問35

関数の割り算
<コメント>f(x)がいろいろ出てくるタイプの問題は苦手でした。でも問題の作成はできます♪問題に当てはまる答えは1つしかありません!見逃しやすいですが、f(x)は一次関数(ax+b)です。
問35

<問題の補足>問35-2

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> いわちょ、Wilsonic、minex、dyne、shah-san、しょー、スモークマン、coldia、たけちゃん (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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いわちょさん

> これで合ってますかね?
>
> 最初任意の1次関数f(x)について成り立つのかと勘違いして、
> 「a(pの式1)+b(pの式2)=0
> でa,bに関する恒等式なので
> (pの式1)=0かつ(pの式2)=0」
> みたいなこと書いて、それを解こうとしてミスに気付きました
> 割り切れるということを反映できてなかったのでミスに気付くのが遅れてしまいました(笑)
> 「任意の実数xに対しf(x)+f(x^2)+…+f(x^15)がx^2+x+1で割り切れるような1次関数f(x)があり、その割った時の商をg(x)とする」ということだったんですね
> 勘違いって恐ろしい(笑)

解き方完璧です!最初の正解者です♪

問題の文章が分かりにくくてすみません。いわちょさんの書き方の方が分かりやすかったですね。よく問題が分かりにくいという指摘を受けるので、文章をなおしています☆ちょっとあとで勘違いが起こらないように文章を加えておきます。指摘ありがとうございました!

No title

あー、気が狂いそう(?_?)

メバル所長さん

今回はとくに目が疲れるような問題ですみません。

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Wilsonicさん

> 式を見た瞬間、「え"!?」って思いましたが、解いてみると、
> 「あれ?」って思った、そんな問題でした(笑)
> でも、あってるかどうか、少し心配です ^^;

見た目は面倒くさそうですが、案外あっさり解ける問題でした!ただヒントにもあるように答えは1つだけですよ。p=0だとf(x)が0になるので、答えからは外れます☆解き方は完璧でしたので、オマケで正解にしますね♪

No title

あ、そこ見落としてました^^;
おまけ、ありがとうございます(笑)

初めての投稿です

管理者様

初めての投稿となります。
以下、ご確認のほど、よろしくお願いいたします。

[解答]
 1次関数をf(x)=ax+b(a, b共に0にはならない)とする.
 題意より,
    f(x)+f(x^2)+…+f(x^14)+f(x^15)
   = a(x^15+x^14+…+x^2+x)+15b
となり,x^2+x+1 で割った商をg(x)とおくと,
    a(x^15+x^14+…+x^2+x)+15b = (x^2+x+1)g(x)
と表せる.このとき,実際に x^2+x+1 で割ると,
    a(x^15+x^14+…+x^2+x)+15b = (x^2+x+1)(ax^13+ax^10+ax^7+ax^4+ax+c)(cは定数)
となり,これは x についての恒等式であるから,
 x = 0 を代入 15b=c
 x = 1 を代入 15(a+b)=3(5a+15b) ∴ b=0
 よって,g(x) = ax^13+ax^10+ax^7+ax^4+ax
となる.f(p) = g(p)より,
    ap = ap^13+ap^10+ap^7+ap^4+ap
 これを p について解くと,a=0 より,
    p^13+p^10+p^7+p^4 = 0
   ⇔p^4(p^9+p^6+p^3+1) = 0
   ⇔p^4(p+1)(p^8-p^7+p^6+p^2-p+1) = 0
 これを実数の範囲で p について解くと,
   p = 0 , -1
 以上より,f(p) = g(p) となる実数 p は,0 と -1
である.■

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minexさん

> 管理者様
>
> 初めての投稿となります。
> 以下、ご確認のほど、よろしくお願いいたします。


解答をありがとうございました!正確にはp=0だとf(x)が0になるので、答えは1つだけになります☆ほかの導き方は完璧でしたので、正解者リストにお名前を加えますね♪


> 管理者様
>
> minexです。
> すみません、先ほどの解答について、
> 送信時に管理者のみ表示可にし忘れてしましました…
> 非表示にしていただけますでしょうか?
>
> お手数ですがご対応をお願いいたします。
>
> minex


ご丁寧にありがとうございます。ただ後からでは非表示にできないみたいなので、そのままにしておきますね。

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minexさん

> 管理者様
>
> ご確認ありがとうございました。
> (答案が表示のままなのはちょっと残念ですが・・・)
>
> 自分の解答で、
> > これを p について解くと,a = 0 より,
> の部分は、a ≠ 0 ですね。すみません。
>
> そして、p = 0 だと f(x) が 0 になるので…
> という指摘だったのですが、確かに問題文に f(x) ≠ 0 の記載がありましたが、
> 「1次関数自体が 0 ではない」
> という題意に見て取れたので、a ≠ 0 で考え、
> p = 0 が除外されるということにはならないのかな、と思いました。
> むしろ、f(x) ≠ 0 だからこそ、p = 0 も解になるのではと思ったのですが、
> いかがでしょうか・・・
>
>  例えば f(x) = 2x のとき,g(x) = 2(x^13+x^10+x^7+x^4+x)となり,f(0) = g(0) となりますよね。 f(p)≠0 という記載なら,p = 0 が除外されるのはすっと理解できますが・・・
>
> なんか細かい質問で恐縮ですみません。
> ただ、こういう問題をオリジナルでつくられることにただただ感心するばかりです。
>
> 今後もよろしくお願いいたします!

ご指摘ありがとうございます☆問題の説明が分かりにくくて、文章のとらえ方次第と言えそうですね。もう少し納得しやすい問題文を書くべきでした、すみません。今回の場合f(x)≠0よりf(0)=0なのでx≠0や、f(x)が0にはならないといった内容が必要でしたね。

あとたしかに解答中のa≠0のミスを見落としていました。

できるだけ幅広い分野の問題を作成しているので、ぜひ他の問題にも挑戦してもらえるとうれしいです☆問題文がどちらの意味か分かりにくい場合などもあると思うので、遠慮なく聞いてくださいね!

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dyneさん

> こんにちは。
> 引き続き、30番台頑張ります。
>
> 以上、よろしくお願いします。

すばらしい、完璧ですね!正解です☆

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 答えは、p=0,-1
>
> 素直に考えるのが一番、ですかね?
>
> f(x)=ax+b,F(x)=Σ(i=1~15)f(x^i)=15b+aΣ(i=1~15)x^iと置くと、題意よりF(x)=(x^2+x+1)g(x)。なので、q^2+q+1=0なるq=(-1±i√3)/2について、F(q)=0。q^2=q*,q^3=q*q=1(q*はqの複素共役)だから、F(q)=15b+aΣ(i=1~15)q^i=15b+5a+5a(q*+q)=15b+5a-5a=15b=0。よって、b=0。f(x)=ax+b=ax≠0なので、a≠0。
> このとき、F(x)=a(x^2+x+1)(x+x^4+x^7+x^10+x^13)なので、g(x)=ax(1+x^3+x^6+x^9+x^12)。f(p)=g(p)を解くと、ap=ap(1+p^3+p^6+p^9+p^12)から、p=0,p^3+p^6+p^9+p^12=(p^3+1)(p^6+1)p^3=0となって、p=0,-1,p=exp(±iπn/6) @ n=1~5。pは実数でよいとのことなので、p=0,-1。


この問題も正解ですね♪丁寧な解答をありがとうございます!

いわゆる見かけ倒しの問題でした☆

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しょーさん

> 係数の比較が面倒でした(^^;案外一筋縄じゃ行かないもんですね。。


いいですね!正解です♪数字がずれると、とんでもないことになりそうですね!

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スモークマンさん

> でいいのか知らん…?


この問題も正解ですね♪

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coldiaさん

> いかがでしょうか。


いいですね、正解です☆

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

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