問44

4つの数字
<コメント>数字のパズル的な問題です☆問題の文章がわかりにくくなってしまいました。下に解くのにはいらない数字の雑学もあります♪まだこのタイプの問題作成に慣れていないので、何かミスがあるかもしれません。ミスがないことを祈ります!

問44

<数字の雑学 〜自然数の分類〜>
[素数とは]
1 と自分自身以外に約数がない数。約数の個数が 2。
具体例:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,… …

[単偶数とは]
2 で割り切れるが 4 では割り切れない数。4n – 2または奇数の2倍で表せられる。
具体例:2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, … …

[三角数とは]
点を正三角形の形に並べたときに、そこに並ぶ点の総数に一致する数。n番目の三角数は、1から n までの和。関係する問題 ⇒☆問36
具体例:(0), 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, … …

[平方数とは]
ある数の2乗にあたる数。n^2で表せられる。
具体例:(0), 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, … …

[立方数とは]
ある数の3乗にあたる数。n^3で表せられる。
具体例:1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, … …

※ここでは全ての数字は、正の整数(自然数)という意味で説明しています。

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> いわちょ、くわがたお、shah-san、coldia (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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いわちょさん

すばらしい、正解です!最初の正解者です☆

ミスがないか心配でしたが、解いてもらえて答えも一致したので、安心しました!いわちょさんの場合分けの方が、何かより数学っぽくてかっこいいですね♪

原宿ミツバチさん

> 解が一意に決まらない気がするのですが、
> わたしの題意の理解が不十分かもしれません。

ほとんど正解ですが、かなりおしいです!場合分けA)のa)とb)でも、確定しない数字があります!具体的にはA)のa)の8,3,6,5とA)のb)の8,3,10,7は5の倍数が1つずつ、平方数がなしで、全く同じになるのでどちらなのか決定できませんよ。なので原宿ミツバチさんが考えた3つの答えの中の1つだけに絞り込めます☆

くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!?^^
>
> 確率的に。^^;

くわがたおさん、おはようございます♪正解です!

確率的には2の倍数が一番可能性が高いですよ。0~4個の5通りの解答が返ってくる可能性があり判断しやすいのに対して、他の倍数の場合は多くても0~3個だけで4個という解答が返ってこないので☆

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shah-sanさん

> すいません、今回も泥沼にはまりました。
>
> まじめに1つ1つ追っていくと、こんなに長かったです。

数学らしい表記で、丁寧な解答をありがとうございました!正解です!しっかり解答を書くとかなり大変ですよね、お疲れさまです☆

shah-sanさんが絞った計10パターンの中で、(3,7,6,1)と(3,5,10,1)は三角数が3つなので除外されますよ☆よって正確には計8パターンですね♪

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原宿ミツバチさん

あと少しで正解できるところまで来ているので、ぜひお時間のあるときに解いてみてくださいね☆

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スモークマンさん

何か違っていますね。答えが分かったら再解答してくださいね!

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スモークマンさん

> でいいと思いますのですが…^^;


もっとそれ以外にも、たくさんの数字の組み合わせの可能性がありますよ!例えば立方数が1ではなく、8の場合の可能性も複数あります☆

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coldiaさん

> はじめの素数の条件で6通りすべて考えてみました。
>
> (2,3,5,7)のうち2つの数字が入っている
>
> A 2,3を含むとき
> 素数の条件より5,7、単偶数の条件より6,10が除外されるので、
> 選ばれたカードは2,3,(1,4,8,9)
> 三角数の条件より、1が選ばれる他なく、
> 立方数の条件と既に1が選ばれていることから、8は除外されます
> よって1,2,3,(4,9)
> この2パターンの場合、
> どちらも平方数は2個、5の倍数は0個
> よってこの時点では
> {1,2,3,4}or{1,2,3,9}
> のどちらかには絞れない。
>
> B,C 2,5または2,7を含むとき
> 素数の条件より3が除外され
> 単偶数の条件より6,10が除外されます。
> すると、三角数1,3,6,10のうち3種類が除外され、2種類が含まれるという条件と矛盾するので、このパターンは起こり得ません。
>
> D 3,5を含むとき
> 素数の条件より2,7は除外されます。
> また単偶数の条件より6or10が含まれ
> 三角数の条件より1or6or10のうち1つが含まれます。
> ここで1が含まれる場合、6と10が除外され単偶数の条件を満たしません。
> よって1は選べない数字となります。
> すると立方数の条件より8が含まれるので、選ばれたカードは
> 3,5,8,(6,10)
> です。
> これは、平方数が0個、
> 5の倍数は{3,5,6,8}の場合1個
> {3,5,8,10}の場合2個です。
>
> E 3,7を含むとき
> 同様に素数の条件で2,5が除外され
> 単偶数と三角数の条件を考えると1が除外され6or10が含まれ
> 立方数の条件より8が含まれるので
> 選ばれたカードは3,7,8,(6,10)
> 平方数は0個
> 5の倍数は{3,6,7,8}のとき0個
> {3,7,8,10}のとき1個です。
>
> F 5,7を同時に含むとき
> 同様に素数の条件で2,3が除かれ
> 単偶数の条件より6or10のどちらかが、また
> 三角数の条件より1or6or10のうち2つが含まれます。
> 6と10が含まれるとすると、単偶数の条件を満たさず
> したがって必ず1は含まれ、6と10のどちらかになります。
> 選ばれたカードは1,5,7,(6,10)で
> 平方数は1個
> 5の倍数は{1,5,6,7}のとき1個
> {1,5,7,10}のとき2個です。
>
> A~Fを統合すると、
> a: 平方数が2個、5の倍数が0個と言われた場合
> {1,2,3,4}or{1,2,3,9}
> b: 平方数が0個、5の倍数が0個と言われた場合
> {3,6,7,8}
> c: 平方数が0個、5の倍数が1個と言われた場合
> {3,5,6,8},{3,7,8,10}
> d: 平方数が0個、5の倍数が2個と言われた場合
> {3,5,8,10}
> e: 平方数が1個、5の倍数が1個と言われた場合
> {1,5,6,7}
> f: 平方数が1個、5の倍数が2個と言われた場合
> {1,5,7,10}
>
> というパターンが考えられます。b,d,e,fのパターンのときはもう組が確定しているので特に考えることはありません。
> ここで、aに着目すると、4,9を分けるので、
> 2の倍数or3の倍数or4の倍数or9の倍数を聞けば良い。
>
> 2の倍数のとき、cではどちらにも2個含まれて特定できないので不適切。
> 3の倍数のとき、cは2個なら{3,5,6,8}、1個なら{3,7,8,10}に絞れるので適する。
> 4の倍数のとき、cはどちらにも1個含まれているので特定できず、不適切。
> 9の倍数はcのどちらにも含まれないので特定できず不適切。
>
> したがって、3の倍数の個数を問えばよく、
>
> 平方数、5の倍数、3の倍数がそれぞれ、
> 2個、0個、1個→{1,2,3,4}
> 2個、0個、2個→{1,2,3,9}
> 0個、0個、(2個)→{3,6,7,8}
> 0個、1個、1個→{3,7,8,10}
> 0個、1個、2個→{3,5,6,8}
> 0個、2個、(1個)→{3,5,8,10}
> 1個、1個、(1個)→{1,5,6,7}
> 1個、2個、(0個)→{1,5,7,10}
>
> と4つの組をすべて特定することが出来ます。
> 最後のカッコは問う必要のない場合につけています。


正解です☆丁寧な場合分けの解答をありがとうございます、すばらしい!

本来ならこれまでのcoldiaさんの別解や分かりやすい解答を、解説の蘭にもそのまま追加などで載せたいところですが、中々そこまでできていませんのでこちらのコメント欄に添付させてもらっています。別解についてはいつか追加したいところです!これから解答を掲載する分の別解に関しては、解説掲載時に同時に紹介できると思います☆

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Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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