問31

高校生がシグマの公式を覚えているか試すのに適した問題
<コメント>最初はかなり適当に作った問題でしたが、意外ときれいに計算できました♪シグマの計算が一通り出てきます。公式に当てはめて計算し終わると、突然整数問題に変わります。問31

<コメント追加>公式がうろ覚えの場合は、もちろん確認OKです!

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> いわちょ、くわがたお、たみひかのろ、原宿ミツバチ、Wilsonic、dyne、gb、shah-san、 coldia、スモークマン、しょー、たけちゃん (敬称略)

問題の一覧↓
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いわちょさん

> Σk、Σk^2、Σk^3の公式をすべて当てはめて解いた後、この解き方に気づきました
> この考え方を応用すれば4乗以上の公式も作れそうですね

すばらしい、最初の正解者です!一見計算が大変そうなので敬遠されるかと思いましたが、しっかり解いてもらえてうれしいです☆

制作者本人も計算してから、きれいに項が増えていることに気がつきました(笑)最初はボツになる問題のつもりで適当に作ったら、かなりおもしろい問題になってしまいましたね♪

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^
>
> あんまりきれいじゃない(?)ので計算ミスしてるっぽいですがっ、

くわがたおさん、おはようございます♪計算ミスっぽいですね。

ヒント:シグマを1つ計算するたびに、きれいにまとめられますよ☆
n → 1/2n(n+1) → 1/6n(n+1)(n+2) → ということは?(数字の係数は1/1→1/(1×2)→1/(1×2×3)→…になっています。)

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くわがたおさん

> mm2446さん、おはようございます!!^^
>
> すみません、せっかくいただいたヒントを全然生かしていません。m(__;m
> 確かめしたところ、
> n(n^3+6n^2+11n+6)/24と出ましたが、ちがうでしょうか?^^;

くわがたおさん、当たってますよ!そしてさらにn(n^3+6n^2+11n+6)/24を因数分解すると、n(n+1)(n+2)(n+3)/24になります♪でもここから3の倍数になるときのnを求めるのが問題ですね!

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くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^

くわがたおさん、こんばんは♪正解です!

> 素因数分解していただいた式をもとに、Excelで計算して、、数えました。^^;素因数分解は中学校で習った記憶があるのですが、、思いつかないです、私の計算した式がこんなにきれいな式になるとは!!^^;

楽しんでもらえて光栄です☆100個すべて確認してくれたんですね!すごいです!

実は9個周期で見るとパターンがわかるんですよ♪例えばn=1から9、n=10から18、n=19から27…と見ると同じリズムで、3の倍数が出てくるんですよ☆

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たみひかのろさん

かなりおしいです!4連続の整数のうち3の倍数が2つ含まれる場合だけでなく、9の倍数が1つだけ含まれる場合もありますよ☆

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たみひかのろさん

完璧です!再チャレンジありがとうございました☆

実は問題作成段階では、たみひかのろさんとはむしろ逆で、4つの中に9の倍数が入っているものしか見ていなくて、3の倍数が2つ入っているものをうっかり見落としていました。

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原宿ミツバチさん

> センスが無いので、愚直に3乗までの公式を使用します。
> PCからテキスト入力なのでΣの添え字は省略。

> おっと、まだ解けてませんでした。
> 与式(が計算間違いしていないことを祈って)

正解です!完璧な解き方でした☆

式の計算が面倒ですが、もしシグマがさらに増えていってもきれいな式になるみたいです♪

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Wilsonicさん

> 最初解こうとしたときはシグマ計算までできて、その後は詰んで
> しまいましたが、日を改めて解き直してみたら、結構あっさり
> 解けてしまいました(汗
> …問題は、あってるかどうか…

すごいですね!正解です☆よく①か②のどちらかを見落としてしまう場合が多いのですが、どちらもミスすることなく完璧です☆

ちなみにシグマの数をいくら増やしても、きれいな式の形になるみたいですよ♪

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dyneさん

> こんにちは、よろしくお願いします。

こんにちは!すばらしい、この問題も正解です♪

最初は苦し紛れに作ったのですが、想像以上に式がきれいになって驚いた問題です☆

gbさん

すばらしい、正解です!ちなみに9個周期で見れば、ひたすら数えなくても大丈夫ですよ☆

添付されていたyoutubeのリンクは、問題の解答になぞらえたB'zのZEROという曲ですか?アメリカ在住なので再生できませんでしたので、いろいろ探してみたところ、モノマネしている動画なら見つけました(笑)日本に帰っていない間に、ヒット曲もほとんどわからなくなってしまいました。

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> 答えは、8通り?
>
> 和の計算は、途中で気が付いて、二項係数の和の公式で楽しました。この問題では、たぶんこの点ぐらいくらいしか、目ぼしいものは見つけられなかったです。どなたか指摘していたら、ごめんなさい。
>
> 和の部分の計算は、二項係数の和の公式Σ(i=0~n)(i)C(k)=(n+1)C(k+1)を利用する(パスカルの三角形を斜めに和を取るやつです(二項係数の定義域外は0。(i)C(k)=0 @ i>k)。すると、
> Σ(k=1~l)k=Σ(k=1~l)(k)C(1)=(l+1)C(2)=l(l+1)/2
> Σ(l=1~m)(l+1)C(2)=(m+2)C(3)=m(m+1)(m+2)/6
> Σ(m=1~n)(m+2)C(3)=(n+3)C(4)=n(n+1)(n+2)(n+3)/24
> 自然数の和が二項係数でも表せることと、この公式を知っていると、具体的な計算なしで和が求められます(いや、私は普通に数列の和で計算してる途中で思い出しましたよ)。
> 問題の和n(n+1)(n+2)(n+3)/24が3の倍数なので、分子が72の倍数になればよい。n,n+1,n+2,n+3はそれぞれ1ずつ異なり、72の約数が72,36,24,12,9,8,6,4,3,2,1なので、
> n,n+1,n+2,n+3の何れかが72、つまりn=69,70,71,72の4通り
> 72=8×9と分割して、n,n+1,n+2の何れかが8、つまりn=6,7,8の3通り
> 72=3×4×6と分割して、n=3の1通り。
> 以上、計8通り。
>
>
> こんばんは
>
> すいません、抜けてました
>
> 答えは、22通り?
>
> 以下、抜けていた分
> 8と9の倍数の差が3以下であればいいので、n,n+1の何れかが16、つまりn=15,16の2通り
> n=24
> n=45
> n=53,54の2通り
> n=61,62.63の3通り
> n=78.79,80の3通り
> n=86,87,88の3通り
> n=96
> この部分で小計14通り。
> 先ほどの解答の8通りと合わせて22通り。
>
>
> おはようございます
>
> まだ抜けてました。
>
> 72=24×3と分割して、24と3の倍数の差が3以内でもいいので、
> n=21、n=45,48、n=93の小計4通り
>
> これを加えて22+4=26通り。
>
> もうないかな?


おはようございます。たしかにこの問題は最初かなり適当に作ったのですが、式がきれいになるので法則に気がつきました☆ほかの方も何名か気がついたようです♪

nの式はもちろん合っていますが、まだまだたくさんありますよ!

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shah-sanさん

> おはようございます
>
> まだ抜けてるのに気が付いてしまいました。
> もう笑うしかありませんな、こりゃ。
>
> n=15,18,27,30,39,42, 51,52, 66,75,89,90で小計12個
> 全部で ・・・ 38個?


おはようございます。まだまだありますよ(笑)

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> は~、55個ですか。
>
> これでだめならギブアップです。夜中にやる問題じゃなかったです。
>
> n=3,6,7,8,9,12,15,16,17,18,21,24,25,26,27,30,33,34,35,36,39,42,43,44,45,48,51,52,53,54,57,60,61,62,63,66,69,70,71,72,75,78,79,80,81,84,87,88,89,90,93,96,97,98,99,100
>
> 前半は楽だったんですけどねぇ~


こんにちは!とうとう正解です☆お疲れさまです。

前半よりも後半に頭を使う問題でしたね!ちなみに9個で周期がありますよ♪

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coldiaさん

正解です☆試験なら(1)で公式を覚えているか試し、(2)で少し応用という、2部構成でどこかで出しやすそうな問題でした!

もしかしたらご存知かもしれませんが、ちなみに今回のようにΣがN個並んだとき(ΣΣ…ΣΣ1の場合)は、n(n+1)(n+2)…(n+N-1)/(N!)となるようです♪

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スモークマンさん

> 116番がわからないので…
> 他で解けそうなもの物色 ^^;
>
> になりそう ^^
>
> 間違いに気付きました…Orz
>
> でしたのね ^^;


再解答ありがとうございました!2回目の解答で完璧ですね☆正解です♪

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しょーさん

> 116番が振り出しに戻ったんで(泣)こちらを・・・


正解です!問116の方は数式としては正解だったので、ほとんど答えでしたよ☆最初の解答のときに、そこまで分かっていてまさか他の解答はない、という先入観を持って文を読んでいました。動かし方の全体的な雰囲気も似ていたので。

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

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