問25

円に外接または内接する正多角形
<コメント>いつも外接と内接はどっちがどっちなのか分からなくなります。問25

<追加コメント>この問題は、正∞角形=円という証明にもなりますね。

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> DON、たみひかのろ、いわちょ、dyne、Wilsonic、くわがたお、shah-san、coldia、M.R (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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DONさん

> たぶん、あまりきれいな解答ではないと思います。
> 競馬がここまであんまりなので、頭がぶっ飛んでいるかもしれません。。。

すごいですね!さっそくこの問題も正解です♪たしかにもう少し計算が楽になる方法と、一つ目の答えがシンプルな式にする方法がありますね☆もちろんDONさんの解答は完璧でしたが、以下は参考までに。

余弦定理と三平方の定理を使わなくても、実はよく見るとあっさりL=r×cos(180/n)ですよ(笑)でも相似を使うのはすごく良いアイデアですね!気がつきませんでした☆

あと一つ目の答えはDONさんの式でもいいですし、二倍角の公式(または加法定理)を使うと足し算や分数のないすっきりした形にもできます。L=r×cos(180/n)からの流れだと、その答えになりますね♪

No title

ホントですね、こういうところが文系脳だと感じているんです^^;

相似比で解こうとした瞬間に、小学生に戻っちゃったんですよ。
だから、ムキになって、しかも三平方の定理のような単純な道具で解こうとしてしまう。。。

でも、すごく楽しいんですよ、受験っ子だった頃にはこういう感覚なかったですからね。
いまは問18で頭から湯気出しています、それがまた悔しいけど楽しくて。
もっと数学勉強しておくんだったなぁ、スイマセン、ごちゃごちゃと賑わわせてしまって。

DONさん

ここに掲載しているほとんどの問題は、できるだけあっさり途中の計算ができるような形にしていますので、もし面倒な計算になったらほかの方法を考えてみてもいいかもしれません。でも気にせず自由に、おもしろい解き方を期待しています♪この調子でぜひがんばってください!

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たみひかのろさん

正解です☆相似を使った方法ですね!この方法が最も計算が楽そうです♪問題作成段階では、それぞれの面積を求めてから最後に比を取っていました。

> 少し間があいたら問題が増えていました

どんどん新しい問題を掲載していきますよ!最近問題作りが絶好調です☆

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いわちょさん

すばらしい!この問題も正解ですね♪

問題作成段階では内接と外接のそれぞれの面積を求めてから比を取っていましたが、これまでの解答者のおかげで相似を使うと楽だということに気がつきました☆

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dyneさん

> こんにちは。
> たぶん自力では相似は思いつかないですが・・・(汗)
>
> 5つ★問題をずっと考えているのですが、解けなくて悔しいです!

こんにちは♪この問題も正解ですね!わかりやすい解答をありがとうございます☆

5つ★問題はかなり難しいはずです♪どれもほとんどひらめきだけで、あまり難しい知識はいらないですね。
問38:式の羅列にしてあれば、中学生までの知識でも解けるかもしれません。
問20:正解者が多かったので、そんなに難しくないかも。
問12:どちらかの勝つ確率が1/2以上または1/2ぴったりと証明できればOKです☆

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Wilsonicさん

> いつもこの手の問題は、図を描いていろいろ数式を書き込んだり
> するのですが、今回PCで書き込むとなると、それができないから
> 辛い(笑) 言葉だけだとうまく伝えるのがなかなか難しいです(汗 

そうですね、みなさん書きにくくて苦戦していました。解答しにくい問題ですみません。

もちろん正解です!丁寧な解答の説明をありがとうございます☆

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^

くわがたおさん、おはようございます!残念ながら不正解ですね。n=3のときの比が間違っているからかもしれませんね。n=4のときの比は合っていますよ☆

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くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^
>
> ※5角形、気が進まなかったのですが^^;やってみたら出てきました。計算間違い、まだあるかなあ。^^;

くわがたおさん、こんばんは☆すばらしい、今度は正解です!たしかに5角形まで見れば、解けそうですね♪

式としては同じなのでとくに問題ないですが、三角関数の式はもっと計算してシンプルにできますよ!

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coldiaさん

> 外接する正n角形について
> 円と、外接する正多角形を書きます。ちょうど正多角形の辺の中点が接点になります。
> 円の中心とすべての接点を結び(これは半径)、中心とすべての頂点も結びます。
> すると中心の周りがπ/nずつの角度に分割されます。
> 頂点、その隣の接点、中心を結んだ三角形は、底辺1の直角三角形です。
> この三角形に着目することにより、正多角形の1辺の長さが
> 2*tan(π/n)
> となります。
>
> 内接する正n角形について
> 円と、内接する正多角形を書き、中心と頂点を結びます。また、正多角形のすべての辺に中心から垂線を下ろします。
> すると同様に中心まわりの角度がπ/nずつに分割されます。
> 中心、頂点、その隣の辺の中点を結んだ三角形は直角三角形で、今度は斜辺が1です。
> よって正多角形の1辺の長さは
> 2*sin(π/n)
> となります。
>
> 外接する正多角形と内接する正多角形は相似なので、
> 面積比は
> {2sin(π/n)/2tan(π/n)}^2
> ={sin(π/n)/tan(π/n)}^2
> ={cos(π/n)}^2
>
> n->∞のときは直感的には外接図形≡内接図形になりますが
> 式の上だと
> {cos(π/n)}^2→(cos0)^2=1
> なので確かに面積が等しくなります=合同になります。


正解です☆図形の問題はおそらくみなさまが文章で解答がしにくいというのもありますが、それ以前に図を描くのが面倒なのであまり作っていません(笑)もちろん図を描くだけなので、大した作業ではないのですが。

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M.Rさん

> ・内接するn角形について
> 円の中心と各頂点を線分で結んで、n個の二等辺三角形に分割する。ひとつの三角形に着目すると、2辺が1、その間の角は2π/n〔rad〕(以後、角は全て弧度法)。よってこの三角形の面積は(1/2)*1*1*sin(2π/n)。n角形全体では(n/2)sinπ/n。
>
> ・外接するn角形について
> 円の中心と各頂点を線分でつなぎ、各辺に垂直二等分線を下ろして2n個の直角三角形に分割する。ひとつの三角形の面積は(1/2)*1*(1/tan(π/n)。全体ではn/tan(π/n)。
>
> よって求める比は{(n/2)sinπ/n}/{n/tan(π/n)}。ここでπ/nをxとするとsin2x/2tanx。…①
> 加法定理を使って整理すると=cos^2xである。n→∞の極限でx→0なので、極限比は1。
>
> 追加で、①から極限を求めるやり方。ただ面倒なだけですが…
> そのまま計算すると0/0の不定形。高校範囲外だけれども、参考書にはあるロピタルの定理を使ってみる。
> sin2x,tanxはx=0を含む区間[-δ,δ](δは十分小さい適当な実数)で連続、かつ微分可能であり、(tanx)'≠0。
> ここでlim〔x→0〕(sin2x)'/(2tanx)'=lim〔x→0〕2cos2x/2(/cos^2x)=1の有限確定値。よってロピタルの定理より求める極限は1。


正解です☆加法定理で計算せずに、別解としてロピタルの定理で解いてもらえるとは!これはおもしろいですね♪たしか高校ではlim[x→0]sinx/x=1にしか使わなかったと思いますが、結構便利な定理です☆

解答が掲載されている問題で、新しい別解やおもしろい解答は、コメント欄にそのまま添付させていただきますね☆(本来なら解答欄にも追加したいのですが、そこまでの時間が取れそうにないので)

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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