32で掛け算は24で一致しないですよ。答えはあと2つあります♪もしもう1つ答え見つけたら、オマケで正解にしようと思います☆

くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^
>
> カンニングしました。最後の1組がわからなかったのでした。
>
> ※求められなかった理由:場合分け漏れでした。
> ※今回の私を正解にすると大変なことになります。確認ですが。^^

くわがたおさん、こんばんは☆4つまで答えを見つけたことと、正直な発言のために、今回はオマケで正解にしました♪

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フェアリーグランマさん

> なんか、この四角の中には、もうかけなかけなくなつてしまったから。もう書けなくなってね。どうしようとかんがえてしまいました。わたしのような出来の悪い生徒は困りものですね。お邪魔虫になっちゃってます。皆さんすごい! あーあ 先生ごめんね。いろいろありがとうございます。まあ明るくいこう。コメントに泣けます。ありがとう。

書けなくなったら、2回コメントを使ってもいいですよ☆またぜひ問題をがんばってくださいね!

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フェアリーグランマさん

> できたかなあ

いいですね、正解です♪再解答ありがとうございました☆

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いわちょさん

正解です!

とくに前半の絞り込みが数学的ですね☆解答を載せるときに使わせてもらうかもしれません♪

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coldiaさん

> 25個の自然数を小さい順にx1,x2,x3,…,x25とします。ただし重複を許すので
> x1<=x2<=x3<=…<=x25
> すると題意は
> x1+x2+x3+…+x25=x1*x2*x3*…*x25 ←♪
> よくある不等式の評価によって
> x1*x2*…*x25=x1+x2+…x25<=x25+x25+…+x25=25*x25
> よってx1*x2*…*x24<=25
> この左辺をNと置いておきます。
> N=1,2,…,25に対してすべての分割の仕方(x1,x2,…,x24)を考えるのですが、1の
> 数が多い順に考えていきます。
>
> ・(1,1,…,1,1)のとき
> ♪→x25+24=x25
> となり適するx25は存在しません。
>
> ・(1,1,…,1,N)と分けるとき
> ♪→x25+N+23=N*x25
> →x25=(N+23)/(N-1)
> となります。x24<=x25より、
> N<=(N+23)/(N-1)
> →N=2,3,4,5が適します。
> このときx25を求めると、x25=25,13,9,7
> となりすべて自然数となるので適します。
>
> ・(1,1,…,1,K,L)と分けるとき
> K<=L かつ N=KL<=25なので、K=2,3,4,5のパターンがあります。
> ♪→x25+K+L+22=KL*x25
> →x25=(K+L+22)/(KL-1)
>
> ・・K=2のとき
> L>=2かつx25=(L+24)/(2L-1)
> また、x24<=x25
> →L<=(L+24)/(2L-1)
> →L=2,3,4が該当します。
> このときそれぞれ、x25=26/3,27/5,4
> となるのでL=4のときだけ適します。
>
> ・・K=3のとき
> L>=3かつx25=(L+25)/(3L-1)
> 同様にL<=(L+25)/(3L-1)→L=3のみが該当
> このときx25=28/8となり自然数でないので不適です。
>
> ・・K=4のとき
> 先ほどみたいに2次不等式で評価するのはもう面倒なので
> KL<=25→L=4,5,6
> またx25=(L+26)/(4L-1)
> なので、Lを代入していくと
> x25=2(<=x24なので不適),31/19,32/23
> となりすべて不適。
>
> ・・K=5のとき
> KL<=25よりL=5
> x25=(L+27)/(5L-1)=32/24
> となり不適。
>
> ・(1,1,…,1,A,B,C)と分けるとき
> ABC<=25かつA<=B<=CなのでA=2のみが該当します。
> よってBC<=25/2
> ♪→x25+B+C+23=2BC*x25
> →x25=(B+C+23)/(2BC-1)
>
> ・・B=2のとき
> C<=25/4なのでC=2,3,4,5,6が該当します。
> またx25=(C+25)/(4C-1)
> で、Cを順番に代入していくと
> x25=27/7,28/11,29/15,30/19.31/23
> となりすべて自然数でないので不適。
>
> ・・B=3のとき
> C<=25/6なのでC=3,4が該当します。
> また、x25=(C+26)/(6C-1)で、Cを代入すると
> x25=29/17,30/23
> となり不適です。
>
> ・・B>=4のとき
> B<=Cなので、BC>=16となることから該当するものがありません。
>
> ・1以外の数字が4つ登場するとき
> 25以下の数字の中で、2以上の4つの自然数の積で表すことができるものは
> 2*2*2*2と2*2*2*3のみです。
>
> ・・(1,1,…,1,2,2,2,2)のとき
> x25+28=16*x25→x25=28/15
> 不適。
>
> ・・(1,1,…,1,2,2,2,3)のとき
> x25+29=24*x25→x25=29/23
> 不適。
>
> これで25以下の整数Nを24個の自然数x1,x2,x3,…,x24の積に分解するパターンはすべて網羅しているはず。
>
> この中で適したものは、
> (x1,x2,…,x22,x23,x24,x25)=
> (1,1,…,1,1,2,25)
> (1,1,…,1,1,3,13)
> (1,1,…,1,1,4,9)
> (1,1,…,1,1,5,7)
> (1,1,…,1,2,4,4)
> の5つでした。


正解です☆丁寧な解答をありがとうございました!解答がすでに掲載された問題ですが、分かりやすい解答なのでこちらにそのまま貼らせていただきますね♪

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スモークマンさん

> 他にもあるのかをどうすれば見つけられるのか知りたいです☆


正解です!ポイントとしては、25個中の1の数を減らしながら小さい数字から順に調べて、積の方が大きくなった時点で終了です。例えば1が20個の場合は20+2+2+2+2+2<2^5ですでに積の方が大きいので、これ以上数字を大きくしても見つかりません(つまりさらに数字を大きくした場合、20+2+2+2+2+3<<3×2^4のように、和は1増えるだけですが、積は何倍にもなります)。なので残りは21+a+b+c+d=abcdを考えるだけですね♪

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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