問33

最小値を求める問題
<コメント>前回の問題と数字の並びが良く似ていますが、全く解き方が違う別の問題です。
どちらの問題も計算しやすい数字を選んだら、奇跡的によく一致しました。
問33

<追加コメント1>今回必要なのはひらめきのみで、計算はすぐ終わる問題です。
ヒント1:高校数学では必須の関係式を使います☆

<追加コメント2>数学的に解く以外に、a,b,cに分数も含めていろいろな数字を入れてみて、
できるだけ小さくなる値を探す方法もあるかもしれませんね。
ヒント2:最小値は整数になります☆

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> いわちょ、くわがたお、dyne、shah-san、coldia、たけちゃん (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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いわちょさん

完璧です!最初の正解者ですね☆

> 似た問題でこの解法を知っていたので解けましたが、正直これ自力では思いつける気がしません…(笑)

さすが、博学ですね!数学オリンピックの問題で気に入っていたので、解法を参考にして応用して出題してみました☆

大部分の問題は完全なオリジナル問題ですが、アイデアがつきてきたときには数学オリンピックや大学入試の良問などの解き方を参考にして作成しているものもあります☆(今回はちょっと似すぎてしまいましたが。)数字などの内容や解き方は違いますが、問32も数学オリンピックのある問題を参考にしました。

回答

a3b4b-1ですか?
初めての投稿です。
これからもチョコチョコ遊びにきます

soraさん

解答をありがとうございます!a=3,b=4,c=-1で、4225/16ですか?

マイナスを使うのはおもしろい発想で、すごくいいですね!ただ1つマイナスにすると、ほかの数字が大きくなってしまうので、実は今回は全部正の数になりますよ♪a,b,cに分数も使用可です☆

再チャレンジ

a4b2c0
答え32
どだ!!
気になって寝れない。

soraさん

おしいです!でもかなり答えに近づいていますよ!がんばれば30以下にもできます☆

0乗もおもしろいアイデアですね!新しい問題作成の何かヒントに繋がりそうな気がしています♪

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たみひかのろさん

う〜ん、何か違いますね。a=24/7, b=12/7, c=6/7を最初の式に代入すると、最小値は12ではなく30以上になりますし、a+b+c=6という条件があっても最小値は30以下にすることもできますよ。

相加相乗平均の関係を使うのは、もちろん正しいです♪でもそのまま使わずに一工夫必要なところが、この問題の難しいところですね☆

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くわがたおさん

くわがたおさん、こんばんは!

すばらしい、正解です☆今回はがんばれば、最小値が見つけられる問題でしたね♪

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dyneさん

> こんばんは。
>
> 答が分かれば、逆にエレガントな方法が思いつくかなと邪なことを考えたのですが(汗)、
> それでも変形が思いつかないので、とりあえず、このままアップして、
> ちゃんとした解法、思いついたらまたアップします。
>
> ちゃんと、頭使ってなくてすみません。
>
> ちなみに、束縛条件が一つ足りない時に使えたかどうか自信ありませんでしたが、
> グラフソフトで描画して確認してみたら、最小値っぽかったので、合ってそうです。

すばらしい!高校生には絶対に解けない方法ですね☆

どんな方法でも解ければ正解です♪解説を載せるときに、別解として掲載させてもらいますね!

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 答えはa=4,b=3/2,c=1/2で、最小値28。
>
> 最初は相加平均と相乗平均の関係式を使おうと思ったんですが。拘束条件があっても使えないと考え直しまして(3変数なのに関係式と拘束条件の2方程式しか出てこないので)。結局微分で極値を求めるという、オーソドックスな方法に落ち着きました。多変数の極値は注意が必要ですね。でも、偏微分とか2変数関数の極値問題とか、高校生でしたっけ?
>
> X=2^a+4^b+16^c=2^a+2^(2b)+2^(4c)と置く。
> a=6-b-cを代入してX=2^(6-b-c)+2^(2b)+2^(4c)。最小値を与えるb,cで、∂X/∂b=∂X/∂c=0だから、
> ∂X/∂b=-2^(6-b-c)×log2+2×2^(2b)×log2=0、つまりA)-2^(6-b-c)+2^(2b+1)=0。
> ∂X/∂c=-2^(6-b-c)×log2+4×2^(4c)×log2=0、つまりB)-2^(6-b-c)+2^(4c+2)=0。
> A-B=2^(2b+1)-2^(4c+2)=0なので、b=2c+1/2。これをAに代入して、-2^(6-2c-1/2-c)+2^(4c+2)=-2^(-3c+11/2)+2^(4c+2)=0
> なので-3c+11/2=4c+2だからc=1/2。よって、b=1+1/2=3/2,a=6-b-c=6-3/2-1/2=4。X=2^4+2^(3/2*2)+2^(4*1/2)=16+8+4=28。
> 最小値の条件∂^2X/∂b^2>0,∂^2X/∂c^2>0の確認をしておく。
> ∂^2X/∂b^2=2^(6-b-c)×log2+2×2^(2b+1)×log2=[2^(6-b-c)+2^(2b+2)]log2>0。
> ∂^2X/∂c^2>0=2^(6-b-c)×log2+4×2^(4c+2)×log2=[2^(6-b-c)+2^(4c+6)]log2>0。
> なので、上記のa,b,cは最小値を与える。
>
> ちなみに、任意の正の実数A,B,Cについて、相加平均と相乗平均の関係A+B+C>=3(ABC)^(1/3)、等号はA=B=Cで成立、を適用しようとすると。
> A=2^a,B=2^(2b),C=2^(4c)として、A=B=Cは2^a=2^(2b)=2^(4c)だから、a=2b=4c。つまりb=a/2,c=a/4。a+b+c=6に代入して、a+a/2+a/4=7a/4=6だから、a=24/7,b=12/7,c=6/7。
> A+B+C=3(ABC)^(1/3)=3×2^a =3×2^(24/7)~32.3>28。上で求めた最小値28より大きい値になる。一見したところa=24/7で解けているようなので、恐い。
> Y=3(ABC)^(1/3)=3×2^[(a+2b+4c)/3]=2^[(6+b+3c)/3]と置くと、
> ∂Y/∂b=2^[(6+b+3c)/3]log2>0、∂Y/∂c=3×2^[(6+b+3c)/3]log2>0となり、この条件では相乗平均には最小値が存在しない。もう1つ拘束条件が必要である。
> 相加平均と相乗平均の関係が必ずしも最小値を与えないことに注意。
>
> もっとシンプルに、P=2^p,Q=2^q,p+aq=dの場合、X=Yはp=qのときで、p+ap=dだからp=q=d/(a+1)。Y=P+Q=2(PQ)^(1/2)=2^[d/(1+a)+1]。d,aが既知であれば右辺は定数となり最小値を与えるが(x,yの2変数に2つの条件式で確定する)、一方でも未知だと拘束条件が足りなくなる。


こんにちは。偏微分を使った解答ですか☆偏微分は高校では習いませんが、ほかの方からも偏微分の解答が送られてきました。このタイプの問題では、高校以上では偏微分がオーソドックスな方法かもしれませんね!

相加相乗平均の関係を使っても28を導けますよ♪この場合、等号成立の条件は使いません。こちらもshah-sanさんと同じ解答が以前送られていて32.3になっていました。もちろん間違いですね!そもそも等号成立の条件を使って、不等式や最小値を出してはいけなかったと思います。たしか等号成立の条件は基本的には解き終わったあとに、等号が本当に成立するか確認するときに計算するだけだったような気がしますね。

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coldiaさん

> 相加相乗平均を使うんだろうと思ったのですが、
> 3文字の相加相乗平均を使おうとすると文字が消えないので危うく騙されることになりますね。
>
> a+b+c=6であることを用いて
> 2^a+4^b+16^c
> =2^a+2^2b+2^4c
> =2^a+2^2b+2^(24-4a-4b)
> ここで、相加相乗平均の関係を用いたいのですが、積の部分には変数を残してはいけないのでちょっと工夫をします。
> 2^(-4a)と打ち消し合うためには2^aは4つ必要なので
> 2^a→(2^a+2^a+2^a+2^a)÷4
> すなわち2^(a-2)+2^(a-2)+2^(a-2)+2^(a-2)
> と表現します。
> 同様に2^(-4b)を消すため
> 2^2b→(2^2b+2^2b)÷2=2^(2b-1)+2^(2b-1)
> と表します。
> すると与えられた式は
> 2^(a-2)+2^(a-2)+2^(a-2)+2^(a-2)+2^(2b-1)+2^(2b-1)+2^(24-4a-4b)
> この式はすべての項が正なので、7文字verの相加相乗平均(笑)を適用すると
> (与式)>=7*{2^(4a-8)*2^(4b-2)*2^(24-4a-4b)}^(1/7)
> =7*(2^14)^(1/7)
> =7*4=28
> となるので最小値は28
>
> このときのa,b,cが存在するかどうかは必ずチェックしなければならないのでチェックすると
> 等号成立条件
> 2^(a-2)=2^(2b-1)=2^(24-4a-4b)
> すなわち a-2=2b-1=24-4a-4b
> これを解けばa=4, b=3/2, c=1/2
> となるので確かに28という値をとれることが分かります。
>
> したがってa=4, b=3/2, c=1/2のとき最小値28が答えです。
>
>
> ちなみに相加相乗平均は2文字or3文字なら力技やら因数分解の公式やらでなんとか示せますが、僕の知る限りでは
> n文字の相加相乗平均は、
> 上に凸な関数f(x)に対する凸不等式
> f((a1+a2+…+an)/n)>={f(a1)+f(a2)+…+f(an)}/n
> を帰納法で証明して、f(x)=logxとおくと
> log((a1+a2+…+an)/n)>=(loga1+loga2+…+logan)/n=log(a1*a2*…*an)^(1/n)
> →(a1+a2+…+an)/n>=(a1*a2*…*an)^(1/n)
> となり、示せる、というものですね。


正解です☆こちらの解答もせっかくなので、そのままコメント欄に掲載させていただきますね!

解答者によっては積の部分に文字を残してしまい、別の解答になっていました。そのためcoldiaさんの解答は、うっかり間違えやすい誤答についても説明しているお手本のような解答ですね☆

またn文字の相加相乗平均の証明もありがとうございます!とても参考になるので、添付させていただきます♪

No title

高校では偏微分はやりませんが,1文字ずつ動かすことで,
ある意味で等価な手法は使えます.

cを固定して,2^a+4^(6-c-a)+16^c=f(a)とおけば,
f'(a)=(2^a)log2-2(4^(6-c-a))log2
=(log2)(2^a-2^(13-2c-2a)).
よって,f(a)は,a=(13-2c)/3で最小.
f((13-2c)/3)=2^((13-2c)/3)+4^((5-c)/3)+16^c
=3(2^(10/3))(2^(-2c/3))+16^c.
これをg(c)とおけば,
g'(c)=-2(2^(10/3))(2^(-2c/3))log2+4(2^(4c))log2
=(log2)(-2^(13/3-2c/3)+2^(4c+2)).
よって,g(c)は,c=1/2で最小.
g(1/2)=3(2^3)+16^(1/2)=24+4=28.

以上より,最小値は28であり,
そのとき,c=1/2,a=(13-2c)/3=4,b=6-a-c=3/2.


なお,n文字の相加平均と相乗平均の大小関係については,
以下のように,数学的帰納法で示す方法もあります.

a[k]と表されるものはすべて正の実数であることを前提に,
「(a[1]+a[2]+a[3]+…+a[n])/n≧(a[1]a[2]a[3]…a[n])^(1/n)」…(*)
が成り立つことを,数学的帰納法により示す.

[I] n=1のとき,(*)の両辺ともa[1]で一致するから,(*)は成り立つ.

[II] n=kのとき,(*)が成り立つと仮定して,n=k+1のときを考える.
a[1]≦a[2]≦a[3]≦…≦a[k+1]であるとして一般性を失わない.
(a[1]+a[2]+a[3]…+a[k]+a[k+1])/(k+1)=mとおくと,a[1]≦m≦a[k+1].
ここで,b=a[1]+a[k+1]-mとおくと,帰納法の仮定から,
(b+a[2]+a[3]+…+a[k])/k≧(ba[2]a[3]…a[k])^(1/k).
左辺は,(a[1]+a[k+1]-m+a[2]+a[3]+…+a[k])/k=((k+1)m-m)/k=mであるから,
両辺をk乗して,m^k≧ba[2]a[3]…a[k]よりm^(k+1)≧mba[2]a[3]…a[k]を得る.
mb-a[1]a[k+1]=m(a[1]+a[k+1]-m)-a[1]a[k+1]=(m-a[1])(a[k+1]-m)≧0だから,
mb≧a[1]a[k+1]となって,m^(k+1)≧a[1]a[2]a[3]…a[k]a[k+1].
これより,n=k+1のときも(*)は成り立つ.

以上(I),(II)より,(*)は任意の自然数nに対して成り立つ.

たけちゃんさん

たしか何名か偏微分を使った解法も寄せられましたが、いろいろな方法で解けるというのも数学の醍醐味ですね♪

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Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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