問209

アイが多い式
<コメント>見かけよりもあっさり解けるシリーズです。問74とも少し似ていますね。

問209

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> ごろ、testament、スモークマン、くわがたお、しょー、reflejo、coldia、Asnaro (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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スモークマンさん

> Good morning☆
>
> たぶん...
>
> かな ^^
>
> 今日は、Xmasイヴxう〜サンタ大忙し ^^
>
> 間違ってました...^^;
>
> あとで再考しまっす Orz...
>
> 何度考えてもややこしかぁ...^^;
>
> でしょうか…^^
>
> 今年はこれで最後なのかなぁ?
> 楽しませて頂きました ^^
> 来年も参りま〜〜〜す〜m(_ _)m〜v


クリスマスも過ぎて、あとは年を越すだけですね☆予定では年内にもう一問出題するつもりです♪来年もどうぞよろしくお願いします!

予想外に混乱する問題みたいですね!ケアレスミスだと思いますが、違っていますよ!ぜひ再解答してくださいね♪

ごろさん

> おまけ
> 連分数が無限に続くとすると
> 1/t -i =t
>
> t^2 + it -1=0
> t=(-i±√3)/2
>
> となると思うのですが、これは±どちらをとることになるんですかね??
>
> +の方を取るとすると
> t=cos(π/6)-i sin(π/6)=e^(-iπ/6)
>
> どちらにせよ、連分数が有限個だとノルムは1,2,1/2のいずれかになるけど、無限個だと1になるんですね。
>
> なんか不思議な感じがします。


正解です♪1人目の正解者です☆

おまけの議論が興味深く考えていたのですがよく分からず、1/t-iという形の連分数で毎回もとに戻るものがt=(-i±√3)/2の2種類という意味でしょうか?調べてみたところ1/(1/t-i)-iという形で2回でもとに戻るものも同じt=(-i±√3)/2でしたが、1/(1/(1/t-i)-i)-iという形で3回でもとに戻るものはt=tで全てということになりました!ごろさんの議論とは違うような気がしますが、新しい発見がありました☆

しょーさん

> 実際に大学入試に出たら、分母の処理回数でのミスが試験場では一番多くて、しかも落とせない問題だったりして・・・
>
> アイじゃなくてジェーが多いのはご勘弁を(^^;


繰り返し回数に数えミスがあるようですね!あと最後の式にイコールの書き忘れもありましたよ☆

そういえば分野の関係上で、しょーさんは虚数単位がジェーでしたね♪共通ではない事柄については問題文中に補足を入れているつもりですが、対数の底などを中心によく忘れてしまいます!

testamentさん

> 三角関数の公式は殆ど忘れてしまいましたorz


正解です♪たしかに三角関数の公式は忘れてしまいますよね!実は問題作りのとき、毎回公式を確認しながら作っています!

フェアリーグランマさん

> いつもありがとうございます。
> ホントのこというと、208・207は、なんだか出来そうだったのになぁ~(負け惜しみね)でも、どうしても、できないのですもの?
> 一年があっというまでね。成績は残せない。
>
> でも、もう少し考えますね。できるかもと~~ね。
>
> 今年はいっぱい楽しませてくださってありがとうございます。考えられるだけで脳は少し働いてくれます。孫がきたらヒントをもらおうかな?
>
> どうぞお体を大事になさってよいお年をお迎え下さいませ。幸せいっぱいの年になりますように~~来年もよろしくお願いいたします。


いつも問題に挑戦していただきありがとうございます♪一年間あっというまでしたね!

問207はちょっとしたことに気がつけば解ける問題ですので、諦めずに挑戦してくださいね♪ヒントはフェアリーグランマさんが計算した足し算と引き算の式の数字を眺めていれば、何かに気がつくかもしれません!

どうかお体に気をつけて、良いお年をお迎えください!来年もどうぞよろしくお願いします☆

reflejoさん

ポイントは押さえていますね!ただ多分数え間違いがありますよ☆

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スモークマンさん

> 再考...
>
> になるんですね ^^;
>
> これでスッキリと、年を迎えられます...? ^^v


再解答ありがとうございました☆正解です♪来年に持ち込んでしまうと、ちょっとモヤっとしますからね!

くわがたおさん

> mm2445さん、
>
> Happy New Year!(2回目)m(__;m


この問題も正解です♪それでは改めてHappy New Year!

しょーさん

> ケアレスミスってダメですね、ホント(^^;


再解答ありがとうございました!正解です♪全く予想していませんでしたが、ケアレスミスが多発した問題でした!

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reflejoさん

> 数え間違えとは……。


再解答ありがとうございます!意外にも数えミス多発した問題でした!正解です♪

coldiaさん

> 重なりの少ない分数を計算して値を推測するという趣旨だと思うのですが、
> 一般項を求めてみました。
>
> 途中出てきた x ですが、±のどちらでもうまく打ち消しあって消えるのですが今回次数下げでテクニカルに扱ったのでそのようすが見えませんでした。
> コメントでごろさんが考察していらっしゃる t というのはまさにこの x です。どんなコメントをされているのかは分かりませんが、推測で助言したく思います。
> 問題と直接かかわることではないので、非公開を解除しても差し支えないよう別コメントで書きたいと思います。
>
> 無限に続く分数…という点について。
> おそらく、私と同様に漸化式的な考察をされているのだと思います。
> そこで、
> 無限に続く分数を考えるとき
> a(n+1) = 1/a(n) - i
> において、
> a(n) の収束先を t とおくと、もちろん a(n+1) の収束先も t となるので
> 両辺の limit をとってやることで
> t = 1/t - i
> が得られ
> この解 t が収束値、
> つまり無限に重なった分数の真の値だという考えをされているのかと思います。
>
> 例えば、
> (A) a(n+1) = 1/2*a(n)+1, a(1) = 3
> これは、一般項が a(n) = 2+(1/2)^(n-1) ですので a(n) → 2 に収束します。
> この収束値 2 は、両辺の極限をあらかじめとった
> t = (1/2)t + 1
> からも t=2 というように得ることができます。
>
> 一方、
> (B) a(n+1) = 2*a(n)+1, a(1) = 1
> これは、一般項が a(n) = 2^n-1 ですので a(n) → ∞ です。
> 両辺の極限をあらかじめとると、
> t = 2t + 1 → t=-1 となり、一致しません。
>
> なぜ上の例で一致する場合としない場合があるのかということについてですが、
> 厳密な証明はできませんが…
> 一致する場合は、収束値がある場合です。
>
> (A)の例だと、漸化式は実数2に収束します。
> 一方、(B)の例だと、漸化式は発散します。この発散値(±∞だったり、振動したり)を、「ある1つの実数 t に収束する」と仮定しているところが誤りです。
>
> この問題では、皆様が解いていらっしゃる通り、数列が振動しています。
> したがって、「ある1つの実数 t に収束する」と仮定して漸化式の両辺の極限をどちらも t としているところに誤りがあります。
>
> この t を極限として認識するのは意味のない(高度な数学では意味があるのかも…)ことですが、この t を漸化式を解くツールとして認識することは大変有用なことです。
> いわゆる特性方程式という名前で教科書で習うことで、
> 今回の問題でも「分数型 漸化式 特性方程式」などでヒットした手順で解いてみれば道中に t が出現するかと思います(まさに私の解法です)。


丁寧な考察をありがとうございます♪ごろさんの解答は(通常の?)シンプルな計算の解答(添付しなかった部分)であったことと、漸化式などの単語もなかったため、何を示唆されていたのか分からなかったのですが、おそらくcoldiaさんの考察のことのように思います。そして振動するタイプですので、極限値はないということで良さそうですね!後半の内容については、こちらに添付させていただきます!もちろん当初の問題の答えも正解です☆

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Asnaroさん

> でしょうか。


うっかり間違える方が多かった問題でしたが、ミスなく正解ですね☆

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mm2445

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自作問題を作ることが趣味。
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