問6

複素数の数列の問題
<コメント>数列と複素数を合わせた新しいタイプの問題です。
問6

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> たみひかのろ、いわちょ、shah-san、gb、coldia  (敬称略)

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いかがでしょう?

a2/a1=(3-i)/(2+i)=1-i なので
仮に an=(2+i)(1-i)^n と置くと
a3=2-4i, a4=-2-6i ・・・を満たすので、
一般式は an=(2+i)(1-i)^n

たみひかのろさん

正解です!あっさり解いてしまうとは、さすがです☆

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いわちょさん

> 数列の法則性さえわかれば、といったところですね
> 最後はどちらがきれいな形か迷うところです

2通りの式の形の解答をありがとうございました!変形した後の形までは計算していませんでしたが、こっちも結構すっきりしていますね☆このひらめき重視の問題も解いてしまうとは、すごいです!

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 最近、過去問を順番に見ています。
>
> 答えは、a[n]は初項2+i、公比√2×exp(-iπ/4)=1-iの公比数列で、a[n]=(2+i)(√2)^(n-1)×exp(-i(n-1)π/4)=(2+i)(1-i)^(n-1)。
>
> これは ・・・ 特別工夫の余地もない、ですかね。普通の実数の数列の一般項を求めるのと同じで、とりあえず項間の差や比を計算、などすると、すぐ等比数列だってわかりますから。
>
> 数列の一般項を求める問題なので、常套手段として、項間の差や比を計算してみる。すると、a[n+1]/a[n]=1-iで一定ということがわかる([n]は添え字)。よって、a[n]は初項2+i、公比1-iの等比数列で、一般項はa[n]=(2+i)(1-i)^(n-1)。
>
> 別の考え方をすると、虚数の問題で、実部・虚部の表示でピンと来なければ、大きさと位相を求めてみるのも常套手段。
> a[n]の大きさを計算すると{|a[n]|}=}√5, √10, √20, √40, √80, √160, √320, √640, √1280, √2460,・・・}と、初項√5、公比√2の等比数列となっている。位相は{tan (arga[n])}={1/2,-1/3,-2,3,1/2,-1/3,-2,3,1/2,-1/3,・・・}であり、n→n+2で位相は-π/2進み、n→n+4で元に戻る(tanはπ周期なので、位相は-π進んでいる)。なので、a[n]の一般項をa[n]=(2+i)(√2)^(n-1)×exp(if[n]) という形式で表すと、位相の実関数f[n]はf[n+2]=f[n]-π/2かつf[n+4]=f[n]-π。初項n=1でf[n]=0として、f[n]=-(n-1)π/4となる。よって、一般項はa[n]=(2+i)(√2)^(n-1)×exp(-i(n-1)π/4)。exp(-iπ/4)=(1-i)/√2なので、結局a[n]=(2+i)(1-i)^(n-1)。
> この問題に関しては、こっちは複雑になりますね。利点といえば、複素数の除算が必要ない、ぐらいでしょうか(全部実数の計算ですし、大きさの最初の方の数項と、位相tan(arga[n])は暗算でできますかね)。


こんにちは。なるほど、複素数の大きさと位相に分けて求める方法ですか!ほかの方々とは違った突破口で、これまたおもしろいですね♪いろいろな別解を考えてもらいありがとうございます☆

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> 見た目で等差数列ではなさそうとわかりますが、複素数のせいで等比数列かどうかはわからない、といった状況です。そこでとる行動としては、等比数列の確認をするため比を取るのが正攻法なんでしょうね。
> 別の視点で見るため、あるいは視点を増やすため、にa[n]の大きさを見てみたとしても、この段階で等比数列であることが色濃く疑われるので、やっぱり比を取って等比数列であることを発見する、というのが想定される足取りかと思いますよ。


たしかに等比数列だとほぼ確定していないと、使うのには無理がありそうですね。

gbさん

いいですね!正解です☆丁寧な図と、おもしろい画像もありがとうございました♪

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coldiaさん

> なのでこれが答えのようです。


正解です☆数列を見て法則を見つける問題を作るのが好きなので、今後もまだ出題するかもしれません♪数学というよりパズル的なのですが。

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