問43

サイコロと倍数
<コメント>大学入試などをちょっと意識した問題です。数えるのが少し面倒な問題になってしまいましたので、電卓などの使用を推奨します。
問43

<追加コメント1>すみません、問題の文章を少し修正しました!サイコロが1個のときだけでなく、48の倍数が全く出ないサイコロの個数のときは答えから除外します。確率が0なので最も出にくい、という答えだとちょっと簡単すぎるので。48の倍数が出る可能性があるサイコロの個数の中で、最も出にくいのは何個のときか、という問題にします☆

<追加コメント2>48の倍数の見分け方は倍数判定法に載せなかったのでヒントです♪48の倍数は、3の倍数かつ16の倍数ですね!3の倍数と16の倍数の見分け方はこちら→倍数判定法

<追加コメント3>お伝えしていた数字パズル系の問題は現在準備中なので、少々お待ちください。来週からいくつか出題していく予定です。

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> いわちょ、shah-san、くわがたお、coldia、スモークマン (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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いわちょさん

> 前回の問題のコメント、意図せずアルファベットの名前が追加で書かれちゃってました
> 今後も同じミスやってしまいそうな気がしますが、あんまり気にしないでくださいね(笑)

正解です!というかすみません、うっかり確率が0のときを省くという内容を書き忘れてしまいました。さすがに答えが確率0のときだと簡単すぎるので、文章を修正しました!一度正解したので、正解者リストには加えておきますね☆

お名前についても了解です♪どちらの表記になっても、とくに気にしなくてOKですよ!

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いわちょさん

> nを増やした時にこの確率に収束するのは直感から明らかですけど、しっかり示すとなるとなかなか大変ですね~(これでも一部省略してますし)

再度解答ありがとうございました!もちろん正解です♪わかりやすくきれいな証明方法ですね☆いわちょさんの解答をそのまま解説を載せるときに使うかもしれません☆

電卓でひたすら数えた場合も、数分かかってしまう問題でした(笑)

shah-sanさん

> こんばんは
>
> いやぁ~、私も
> 「サイコロ2個以上、って、2個なら48の倍数なんてできないから、確率0で終わり」、とか思いましたよ。それじゃ問題にならないので、なんかのミスかと思いましたが。
> それじゃ、考えてみましょうかね。

こんばんは!よく問題のうっかりミスをしてしまいます。記述ミスがあったり、予想外の簡単な解き方を見逃していたりなど。あと問題の意味がわかりにくいという指摘も受けるので、どっちの意味の文章かわからないなどがあったらぜひ教えてくださいね☆

今回はちょっと数えるのが面倒な問題になってしまいましたが、多少効率よく見つける方法もありますよ♪

No title

こんにちは

ちょっとやってるつもりが、えらい目にあいました。 ww
きっと、もっと簡素な判定方法があるのでしょうね。

答えは、サイコロ3個、かな。

「48の倍数でない」または「48の倍数である」の判定方法が必要である。48=3×4^2なので、「3の倍数」と「16の倍数」の判定条件から確率を求めてみる。
サイコロの出目をxiとする(i=1,2,・・n, nはサイコロの個数>1)。得られる数字X=∑(i=1~n)xi×10^(i-1)とする。

3の倍数は各桁の数字の和が3の倍数であればいいので、∑(i=1~n)xi≡0 mod 3で判定できる。まず、サイコロ1個のときは、出目の和が3の倍数になる確率は1/3(サイコロが3と6)である。3で割って余り1になる確率も、余り2になる確率も1/3である。次に、N-1個でのサイコロの出目の和∑(i=1~n-1)xi≡Pn-1 mod 3が余り0,1,2に関して等確率(各1/3)であるとする。そこにN個目のサイコロの出目を足すと(Pn≡Pn-1 +xN mod 3)、Pn-1に3で割って余り0,1,2の数字を等確率で足すことになるので、Pn≡0,1,2はやはり等確率で出現する。Pn-1の3通りに対してxNが3通りで、全部で9通りの組み合わせに対し、3で割り切れるのはPn-1≡0 mod 3のときxN≡0 mod 3、同様にPn-1≡1 mod 3のときxN≡2 mod 3、Pn-1≡2 mod 3のときxN≡1 mod 3の3通り(余り1と2の場合も同様)。よって帰納法により、いかなるサイコロの数Nでも、出目の和が3で割り切れる確率は1/3である(ふ~~ん)(合同式って高校の範囲でしたっけ?)。よって、サイコロの個数Nによらず、Xが48の倍数である確率はXが16の倍数の確率の1/3である。
同様に16の倍数は10000=16×625であり16で割り切れるので、下4桁∑(i=1~4)xi×10^(i-1)=1000x4+100x3+10x2+x1≡0 mod 16で判定できる(∑(i=5~N)xi×10^(i-1)≡0 mod 16)。
Q≡∑(i=1~4)xi×10^(i-1)≡8x4+4x3-6x2+x1≡2(4x4+2x3-3x2)+x1 mod 16と置くと、Q≡0 mod 16となればXは16で割り切れる。x1≡-2(4x4+2x3-3x2) mod 16から、右辺が偶数で法16も偶数なので、x1は偶数(Xが16で割り切れるなら当たり前)。
サイコロ2つではXを48の倍数にはできないので、サイコロは最低3つ必要。よってXで最小の48の倍数は144=48×3である。他の16の倍数は、Q≡0 mod 16を保ちながら、各桁の数字を変えていく。具体的にはx3=1~6とx1=2,4,6を固定して、Q≡4x3-6x2+x1≡0 mod 16→10x2≡16-4x3-x1 mod 16からx2を決める。例えばx3=3,x1=2なら16-12-2≡2 mod 16なので、x2=5。よってX=352=16×22となる。以下同様にして18個の(x3,x1)に対してx2を決めると、結果144,224,256,336,352,416,432,464,512,544,624,656の12個がサイコロ3個で可能な16の倍数として得られる。48の倍数はその1/3で4個(144,336,432,624)。サイコロ3個で可能な数字の数は6^3=216なので、48の倍数になる確率は3/216=1/72=0.0139。
次に、サイコロ4個の場合であるが、同様にx4=1~6とx1=2,4,6の組み合わせを固定して、Q≡8x4+4x3-6x2+x1≡0 mod 16→4x3+10x2≡16-8x4-x1 mod 16からx2,x3を決める。ただ、最終的に欲しいのは48の倍数なので、3の倍数の条件x1+x2+x3+x4≡0 mod 3と連立して、直接48の倍数を求めることにする(16の倍数がめっちゃ多そうだったので)。例えば、x4=2,x1=2の場合を考えると、x2+x3≡-4≡2 mod 3から(x2,x3)=(1,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(5,6),(6,5)が3の倍数の候補で、その中からx4=2,x1=2に対して4x3+10x2≡16-8x4-x1≡-2≡14 mod 16を満たす(x2,x3)の組み合わせを選び出すと、(x2,x3)=(1,1), (3,5)。つまりX=2112(48×44), 2352(48×49)がサイコロ4個で得られる48の倍数とわかる。
同様にしてサイコロ4個でできる48の倍数を選び出すと27個(16の倍数だと81個もある!やっぱりめっちゃ多かった)。可能な数字の総数は6^4=1296個なので、48の倍数が得られる確率は27/1296=1/48=0.0208。サイコロ3個での確率1/72=0.0139より大きい。
次にサイコロの個数Nが5以上の時を考える。N=4の時の16の倍数の個数をR(=81)、可能なXの個数をM(=6^4=1296)とする。サイコロが4個までで16の倍数であれば、5個目以上出目に無関係に16の倍数になるので、サイコロの数がN(>=5)個なら16の倍数の個数はR×6^(N-4)、可能なXの個数はM×6^(N-4)。よって16の倍数になる確率はR/Mでサイコロ4個の時と同じ。従って48の倍数になる確率もR/3/M(=1/48)でサイコロ4個と同じ。

以上から、サイコロN個で得られる数字Xが48の倍数になりにくいのはN=3の時である(N=2以下は修された題意により考察外となるので)。

shah-sanさん

こんにちは♪丁寧な解答をありがとうございました!3の倍数の帰納法による証明など、しっかりとした説明もすばらしいですね☆

数字の見つけ方にはいろいろな方法ありそうですが、ほかには今回の場合2桁の4の倍数の個数の3倍が3桁の8の倍数の個数、3桁の8の倍数の個数の3倍が4桁の16の倍数の個数になるというのを使う方法もあります。(他の解答者のアイデアですが。)

合同式は高校で習った世代と、習わなかった世代があるようです。

サイコロ3個でうっかりミスがあり、正確には4/216=1/54ですよ。答えには影響しないので、もちろん問題ないですね。

できるだけ計算しやすい問題作りを心がけていますが、ときどき今回のような面倒な問題を出してしまいます(笑)

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^

くわがたおさん、おはようございます♪正解です☆

たしかにサイコロ6個以上は計算したくないですね♪

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coldiaさん

> 16の倍数がしんどかったです


この問題も正解です☆少し数えるのが大変な問題でしたが、取りこぼしなくしっかり数えてもらいありがとうございます!

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スモークマンさん

> どう言えばいいんだろ...なはっ…Orz



答えは正解ですね☆実際にしっかり数えると大変な問題ですよね!

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

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