問32

整数の組み合わせを探す問題
<コメント>今回も答えの組み合わせは1つしかないので、偶然見つけても正解にするラッキー問題です!数学的に解く場合、うまく範囲や条件をしぼることができれば、数字を3回代入するだけで全ての組み合わせについて成り立つかどうかを証明できます☆
問32

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> たんめん老人、いわちょ、たみひかのろ、くわがたお、dyne、Wilsonic、つー、gb、shah-san、しょー、coldia、たけちゃん (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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たんめん老人さん

すばらしい、1人目の正解者です!

ちなみに答えはこの1つしかないのですが、それを証明するのは結構難しいですよ♪

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いわちょさん

さすがです!証明も含めた解答では、1人目の正解者です☆

> 3回代入するだけで証明できるということは、もっといい絞り方があるということですよね…
> 思いつかないです…

実際に証明ありの解答では、いわちょさんの解き方が最も速い方法だと思います!もし試験なら満点のベストな解答ですよ☆

数学的にもう少し遊ぶと、いわちょさんの見つけた条件に加えて、もう一条件mの範囲を見つけることができますよ♪ヒントは右辺はつねに3の倍数なので、式を変形して左辺が3の倍数にならないmの範囲を除外できます。

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たみひかのろさん

> 仕事が多忙で久しぶりに挑戦しております
> 答えの予想がつく問題はいくつかありますが、
> 証明ができないのでもう少し考えます。
> 取り急ぎ、この問題はこれでいかがでしょうか?

お久しぶりです☆お仕事が忙しいにも関わらず、解答をありがとうございました!

早速正解です♪自分の予定していた解き方とは少し違って、わかりやすくてきれいな解答ですね!自分の方法を別解にしたいぐらいです(笑)

お仕事がんばってください!もしまたお時間があるときに、問題に挑戦していただけるとうれしいです☆

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くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^

くわがたおさん、こんばんは☆この問題も正解です!

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dyneさん

> はじめまして。
> 以前から楽しく読ませていただいております。
> 今回、問題に初挑戦させていただきます。
> 最新に近い問題に挑戦していたのですが、まったく歯が立たず、
> この問題にさせていただきました。
>
> 整数問題は苦手で、あまり自信はありませんが、よろしくお願いします。
> 引き続き他の問題にも挑戦してみたいと思います。

すばらしい!正解です♪丁寧できれいな解答をありがとうございました☆解答者リストにお名前を掲載しました!

まだほとんどの問題は解答を受け付けているので、もし良さそうな問題があればぜひ解いてみてくださいね☆できるだけ幅広い難易度や分野の様々な問題を出しています!

制作者自身も実は整数問題が苦手です(笑)整数問題は数学が少し苦手な方でも手をつけやすいかなと思い、最近は多く出題する傾向にありますね☆あと他の種類の問題よりやや人気が高いようなので。

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Wilsonicさん

> 最初、一の位に着目して数を絞ったあと、余りを見て数を
> 調べていったら、随分時間がかかってしまいました(汗

すばらしい、一の位に着目して解く方法ですか!ちょっと計算がたいへんそうですが、おもしろいですね!これまでにいくつかの別解が寄せられましたが、これはまた新しい解き方ですね♪ぜひ解答を載せるときに、Wilsonicさんの解き方を掲載したいと思います☆

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つーさん

無駄がなく、スムーズに見つける解き方ですね!もちろん正解です☆

この問題は解答者によって、いろいろな絞り方を教えてもらえた興味深い問題でした♪

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gbさん

いいですね、正解です♪

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> 答えは、m=2,n=2。これだけ。
>
> これが簡単ではないかと、思いますが。どうでしょうか。
>
> P=2^m+4^m+16-6^nと置く。方程式P=0を解きたい。
> P≡2^m+1+1≡0 mod 3である必要があるので、mが偶数。これから、P≡-(2^n)≡0 mod 4である必要があるので、nも偶数。
> 方程式P=0は、(2^m)^2+2^m-(6^n-16)=0。これは2^mの2次式なので、2^m=(-1+√D)/2,D=1+4(6^n-16)=4×6^n-63。
> 2^mは整数なので、D=4×6^n-63=p^2(pは自然数)と置くと、(2×6^(n/2)+p)(2×6^(n/2)-p)=63。nは偶数なので、右辺の()内は整数。よって、(2×6^(n/2)+p)(2×6^(n/2)-p)=9×7,21×3,63×1の3通りの可能性がある。それぞれについて、(2×6^(n/2)-p)+(2×6^(n/2)+p)=4×6^(n/2)=16,24,64だから、n=2のみ(与式=24)となる。このとき(2×6^(n/2)+p)-(2×6^(n/2)-p)=2p=18だからp=9。よって、2^m=(-1+9)/2=4だから、m=2。
> Pにm=2,n=2を代入すると、2^2+4^2+16-6^2=4+16+16-36=36-36=0で、確かに題意を満たす。よって、解はm=2,n=2。これだけ。


こんにちは。判別式を使い、しかも最終的に答えを1つだけに絞れる方法ですか!これはすばらしい解答ですね♪解き方がおもしろいだけでなく、代入しなくても解を導けるとはすごいです☆

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しょーさん

> 1つ見つけよって1つしかないやんwwwって思いながら解きましたよ。。
> どれほど苦労すると思ったら、因数の関係と合同式で何とかなってしまいました。。
> おかげでほとんど代入という作業をやってないです(^^;


正解です!問題の上のコメントに「答えの組み合わせは1つしかない」って書いてありますよ?

代入せずに解いたのかと驚きましたが、しょーさんの解答でもnとmの範囲をしぼり込んだ後に代入して答えかどうか確認しているので、しっかり代入作業していますね☆

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No title

追記です。コメントの細部見逃してました。。確かに1つしかないって書いてありますね(^^;

しょーさん

> 確かに言われてみれば代入してると思いますね(^^;
> やってることは同じなんでしょうけど、代入するものが「数字」か「式」かでもまたイメージが違うようにも思えます。。少なくとも自分は式みたいに一般化したものを代入するとなると代入って意識があまりないですね(^^;
> イメージの問題と言われたらそれまでなんでしょうけど。。
>
> 追記です。コメントの細部見逃してました。。確かに1つしかないって書いてありますね(^^;


誤解があるようなので追記しますが、文字のことではなく、全て数字の代入のことです!具体的にはしょーさんの解答のm=6として4^6=4×4^5=4×1026を計算していますし、細かく見ればほかにも文字へ数字を代入しています。

細かく議論してしまいましたが、とくに代入の回数を競う問題というわけではないし、どんな解答でももちろん優劣などはないです。むしろしょーさんの解答は、分かりやすくてすばらしいですので良い解答だと思います☆ただ勘違いがあったので、追記しただけです。

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coldiaさん

正解です!他の解があるかどうかの証明もいいですね☆

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Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

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