問36

あみだくじの問題
<コメント>もしも同じような問題がすでに大学入試などに出ていた場合にそなえて、絶対重ならないように100000001本にしました(笑)でも日本人全員であみだくじをするためには、もう少し本数が足りませんね。
問36

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> 原宿ミツバチ、ショウゴ、いわちょ、くわがたお、Wilsonic、shah-san、coldia、スモークマン、たけちゃん (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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No title

nを自然数として、2n+1の縦線のあみだを題意に添わせるには、
最低2n+(2n-1)+・・・+1=n(2n+1)本の横線が必要

n=1億のとき、20,000,000,100,000,000 本(2京1億本)必要

で間違いないと思うのですが、図形的にはわかっても言葉で数学的な証明が書けません。

No title

はじめまして、ショウゴと申します。
以前、ご訪問いただき誠にありがとうございます。

答えはズバリ・・・
(1+100000001)÷2×100000001=5000000150000001

原宿ミツバチさん

すばらしい、解き方は正解です!ただ原宿ミツバチさんの考え方でいくと、n=1億は縦線が2億1本のときを求めることになりますよ。n=5000万を代入すれば正解です☆解き方は完璧なので、おまけで正解にしますね♪

数学的な証明を書くことが難しい問題ですよね。解答を載せるときに、全てのnについての証明/説明を掲載する予定ですが、もっと分かりやすい証明で解いてくれる解答者が出ることを期待しています(笑)

ショウゴさん

解答ありがとうございます!ショウゴさんの答えは、あみだくじが100000002本のときですね(笑)でも解き方は正しいので、今回はおまけで正解者リストに加えますね♪

またときどき訪問したいと思います☆

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いわちょさん

> 満足のいく証明はできないですけど、これ以上うまく説明するのは難しそうですねえ…

なかなかおもしろい考え方ですね!2つとも気に入りましたよ!ぜひ解答を載せるときに、いわちょさんの2つの証明も掲載しようと思います♪今回は証明の方法が不十分のまま、いきおいで出してしまった問題でした☆

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^
>
> 5本目までノートに作ってみました。問44で見た三角数だと思いました。

くわがたおさん、おはようございます!この問題も正解ですね♪

すばらしい、よく三角数に気がつきましたね☆この問題を出したときは全く意図していなかったです(笑)三角数を出してから、この問題を出すと新しい発見がありますね!掲載の順番を逆にすればよかった(笑)

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Wilsonicさん

> 数が非常に大きかったので、ちょっと面食らいましたが、
> 小さい数から順番に追っていったら、規則性を発見するのに、
> さほど時間はかかりませんでした(笑)

規則性に気がつくとあっさり解ける問題でしたね☆丁寧な解答をありがとうございました!この問題も正解ですね!

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 答えは、5×10^15+5×10^7本。5000000050000000本(5、0が7個、5、0が7個)。
>
> 反則技はありですか?
>
> 1つの横棒は、連結する2つの経路を入れ替える。横棒が「隣り合う」2本の縦棒のみを連結するとする。他にも、通常のあみだくじが有する特徴は備えていると仮定する。たとえば、横棒同士(縦棒同士も)合流しない(分岐もしない)。番号を振られていない末端を持たない。いわゆるワープ不可。など。
> 以上の仮定の下では、1番左(1番)を一番右(n番)に移すのに、n-1本の横棒が必要になる。このとき、2~n番は左に1つずつシフトする。n本の縦棒の場合に順番を逆転する横棒の数をp[n]とすれば、先ほどシフトした2~n番を逆順に並べ替えるのに、p[n-1]本の横棒が必要。よって、p[n]=p[n-1]+(n-1)という漸化式が成立する。
> p[1]=0は自明なので、p[n]=Σ(i=1~n-1)i=n(n-1)/2。n=100000001=10^8+1なら、p[n]=10^8×(10^8+1)/2=5×10^7×(10^8+1)=5×10^15+5×10^7。
>
> 反則技:横棒が「隣り合う2本の縦棒」以外を連結するような入れ方をOKにする。n=2k-1の奇数の場合、k-1番目とk+1番目の縦棒2本を、例えば中央のk番目の縦棒の下に書いてある数字の下を通るようにして、直接連結する。同様に、k-i番目とk+i番目(i=1~k-1)を結べば、題意を満たす順番の入れ替えができる。必要な横棒の本数はk-1本。出来たあみだくじは、玉葱を上下に真っ二つにした断面みたいになるかな。n=100000001=10^8+1=2×(5×10^7+1)-1なら、5×10^7本で済む。


こんにちは。なるほど線の飛び越しOKにしてもおもしろいですね!本数をnにして(1)と(2)に分けて、飛び越えがありとなしでそれぞれ求めるという問題にしたら、受験に出てきそうな問題になりますね☆

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coldiaさん

> 計算が面倒なので記号を残しますが、
> 100000001C2本が答えだと思います。
>
> 例としてn=2で考えると
> 1→1へ自由に線を引き、2→2にも自由に線を引くとします。このとき交点が少なくとも1個できます。3個、5個…と複数の交点を作ってもいいですが。この引いた線上(曲線でもOK)を伝っていきます。
> これはまさにあみだくじの仕組みです。交点上を通過することが、横棒を通過することに対応しています。
> 自由に引いた曲線をうまく真っ直ぐにして真下の数字とつながるようにしたとき、交点が横に引き伸ばされて横棒になったと思うと全く同じ図を書いていることになります。
> 言葉だと非常に理解しにくいのでn=3の場合に図示してみました。
> http://blog-imgs-94.fc2.com/a/i/d/aidloc/14616101950.jpeg
> 例えば一番左の列の場合、本来は赤→黒(一番左の包絡線)と通るはずですが、交点が存在するためにそこで黒への移動が起こらず、赤(左から二番目の包絡線)を通り、…というようになっています。
> 対応するあみだくじが隣に書いてあります。
>
> (なんかトポロジー?位相幾何学?がうんぬんという話をしてるんですかね?ちょっと数学科の出じゃないので詳しくないですけれども)
>
> 交点が複数ある場合は、例えばn=2のときに交点が3つあるような引き方をした場合は、線のたどり方は上で書いたような単純なものではなくなるのですが、要するに2本の縦棒の間に3本の横線が引かれているという状況に対応しています。
>
> ちなみに3曲線が1点で交わるような交点を作ってしまうと、1つの横棒で3つの直線が結ばれている状況に対応してしまい、あみだくじとして不適切です。よって交点は必ず異なるようにさせます。
>
> 要するに、この問題は、1,2,3,…,nとn,n-1,…,1を線で結んだとき、一番交点が少なくなるように結ぶと何個の交点が出来ますか?という問題と等しいわけです。
>
> この問題においては、数字の配置の関係で、必ずすべての直線がすべての直線と交差するようになっています。(数学的には、任意のi<jに対して、下はj,iの順番に並んでいるということです)
> したがって、引かれている100000001本の線が必ず他のすべての線と1回交わるという状況なので、
> 横棒の本数=交点の個数=2本の直線の選び方=100000001C2
> となります。
>
> いかがでしょうか。


いいですね♪正解です!

この問題も説明がしにくい問題でしたが、coldiaさんの解答は図示なども使っているのでイメージしやすく分かりやすいですね!丁寧な解法をありがとうございます☆

ちなみに答えがCの形でも全く問題ないですが、計算は結構あっさりですよ。100000001C2=100000001×100000000/2=100000001×50000000=5000000050000000となります。計算しやすいようにわざわざ100000001本にしましたので♪

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スモークマンさん

> のはずね ^^


すばらしい!正解ですね♪

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アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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