問34

化学反応式を用いた数学
<コメント>他の教科を使った数学シリーズが帰ってきました!今回は化学で習うベンゼン環を使った高校数学の問題です♪必要なのは化学ではなく、数学で習うじゅず順列の知識です。

<数学的な解釈>問題の意味が分かりにくいので、以下のように数学的な問題にします。
円形に並んだ6つの箱があってそこにボールを4/5の確率で入れるとき、空箱とボールの入った箱が交互に並ぶ確率は?」という問題になります。ただし「ボールの入る位置は空箱の中でランダムに決まる。」「空箱の数に関わらず、ボールがどこかに入る確率が4/5になる。」「ボールが1回でも入らなかった時点で終了になる。」です。

問34

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> いわちょ、coldia、スモークマン (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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いわちょさん

> 最初「10個のベンゼン環があるとすると、60個あるHのうち4/5である48個がClに変わる」という意味だと勘違いしてしまい、クロロベンゼンの収率が6C1×4/5×(1/5)^5=24/15625ではないのはなぜだろうと思って思考停止してしまっていました(笑)

すばらしい、一人目の正解者です!ベンゼンを高校数学に適応した新しい種類の問題でした♪

正確に意味が伝わるか心配だったので、念のため問題を出す直前にクロロベンゼンの収率の文章を加えたのがよかったです!もう数年日本に帰っていないので、日本語の文章をもっと気をつけようと思います☆

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 答えは、この反応の1,3,5-トリクロロベンゼンの収率は4.3%。ただし、問題では仮定していないところを独自解釈している。
>
> 反応は、以下のようなものと考えられる。系全体の反応式は、ベンゼン環をBとして、
> B+Cl⇔BCl
> BCl+Cl⇔BCl2
> BCl2+Cl⇔BCl3
> BCl3+Cl⇔BCl4
> BCl4+Cl⇔BCl5
> BCl5+Cl⇔BCl6
> 個別の反応の時数は1(多重置換、例えばB+Cl+Cl⇔BCl2などは考えない)。反応係数k、逆反応係数rであり、Clの配位には依存しないと仮定する。また、反応物の総濃度は一定でB、Clの濃度Cは十分大きく一定とする。問題では反応は『不可逆』となっているが、逆反応がないと最終的には全てヘキサクロロベンゼンになってしまうので、十分時間が経ったときに、各置換ベンゼンが一定の濃度比で定常的に存在するようになる、と解釈する。すると、各反応物の濃度Bi(iはCl置換数)の時間変化は、
> 0)dB0/dt=-k(B0)C+r(B1)
> 1)dB1/dt=k(B0)C-rB1+rB2-k(B1)C=k[B0-B1]C-r[B1-B2]
> 2)dB2/dt=k(B1)C-rB2+rB3-k(B2)C=k[B1-B2]C-r[B2-B3]
> 3)dB3/dt=k(B2)C-rB3+rB4-k(B3)C=k[B2-B3]C-r[B3-B4]
> 4)dB4/dt=k(B3)C-rB4+rB5-k(B4)C=k[B3-B4]C-r[B4-B5]
> 5)dB5/dt=k(B4)C-rB5+rB6-k(B5)C=k[B4-B5]C-r[B5-B6]
> 6)dB6/dt=k(B5)C-rB6
> 反応はClの配位に依存しないので、各濃度Bi(i=1~6)は置換ベンゼンの異性体の濃度の和である。
> 十分時間が経って、定常状態dBi/dt=0(i=0~6)に達したとすると、
> 0)0=-k(B0)C+r(B1)
> 1~5)0=k(Bi-1)C-r(Bi)+r(Bi+1)-k(Bi)C
> 6)0=k(B5)C-r(B6)
> を解いて、Bi=(B0)(kC/r)^i(i=1~6)。B=Σ(i=0~6)Biだから、B0=[(kc/r)-1]/[(kc/r)^7-1]Bとなる。
> 問題では『Clへの置換反応の収率が80%』と、『クロロベンゼンの収率が16%』という文章がある。前者はkC/r=4/5、後者は1置換ベンゼンの定常濃度B1=16/100×Bであると解釈できる。しかし、前者が成り立つならB1=(0.8-1)/(0.8^7-1)×0.8B=0.202Bとなり両立しない。う~~ん、困った。(他にも置換ベンゼン全体の定常濃度Σ(i=1~6)Bi=0.8の可能性もあるが、問題の式1から1置換ベンゼンをクロロベンゼンと表記していると考えて、除外。)
> 後者からkC/rを求めるには、[(kc/r)-1]/[(kc/r)^7-1](kC/r)=(x-1)x/(x^7-1)=16/100 @ x=kC/rを解く必要があるが、大変なので、前者の(kC/r)=0.8を採用することにする。
> すると、3置換ベンゼンの定常濃度B3=(0.8-1)/(0.8^7-1)×(0.8)^3×B=0.13B。3置換体は(1,3,5-、1,3,4-、1,2,3-の)3種類あるので、1,3,5-トリクロロベンゼンの定常濃度は(B3)/3=0.043B。よって4.3%(反応は異性体を区別しないので、置換数の等しい各異性体は同量生成する)。
> 以上から、この反応の1,3,5-トリクロロベンゼンの収率は4.3%。
> 問題にないところを相当仮定したりなんだりしているので、きっとこういう問題ではないのだろうと思いつつ(笑)。


こんにちは☆問題が分かりにくくてすみません。まず定常状態ではなく、常にある決められた反応時間で行っているものとしています。問題文のはじめにある80%は、一ヶ所しかClに変えられないベンゼンを使ったときにClが付いたものが80%、Hが付いたものが20%できたという意味です。これと同じ反応時間で充分なCl存在下で、最大6ヶ所までClに変えられる普通のベンゼンを使ったときにどうなるかという問題です!また3置換体は3つありますが、それぞれ生成しやすさが違うため、収率が全て同じとは限りません!

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> せっかく説明してもらったんですが、やっぱりよくわからんです。
>
> 問題を説明してもらったので、再トライ。
> 『常にある決められた反応時間で行っているものとしています』とあるので、逆反応を無視しても、ある割合で反応生成物が存在できる。問題文中の『不可逆』『Clに替わった部分は、それ以上反応しない』を字面通りに解釈することができる。
> とりあえず、各反応が1次反応という仮定は存続するとして、各反応物の濃度Bi(iはCl置換数)の時間変化は、反応の速度定数をk、Cl濃度をCとして、
> 0)dB0/dt=-k(B0)C
> 1)dB1/dt=k(B0)C-k(B1)C=k[B0-B1]C
> 2)dB2/dt=k(B1)C-k(B2)C=k[B1-B2]C
> 3)dB3/dt=k(B2)C-k(B3)C=k[B2-B3]C
> 4)dB4/dt=k(B3)C-k(B4)C=k[B3-B4]C
> 5)dB5/dt=k(B4)C-k(B5)C=k[B4-B5]C
> 6)dB6/dt=k(B5)C
> これを解いて、Bi=B/i!×(kCt)^i×exp(-kCt)(i=0~5),B6=B-Σ(i=0~5)Bi。
> さて、説明に『一ヶ所しかClに変えられないベンゼンを使ったときにClが付いたものが80%、Hが付いたものが20%できた』とある。思考実験なので、字面通り解釈する。つまり、上記の律速方程式1)を
> 1’)dB1/dt=k(B0)C
> として、2)以降の反応をストップさせる。ただ、『これと同じ反応時間で充分なCl存在下で、』とあるので、Cl濃度Cを小さくしてB2以下を無視しているのかもしれない。
> 『常にある決められた反応時間』をTとすると、B0=Bexp(-kCt),B1=B-B0=B[1-exp(-kCt)]から、B0/B=exp(-kCT)=0.2となるので、kCT=-log0.2。
> ここで理解できないのが、問題文の『すなわちクロロベンゼン(ChB)の収率は、全体の16%(4/5×1/5)となる』という文章。私も勘違いしていたので調べ直したら、「収率=実際の目標生成物の量(収量)/理論上の目標生成物の量(理論収量)」。なので、思考実験なら常に収率100%を想定できる。
> しかし、おそらくこの意味で『収率』という単語を使ってはいないと思われる。私も勘違いしたように「収率:理論収量での生成物量/投入物量」であろうと推測する。量は、化学式が判明しているので、molで測るのが自然と思われる(式が不明な時やプラント管理などでは重量を用いる場合もある)。
> 生成物はChBで問題ないと考えられる。通常は化学式の係数の小さい物質、あるいは注目している物質を投入物として用いるが、「通常」はとりあえず置いておくしかない。ベンゼンを投入物質とすると、『すなわち・・』は収率=生成したChBの量/投入したベンゼンの量となって、これは0.8=4/5である。よって問題文にある4/5×1/5と合わない。が、とりあえず先に進める。
>
> 題意から、Clが置換する位置に反応速度が依存しないので、同数をCl置換した異性体の生成量の比は、反応するベンゼンまたは置換ベンゼンの異性体の量の比で決まる。
> CrBはベンゼンのCに差異がないので、異性体の区別がない。つまり、CrBは一種類である。
> 2置換diCrBには1,2-、1,3-、1,4-の3種類の異性体がある。CrBのHのついているCに差異はないので、これらの異性体は等量生成する。
> 3置換triCrBには1,2,3-、1,2,4-、1,3,5-の3種類の異性体がある。これらは、例えば1,3,5-triCrBは1,4-diCrBからは生成しない、といった差異がある。具体的には、1,2,3-troCrBは1,2-diCrBと1,3-diCrBから3単位量。1,2,4-triCrBは各diCrBから8単位量、1,3,5-triCrBは1,3-diCrBのみから1単位量生成する。よって、1,3,5-triCrBの生成量はT=B3/12である。
> 『常にある決められた反応時間』をTとすし、kCT=-log0.2=1.61とすれば、B3=B/3!×(kCT)^3×exp(-kCT)=0.2(1.61)^3/6×B=0.139×B。よって、1,3,5-triCrBの生成量T=B3/12=0.0116×B。
> 「収率:理論収量での生成物量/投入物量」として、投入物をベンゼン(量B)、生成物を1,3,5-triCrB(量T)とすれば、収率はT/B=0.0116=1.16%。ちなみにCrBの生成量はB×(kCT)exp(-kCT)=0.322Bで収率32.2%。
>
> 不明な点は2つ。
> 1つは問題文の『すなわちクロロベンゼン(ChB)の収率は、全体の16%(4/5×1/5)となる』という文章で述べられている「収率」の定義。解答に直結するので、これがわからなとどうしようもない。1/5を収率、つまり「理論上は4/5=80%ChBが生成するが、収率=実際の収量/理論上の収量が1/5=20%のため、CrBの収量が4/5×1/5=16%になる」と解釈しようか・・・でも『すなわち』と結びつかない。困りました。
> もう1つは、解説文の『これと同じ反応時間で充分なCl存在下で、最大6ヶ所までClに変えられる普通のベンゼンを使ったときにどうなるか』という文章。0次反応以外では、化学反応の速度や平衡は関係する物質の濃度(量)に依存する。なので、CrB80%、B20%の反応と同じ反応時間でも、Cl濃度を変えると、生成物の量が変わってしまう。収率に、おそらく直結する問題でもあり、これも不明では解答はおぼつかない。
> う~む、難しい問題です。


こんばんは☆前回の説明が不十分で大変失礼しました。

収率は「(ある生成物の物質量)/(全物質の物質量=ベンゼン&全ベンゼン誘導体の物質量)」とします!例題の80%はベンゼンが最大1つしかClに変化しないものを用いた場合なので、(Clになった生成物の物質量)/(全生成物の物質量)=80%、(Clにならなかった生成物の物質量=反応しなかったものの物質量)/(全生成物の物質量)=20%です。問題の16%はベンゼンが最大6つまでClに変化する場合なので、(一つだけClになった生成物の物質量)/(全物質の物質量)=16%という意味です。

時間や速度についての議論がされていますが、そもそもこの問題に時間や速度は提示されていないので、回り道になると思います。むしろ一段階の反応の平衡定数K(正確には平衡反応ではないので、決められた反応時間での生成比といったところでしょうか)で考えた方が良いでしょう。まずベンゼンが最大1つしかClに変化しないものの場合、[B1]=4/5よりK=[B1]/[B0]=4と分かります。ベンゼンが最大6つまでClに変化する場合でも[B0]=1/5はそのままですが、B1はB2、B3…と反応するため[B1]=4/5ではありません。ただしB6はこれ以上反応しないため、[B6]/[B5]=K=4です。([B5]+[B6])/[B4]=K=4、([B4]+[B5]+[B6])/[B3]=K=4…となり、この計算で行くと[B1]=4/25(16%)が導けます♪

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> 丁寧な説明、ありがとうございます。
> が、やっぱり理解できませんでした。
> 問題の状況が問題文から、さらに説明までしてもらっても理解できないとなれば、当然ギブアップです。
>
> ちなみに今回の説明でも『ベンゼンが最大6つまでClに変化する場合でも[B0]=1/5はそのままですが、B1はB2、B3…と反応するため[B1]=4/5ではありません。』で、B1が反応して減少するなら、B0(ベンゼン)も反応して各物質の量の再分配が起こるから、『B0=1/5のまま』なわけがない、ですよね。
> まぁ、化学反応の常識をとりあえず捨てておいて、問題の状況は説明通りだと理解しても、この状況が問題文から読めなければ、やっぱり解けないわけでして。
> いや、いまだに、なぜ説明のような状況になるのかが理解できないんですが。その理由はわかってるんです。私が「問題の置換反応が化学反応の速度論あるいは量論に従って進行する」と考えてしまうからなんですよ。頂いた2つの説明を見れば、問題で設定されている状況では、速度論とは全然別の機構で置換が進むと設定されていることはわかったんです。反応機構は問題の骨格そのものですから、この「別の機構」を推定できないと解には達しえないとなれば、ギブアップでしょうね。


そうですか、残念です。以下は今回の問題のことは無視し、一般的な化学について誤解があるようなので追記しておきます。B0→B1→B2という不可逆な反応について例をあげています。

まずB1がさらに反応する場合(B0→B1→B2)と反応しない場合(B0→B1のみ)で、不可逆な反応の場合にはB0の減少速度は変化しません。shah-sanの立てた反応速度式にもあるように、B0の反応速度は-k[B0]であり、1次反応の場合にはB0の濃度と反応中一定な速度定数(温度や触媒に依存し、反応に関係するものの濃度には関係ない定数)のみに依存します。もちろん0次反応や2次反応などでも、[B0]^0や[B0]^2となるだけで同じです。したがって不可逆反応で、B0の反応速度はB1の濃度によって変化することはありません。

B0の濃度はB1の濃度によって変化するのは可逆反応の場合で、おそらくshah-sanさんはこちらを考えてしまっています。この場合B0の反応速度は-k[B0]+k[B1]となるため、B1が他の反応で減少する場合とそうでない場合で、[B0]の反応速度が変化します。また通常ベンゼンのHをClに変える反応は不可逆反応です。これは問題文にも提示したため、一般的な化学との相違はないと思います。

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coldiaさん

> 何か長々と議論がなされてますが要するに
> 「円形に並んだ6つの箱があってそこにボールを4/5の確率で入れるとき、空箱とボールの入った箱が交互に並ぶ確率は」って問題なのではないんですか?
> 空箱がベンゼンの水素原子、ボールの入った箱が塩素原子に対応していると考えて。不可逆=一度入れたボールは取り出さない。他の箱にボールが入ってても4/5は変わらない。
> この程度の理解でいいんじゃないかなって思って解くと
>
> クロロベンゼンが全体の16%になるのがちょっと分かんないんですけど
>
> 1,3,5-トリクロロベンゼン的配置になるのが
> ボールが1,3,5の位置と2,4,6の位置に入ったときなので
> 2*(4/5)^3*(1/5)^3
> =128/15625
> =0.008192%
>
> ちがいますか?(モノクロロが16%であることを理解出来てないので、自信ないです)


問題が分かりにくくてすみません。coldiaさんのボールの例えがいいですね!この「円形に並んだ6つの箱があってそこにボールを4/5の確率で入れるとき、空箱とボールの入った箱が交互に並ぶ確率は」に追加&確認で、「ボールの入る位置は空席の中でランダムに決まる。」「空席の数に関わらす、ボールがどこかに入る確率が4/5になる。」「ボールが1回でも入らなかった時点で終了になる。」です☆おそらく「ボールが1回でも入らなかった時点で終了になる。」のような説明文が必要でした。もう少し問題文を練り直して、追加説明を加えたいと思います!

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coldiaさん

> なるほど、再び自分なりに解釈してみると
> 「ベンゼンには一度クロロ化機会が与えられ、80%の確率で成功する」
> 「クロロ化に成功すれば、水素原子が余っている限り何度でもクロロ化の機会が与えられる(活性である)」
> 「クロロ化が一度失敗したベンゼン誘導体はそれ以上クロロ化の機会が与えられない(不活性とみなす)」
> ということでしょうか。化学は得意でしたが反応機構のような事細かな話はよく分からないのであまり妥当性は分かりませんが(^^;)
>
> と、考えるのであればトリクロロの収率は、(4/5)^3*(1/5)で、
> そのうち1,3,5-の位置にないものもあるので全体に対する1,3,5-の割合を数えれば良いですが
> ベンゼンの回転を止めてしまって上の水素から時計回りに1,2,3,4,5,6と番号を振り、置換したClにもその順番にa,b,cと名前をつけると(ただClを区別したいだけです)
> Clのつけ方は全部で6*5*4通り、
> そのうち1,3,5-の位置にClがついているものは
> ・1,3,5-の位置に順不同で置換したもの→6通り
> ・2,4,6-の位置に順不同で置換したもの→6通り
> の合計12通りがあるので、
> トリのうち今関心のある構造を持った分子は
> 12/6*5*4=1/10の割合で含まれます。
>
> したがって1,3,5-トリクロロベンゼンが生成する確率は
> (4/5)^3*(1/5)*(1/10)=32/3125
> よって1.024%となります。
>
> と、いう結果になったのですが合っているでしょうか(汗)
> 数珠順列、使用しませんでしたが…


すばらしい!正解です☆この問題は念のため事前に化学の博士課程の方に解いてもらったところ、あっさり解いたので簡単だと思っていたのですが、おそらく問題の解釈の仕方が分かりにくいため、ほとんど解答者が現れなかったのだと思います!後で数学のみとして解くための内容を付け加えておこうと思います♪よく分からない問題でもしっかり解いていただき、ありがとうございます☆

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スモークマンさん

> (2/(6+12+2))*(4/5)^3
> =32/625
>
> と思うのですが…
> coldiaさんのx(1/5)の意味がわかりません…^^;…?


(4/5)^3だけだと、3個以上付く確率になってしまいます。ちょうど3個付く確率なので、1/5が必要です!具体的には同様に2個付く確率がもし(4/5)^2だと、(4/5)^2+(4/5)^3の時点で確率が1以上になってしまいますよね。

ほとんど正解なので、オマケの正解にしますね☆

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

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