問5

方程式の解の問題
<コメント>実数解もありますが、虚数解が多いです。
問5

<追加コメント>正攻法で解こうとすると、途中で積んでしまいます。初めから邪道な方法を考える方が、計算は簡単です。

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> ダイちゃん♂、たみひかのろ、いわちょ、shah-san、gb、しょー、coldia、M.R (敬称略)

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ダイちゃん♂ さん

正解です☆最初の正解者です!

> 問7は、閃きだけやと思ってたんですが・・・計算面倒なんですか^^;
> こっちは、計算面倒と思いませんでした。

最初に一般的なx-1で割ってしまうと計算がすごい大変なんですが、よく近道に気がつきましたね!

いかがでしょう?

(x-1)^2(x^2+x+1)(x^2+1)(x^4+1)=0 なので解は
x=1, (-1±√3i)/2, ±i, (1±i)/2

左から順に見つけて次数を下げました。

たみひかのろさん

解答ありがとうございます☆正解です!

> 左から順に見つけて次数を下げました。

正攻法ですね、すばらしい♪x-1からだと結構計算大変でしたよね、すみません。右側の2乗や4乗の項を先に見つけると、計算は楽になります☆

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いわちょさん

> 係数が2の項を1ずつに分けることに気づけば、そのあとはきれいにいきますね

そうですね!いわちょさんのように、最初に小さい次数からではなくできるだけ大きい次数で分けることができれば、計算が楽になりますね♪きれいな解答をありがとうございました!この問題も正解です☆

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shah-sanさん

> おはようございます
>
> 10次方程式ですかぁ。とにかく、とっかかりがないと解けませんよね。実数解が見つかるとか、簡単な因数分解できるとか。今回は、整係数方程式の0次項が1であることから、単数(1の約数)をとっかかりしました。
>
> 解はx=1,x=±i,x=exp(±2iπ/3),x=±exp(±iπ/4)。
>
> 単数の概念を知らなくても、整係数の10次方程式の10個もの解の積が1なので、x=exp(ia)(aは実数)の形式の解をトライするのは、いい考え方ではないでしょうか。整係数なので、exp(ia)の形式の解が見つかれば、自動的に複素共役exp(-ia)も解なので、一石二鳥ですし。ww
>
> 問題の方程式が整係数方程式で0次項が1であることから、n乗数の単数に解があるか確認してみる。
> x=1とすると、問題の方程式の左辺は1-1+1-2+2-2+2-2+1-1+1=0。よって方程式はx=1を解に持ち、左辺はx-1で因数分解できる。
> x=-1とすると、1+1+1+2+2+2-2+2+1+1+1≠0。
> x=i(x^2+1=0の解で2乗数の単数、i×(-i)=1)とすると、左辺-1+(-i+1)-2(-i+1)+2(-i+1)-(-2i+1)-i+1=-1+1-2+2-1+1+i(-1+2+-2+2-1)=0+0i=0。問題の方程式は実係数方程式なので、x=-iでも左辺=0。よって、方程式はx=±iを解に持ち、左辺はx^2+1で因数分解できる。
> x=ω(ωはx^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0の解のうち複素数のもの。ω^3=1なので3乗数の単数。ω^2=ω*)とすると、左辺は(ω-1)+(ω^2-2ω+2)+(-2ω^2+2ω-2)+ω^2-ω+1=-1+2+1-2+ω-2ω+2ω-ω+ω* +-2ω* +ω*=0。よって、方程式はx=ω,ω*を解に持ち、x=1も解に持つので、左辺はx^3-1で因数分解できる。
> 思った以上に解が見つかってしまいました。10個中5個。なので、そろそろ因数分解してみる。
> 以上から問題の方程式は(x-1)(x^2+1)(x^2+x+1)で割り切れるので、因数分解してみると、左辺=(x-1)(x^2+1)(x^3-1)(x^4+1)。
> ωはx^3-1=0を解いてω=exp(2iπ/3),ω*=exp(-2iπ/3)。
> 最後の因数x^4+1=0は4乗数の複素数の単数x=±exp(±iπ/4)を解に持つ(x^4=[exp(±iπ/2)]^2=exp(±iπ)=-1なので、(-1)×x^4=1となり4乗数の単数)。
> 結局、問題の方程式は(x-1)(x^2+1)(x^3-1)(x^4+1)=0と変形でき、解はx=1(重解),x=±i,x=exp(±2iπ/3),x=±exp(±iπ/4)。


おはようございます。なるほど、偶然の因数分解に頼らずに見つける解き方ですか!iだけでなく、ωまで代入して見つけるとはおもしろいですね♪そのままこちらに解答を載せました☆

gbさん

正解です!文字の計算問題、お好きですね♪

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しょーさん

> 因数定理が最初にピンと来たんでそれで解いたら2度も値を入れることになって面倒に・・・
> とりあえずできたので面倒さを排除した別解もあわせます。
>
> 相反方程式に気づくまで時間がかかりました(^^;こっちのほうがずっと楽でした。。あっさり沈みましたし。。


2通りの解答をありがとうございました!正解ですね♪

いわゆる正攻法の方は、(x^2+1)となる複素数にまで代入を使った因数分解で探してもらえるとは!そこまで探した方は今までにいなかったはずです。

相反方程式の解答も、今までありそうでだれも使ってなかった解答ですね☆いろいろな解答が寄せられましたが、まだまだ新しい解答があることに驚きです!

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coldiaさん

> これは見るからに相反方程式の形をしているのでその手順にしたがって解きます。。
>
> x=0は解ではないので両辺をx^5で割ることができて
> (x^5+1/x^5)-(x^4+1/x^4)+(x^3+1/x^3)-2(x^2+1/x^2)+2(x+1/x)-2=0
> x+1/x = tとおくと、
> x^2+1/x^2 = t^2-2
> x^3+1/x^3 = t^3-3t
> x^4+1/x^4 = t^4-4t+2
> x^5+1/x^5 = t^5-5t^3+5t
> と表すことが出来るので上の方程式は
> t^5-t^4-4t^3+2t^2+4t=0
> と表現することができます。
>
> ここで普通はxの実数条件からtの範囲を絞りますが…今回は虚数解を探すということなのでtは何でもありです。
>
> 上の5次式は
> t(t+1)(t-2)(t^2-2)=0 と因数分解出来るので
> t=0,-1,2,±√2
> が解として出てきて、これをx+1/x=tに戻すと
>
> t=0 → x+1/x=0 → x^2=-1 → x=±i
> t=-1 → x+1/x=-1 → x^2+x+1=0 → x=(-1±√3i)/2
> t=2 → x+1/x=2 → x^2-2x+1=0 → x=1 (2重解)
> t=±√2 → x+1/x=±√2 →x^2±√2x+1=0 → x=(±√2±√2i)/2 (複号任意)
> と9解が出てきます。


さすがですね☆この問題も正解です!

M.Rさん

> 回答の載せられた問題も解いていかないとランキングに残れなさそうなので、回答していきます…なるべくオリジナルで解きたいとは思っていますが、模範解答と同じだったらすみません^_^;
> ということで解答です


正解です☆ぜひ解答のある問題もどんどん解いてみてくださいね!掲載解答は気にせず、解いてもらえればOKですよ♪

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自作問題を作ることが趣味。
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