これで納得!倍数が見つけられる理由を説明

今回はパターンで分けました♪
それぞれの数字の見分け方はこちらをご覧下さい↓↓↓

2の倍数〜10の倍数の見分け方へ ⇒2~10の倍数
11の倍数〜20の倍数の見分け方へ ⇒11~20の倍数
21の倍数〜30の倍数の見分け方へ ⇒21~30の倍数
31の倍数〜40の倍数の見分け方へ ⇒31~40の倍数
41の倍数〜50の倍数の見分け方へ ⇒41~50の倍数
51の倍数〜60の倍数の見分け方へ ⇒51~60の倍数
61の倍数〜70の倍数の見分け方へ ⇒61~70の倍数
71の倍数〜80の倍数の見分け方へ ⇒71~80の倍数
81の倍数〜90の倍数の見分け方へ ⇒81~90の倍数
91の倍数〜100の倍数の見分け方へ ⇒91~100の倍数

そしてもしなぜこの方法で見つけられるのか不思議に思った場合には下へ進んでください☆

(次回以降この倍数判別法を知っていれば解きやすい問題を、ときどき出して行く予定です)


<パターン A>
一の位が○ = ○○の倍数
例:2、5、10の倍数


なぜ?
3桁の数ABCが2の倍数かどうか?
ABC=A×100+B×10+C
=(A×50+B×5)×2+C
(A×50+B×5) ×2は2の倍数なので、Cが2の倍数ならABCも2の倍数。


<パターン B>
下○桁が○○の倍数 = ○○の倍数
例:4、8、16、20、25、32、40、50の倍数など


なぜ?
4桁の数ABCDが4の倍数かどうか?
ABCD=A×1000+B×100+CD
=(A×250+B×25)×4+CD
(A×250+B×25) ×4は4の倍数なので、CDが4の倍数ならABCDも4の倍数。


<パターン C>
全ての位の数字を足した数が○○の倍数 = ○○の倍数
例:3、9の倍数


なぜ?
4桁の数ABCDが3の倍数かどうか?
ABCD=A×1000+B×100+C×10+D
=A×(999+1)+B×(99+1)+C×(9+1)+D
=A×999+B×99+C×9+A+B+C+D
=(A×333+B×33+C×3) ×3+A+B+C+D。
(A×333+B×33+C×3) ×3は3の倍数なので、A+B+C+Dが3の倍数ならABCDも3の倍数。


<パターン D>
全ての位の数字に符号を交互に並べて計算した数が○○の倍数 = ○○の倍数 
例:11の倍数


なぜ?
3桁の数ABCが11の倍数かどうか?
ABC=A×100+B×10+C
=A×(11–1)×(11–1)+B×(11–1)+C
=A×11×11–A×2×11+A+B×11–B+C
=(A×11–A×2+B)×11+A–B+C。
(A×11–A×2+B)×11は11の倍数なので、A–B+Cが11の倍数ならABCも11の倍数。


<パターン E>
一の位から順に○桁ずつに分けて足した数が○○の倍数 = ○○の倍数
例:7、11、13、27、33、37の倍数など

なぜ?
5桁の数ABCDEが11の倍数かどうか?
ABCDE=A×10000+BC×100+DE
=A×(99+1)×(99+1)+BC×(99+1)+DE
=A×99×99+A×2×99+A+BC×99+BC+DE
=(A×99+A×2+BC)×99+A+BC+DE
=(A×99+A×2+BC) ×9×11+A+BC+DE。
(A×99+A×2+BC) ×9×11は11の倍数なので、A+BC+DEが11の倍数ならABCDEも11の倍数。


<パターン F>
一の位から順に○桁ずつに分けて、符号を交互に並べて計算した数が○○の倍数 = ○○の倍数
例:7、13の倍数など


なぜ?
7桁の数ABCDEFGが7の倍数かどうか?
ABCDEFG=A×1000×1000+BCD×1000+DEF
=A×(1001–1)×(1001–1)+BCD×(1001–1)+DEF
=A×1001×1001–A×2×1001+A+BCD×1001–BCD+DEF
=(A×1001–A×2+BCD)×1001+A–BCD+DEF
=(A×1001–A×2+BCD)×143×7+A–BCD+DEF。
(A×1001–A×2+BCD)×143×7は7の倍数なので、A–BCD+DEFが7の倍数ならABCDEFGも7の倍数。


<パターン G>
一の位から順に○桁ずつに分けて、小さい位から順に○のべき乗を掛けて合わせた数が○○の倍数 = ○○の倍数
例:14、28、45、49の倍数など


なぜ?
5桁の数ABCDEが14の倍数かどうか?
ABCDE=A×10000+BC×100+DE
=A×(98+2)×(98+2)+BC×(98+2)+DE
=A×98×98+A×2×98+A×4+BC×98+BC×2+DE
=(A×98+A×2+BC)×98+A×4+BC×2+DE
=(A×98+A×2+BC) ×7×14+A×4+BC×2+DE。
(A×98+A×2+BC) ×7×14は14の倍数なので、A×4+BC×2+DEが14の倍数ならABCDEも14の倍数。


<パターン H>
一の位から順に○桁ずつに分けて、大きい位から順に○のべき乗を掛けて合わせた数が○○の倍数 = ○○の倍数
例:19、29の倍数など


なぜ?
3桁の数ABCが19の倍数かどうか?
ABCを4倍する(19の倍数かどうかには影響しない)。
ABC×4=A×100×4+B×10×4+C×4
=A×(19+1)×(19+1)+B×(19+1)×2+C×4
=A×19×19+A×2×19+A+B×19×2+B×2+C×4
=(A×19+A×2+B×2) ×19+A+B×2+C×4。
(A×19+A×2+B×2) ×19は19の倍数なので、A+B×2+C×4が19の倍数ならABC×4もABCも19の倍数。


<パターン I>
一の位から順に○桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に○のべき乗を掛けて合わせた数が○○の倍数 = ○○の倍数
例:12、17、22、26、47の倍数など


なぜ?
5桁の数ABCDEが17の倍数かどうか?
ABCDE=A×10000+BC×100+DE
=A×(102–2)×(102–2)+BC×(102–2)+DE
=A×102×102–A×2×102+A×4+BC×102–BC×2+DE
=(A×102–A×2+BC)×102+A×4–BC×2+DE
=(A×102–A×2+BC)×6×17+A×4–BC×2+DE。
(A×102–A×2+BC)×6×17は17の倍数なので、A×4–BC×2+DEが17の倍数ならABCDEも17の倍数。


<パターン J>
一の位から順に○桁ずつに分けて符号を交互に並べ、大きい位から順に○のべき乗を掛けて合わせた数が○○の倍数 = ○○の倍数
例:21、23、29、31、43、47の倍数など


なぜ?
7桁の数ABCDEFGが23の倍数かどうか?
ABCDEFGを4倍する(23の倍数かどうかには影響しない)。
ABCDEFG×4=A×1000×1000×4+BCD×1000×4+EFG×4
=A×(2001–1)×(2001–1)+BCD×(2001–1)×2+EFG×4
=A×2001×2001–A×2×2001+A+BCD×2001×2–BCD×2+EFG×4
=(A×2001–A×2+BCD×2)×2001+A–BCD×2+EFG×4
=(A×2001–A×2+BCD×2)×87×23+A–BCD×2+EFG×4。
(A×2001–A×2+BCD×2)×87×23は23の倍数なので、A–BCD×2+EFG×4が23の倍数ならABCDEFG×4もABCDEFGも23の倍数。


<パターン K>
一の位から順に○桁ずつに分けて、○の位以上の数字を足して○を掛けて、残りの数を足した数が○○の倍数 = ○○の倍数
例:6、15、18、35の倍数など


なぜ?
5桁の数ABCDEが6の倍数かどうか?
ABCDE=A×10000+BC×100+DE
=A×(90+10)×(90+10)+BC×(90+10)+DE
=A×90×90+A×2×90+A×100+BC×90+BC×10+DE
=A×90×90+A×2×90+A×90+A×10+BC×90+BC×10+DE
=(A×90+A×2+A+BC)×90+(A+BC)×10+DE
=(A×90+A×2+A+BC) ×15×6+(A+BC) ×10+DE。
(A×90+A×2+A+BC) ×15×6は6の倍数なので、(A+BC) ×10+DEが6の倍数ならABCDEも6の倍数。


<パターン L>
○○の倍数かつ○○の倍数 = ○○の倍数
例:6、12、14、15、18、21、22、24、26、28、30、33、34、35、36、38、39、42、45、48の倍数など


なぜ?
なぜでしょう?


ちなみに高校数学的に倍数判別法を証明することもできますよ☆
でも文字だらけになるので今回は省略しますね。


倍数見分け方パターンまとめ
パターンA〜Dにある数字 → 簡単に見つけやすい(必修)
パターンE〜Fにある数字 → 比較的見つけやすい(おすすめ)
パターンG〜Kにある数字 → 逆に面倒かも(おすすめしない)
パターンLにある数字   → 組み合わせ次第で見つけやすい


倍数の見分け方まとめ>へ戻る☆



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No title

 なるほど。
 複雑な数字でも上のパターンを覚えておけば、7桁か8桁の数が○○の倍数か?といった問題でも解けそうです。勉強になります。

ショー・ハラさん

ありがとうございます!

3,4,9の倍数などは比較的有名ですが、例えば11の倍数なども計算しやすく覚えやすいので、知っておいて損はないかもしれませんね☆3,4桁の数字が出て来たときでも、すぐ確認しやすいですよ。

7,13の倍数の見分け方は意外と知られていないみたいです♪もちろん4桁以上じゃないとダメですが。

No title

素数による整除性(素数の倍数判定法)には以下のようなものもあります

素数pによる整除性
「元の数の最下位桁の数字を除去し、残った数から除去した数字の特定倍(a倍とする)を引くという操作を繰り返して残った数字がpの倍数ならば、元の数字もpの倍数」
50以下のpにおけるpとaの組み合わせは以下の通り
(p,a)=(7,2),(11,1),(13,9),(17,5),(19,17),(23,16),(29,26),(31,3),(37,11),(41,4),(43,30),(47,14)

7の倍数判定法なら
「元の数の最下位桁の数字を除去し、残った数から除去した数字の2倍を引くという操作を繰り返して残った数字が7の倍数ならば、元の数字も7の倍数」
たとえば87654なら
8765-4×2=8757
875-7×2=861
86-1×2=84
8-4×2=0
よって87654は7の倍数

(証明)元の数を10x+y(yは0から9の整数)だとすると、
元の数の最下位桁の数字を除去し、残った数から除去した数字の2倍を引くという操作で
x-2yになる
2(10x+y)+(x-2y)=21x≡0(mod7)
よりx-2y≡0(mod7)は10x+y≡0(mod7)の必要十分条件であると言える


13なら
「元の数の最下位桁の数字を除去し、残った数から除去した数字の9倍を引くという操作を繰り返して残った数字が13の倍数ならば、元の数字も13の倍数」
(証明)元の数を10x+y(yは0から9の整数)だとすると、
元の数の最下位桁の数字を除去し、残った数から除去した数字の9倍を引くという操作で
x-9yになる
9(10x+y)+(x-9y)=91x≡0(mod13)
よりx-9y≡0(mod13)は10x+y≡0(mod13)の必要十分条件であると言える

他の場合も同様


各素数に対してaをそれぞれ覚えておかないといけないですし実用性は微妙かもしれませんが、面白い性質だと思うのでコメントさせていただきました

いわちょさん

おもしろい倍数判定法をありがとうございます!!通常見つけにくい素数でも、ほかの見つけ方があったんですね。これはかなり興味深い性質です☆証明も載せていただいたおかげで、すっきり納得できました♪とくに数字の並びと引くときに掛ける数字が計算しやすいときには役立ちそうです。

それに個人的に新しい問題作成のアイデアにも繋がりそうです♪ありがとうございました!

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

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