問49

割り切れる自然数を見つける問題
<コメント>答えが1つしかない、見つけたら正解のラッキー問題です。n=1から順番に探してもすぐ見つかります。
問49

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> たんめん老人、shah-san、いわちょ、Wilsonic、くわがたお、M.R、ゴンとも、coldia (敬称略)

問題の一覧↓
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たんめん老人さん

正解です!一人目の正解者ですね☆

答えが1つしかないことも証明することもできますよ♪

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 真面目にやったら、思ったより大変(と、いつも言っている気がする ww)。

こんにちは☆ものすごい計算になりましたね!ありがとうございます、正解です!答えも1通りという証明もしっかりしてもらえたのは、1人目ですね♪

実はもっとあっさり解ける方法がありますよ☆あることに気がつくと、簡単な計算だけで解が1つしかないこともわかります♪

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いわちょさん

すばらしい!答えを探しやすい形をすぐ見つけましたね♪与式≠0の見落としもなく、完璧な解答をありがとうございます☆

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> 「もっとあっさり解ける方法がある」とのことなので、
> 別解がないか、もう少し考えてみました。

こんばんは☆予想外の別解をありがとうございます!

nを少しずつ絞り込んでいくところが、かなりおもしろいです♪進数は苦手なので確認に時間がかかってしまいましたが、この解答を思い付くとはshah-sanさんは天才ですね!ぜひ解答を載せるときに、別解として掲載したいです☆

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Wilsonicさん

> 順番に代入して言ったら、意外と早く答えがでました(^_^;)

正解です!この問題なら代入して解くのもありですが、数学的に解いてもすぐ答えが出せますよ♪

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くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^

くわがたおさん、こんばんは♪いいですね、正解です!この問題は答えが分かれば、あっさりでしたね☆

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M.Rさん

> 一から順に試しました(笑)
> 実際に割ってみて余りがnで表せたり…と考えても良くわかりませんでした


正解です!

数学的な解答は、まずn^2+5n+6を因数分解です☆そしてそれぞれ別々で割り算を試してみます♪

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スモークマンさん

> but…それ以外のものは満たさないことはどう言えばいいのか知らん…^^;


n^4+n^3+n^2+n-4はn=3のとき、3では割り切れないですよ!残念ながら不正解ですね。あと答えが他にないことも証明できます♪

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ゴンともさん

> すみません答えだけで


正解です☆

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coldiaさん

> (n^4+n^3+n^2+n-4)/(n^2+5n+6)が整数になるようにnを定めます。
> 割り算を利用すると
> =n^2-4n+15-(50n+94)/(n^2+5n+6)
> であることが分かります。
> さらに、残った分数式を部分分数分解することによって
> =n^2-4n+15+6/(n+2)-56/(n+3)
> となることが分かります。
> nとして用いる数字は自然数なので、n^2-4n+15の部分は必ず整数となります。
> したがって
> 6/(n+2)
> 56/(n+3)
> の部分を整数にすればよく、そのためには
> n+2が3以上の6の約数、すなわちn+2=3,6
> かつ
> n+3が4以上の56の約数、すなわちn+3=4,7,8,14,28,56
> であれば整数になります。
> これを同時に満たすnは
> n=1,4
> ですが、n=1のときn^4+n^3+n^2+n-4=0となってしまい題意に反するので
> n=4が答えとなります。
>
> おそらくここまでだと論述不十分です。
> 考えなければいけないことは、
> 先ほど6/(n+2)と56/(n+3)をどちらも整数の形にしましたが、
> 単体では分数であっても、例えば3/4+9/4=3のように通分して計算した結果整数になることはないのか?
> ということは非自明なのではないかと思います。
> 逆算すれば(例えば3-9/4を計算すると必ず分母が4になるので、分母の異なる分数を足し引きする限りは整数にならなさそうだし)自明な感じがしますが
> 念のため証明してみることにしました。
>
> a,bを互いに素、かつ、c,dを互いに素な整数(a,c>0、a≠c)として
> b/a+d/c
> を考えます。
> これは計算すると (bc+ad)/ac となり、この計算結果が整数となると仮定すると、分子がacの倍数です。
> よってbc+ad=kacとおくことが出来て
> ad=c(ka-b)
> と変形すれば右辺がcの倍数であることとc,dが互いに素であることから、aがcの倍数であると分かります。
> したがってa=mcとおけて
> mcd=c(kmc-b)
> →md=kmc-b
> となります。これをさらに b=m(kc-d) と変形すれば
> bがmの倍数であることが分かりますが
> aもmの倍数(a=mc)であるので
> ・m≠1のとき、a,bが互いに素であることに矛盾
> ・m=1のとき、a≠cであることに矛盾
> したがって上の仮定は必ず矛盾を導くので誤りで、
> 分母の異なる既約分数同士は足しても整数にならないことが分かりました。
>
> したがってこの問題では、6/(n+2)と56/(n+3)をそれぞれ整数にしなければいけないことが分かりました。
>
> 以上より全てのnの可能性を網羅できているので、答えは
> n=4
> のみです。


しっかり分数同士の足し算の場合の証明もありがとうございました☆これも掲載した解答では省略してしまいましたが、実際には考察しないといけませんよね!

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