問38

難問の予感
<コメント>式は複雑ですが、答えはかなり簡単になります☆難問の予定なので、勘や予想などによる答えのみの解答も歓迎です♪
問38

<追加コメント>ちなみに今回は、ある問題の斬新な解き方を参考にして作成しました。数字や文字を大幅に変更し難易度を上げたので、見た目は違いますが同じ方法で解けますよ。

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> いわちょ、shah-san、coldia (敬称略)

問題の一覧↓
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いわちょさん

> いろいろ実験した結果上記の答えにたどり着きましたが、導出過程は分からないです…(笑)
>
> めちゃくちゃいじくりまわしたり、コーシーシュワルツ使えないかとか、積分の定義みたいにできないかとか、考えてはみたんですが…

この問題の答えにたどり着くだけでも、かなりの天才ですよ!最初の正解者ですね☆導出過程も分かったら、ぜひ報告してくださいね♪

ちなみに自分で作ったものの、自分自身では絶対に解けないと確信しています(笑)かなりのひらめきが必要ですが、難しい知識はいらず、ほとんど計算だけで解けますよ。シグマを使わず式の羅列にしてあれば、中学生までの知識でも解けるかもしれません♪

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> 実は、解いてないんですよ。と言うか、解けなくて。
> らしい答えは、卑怯な手段で出てきたものの、何でこうなるか、さっぱり。
>
> もう、びっくり。いや、予想通りと言えば予想通りなんですが。何でそうなるか、さっぱり。
> というわけで、解けはしない、どころか、あたりがついてもどうしてそうなるのか。ギブかなぁ、これは。

こんばんは!この超難問をしっかり考えてもらえてうれしいです☆答えは正解なので、正解者リストに加えますね♪

これまでにshah-sanさんのように答えを予想できた方はいますが、未だに答えを誘導できた方はいませんね。それに自分でも絶対に解ける自信はないです(笑)

ただシグマを使わず数列の羅列として書かれていれば、中学校までの知識でも解くことができますよ♪

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coldiaさん

> ついにこの問題を証明付きで解くことが出来たので投稿します。
>
> nの部分のみを考え、
> a(k)=√{√(n+1)+√k}
> b(k)=√{√(n+1)-√k}
> とおきます。また
> Sn=Σa(k)/Σb(k)とおくと、求める値は
> Sn/Smです。
> ここで関数電卓をいじってみると、Snの値はnによらず常に√2+1になるっぽいことが分かったので、それを頑張って示しにいこうと思います。
>
> a(k)とb(k)が対称的な形をしていることをうまく使います。
> a(k)^2+b(k)^2=2√(n+1)
> a(k)*b(k)=√(n+1-k)
> を用いると、
> a(k)+b(k)
> =√{a(k)^2+2a(k)b(k)+b(k)^2}
> =√{2√(n+1)+2√(n+1-k)}
> =√2*√{√(n+1)+√(n+1-k)}
> となります。
> この両辺に対して、k=1,2,…,nの和をとると
> Σ{a(k)+b(k)}
> =Σ√2*√{√(n+1)+√(n+1-k)}
> =√2*[√{√(n+1)+√n}+√{√(n+1)+√(n-1)}+…+√{√(n+1)+√1}]
> =√2Σ√{√(n+1)+√k}
> =√2Σa(k)
>
> Σa(k)=A, Σb(k)=Bと置いてやると見やすくなって
> A+B=√2*A
> →B=(√2-1)*A
> という関係が出てきます。
> 求めるSnは
> Sn=Σa(k)/Σb(k)=A/Bなので
> Sn=1/(√2-1)=√2+1
> というnに依存しない値が出てきます。
> したがってSmも同様にSm=√2+1です。
>
> 以上より求める値はSn/Sm=1
> となります。
>
>
>
> まさかn,mによらない定数になるというところが驚きでしたね!
> はじめから、対称性に着目して
> a=√(√+√), b=√(√-√)
> をうまいこといじって二重根号を簡単にしてやろう(1つずつ根号を減らせないかとか)という発想はあったんですがうまいこと変形が思いつかず2週間近くいじっていました。
> 途中脱線して、n個の解√{√(n+1)±√k}を持つn次方程式の解と係数の関係がうんぬんとかそんなことも考えましたが、、何をやっているのか分からず泥沼にはまっていってました。
> 解けてよかったーー


これはすごい!この問題を解いてしまうとは、かなりの天才ですね!これまでに答えを予想できた方はいましたが、実際に解けた方は初めてです☆2週間近くも考えてもらえるとは!

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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