問4

数列の一般項の問題
<コメント>数列はシンプルなのに、一般項は複雑です。穴埋めのところが、センター試験っぽいですね♪
問4

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> ダメ子、たみひかのろ、原宿ミツバチ、shah-san、M.R、coldia (敬称略)

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ダメ子さん

すばらしい、この問題の一人目の正解者です!

こんなほぼひらめきだけの問題まで解いてしまうとは、どんな奇問でも突破できるってすごいですね☆

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たみひかのろさん

この問題も解いてしまうとはさすがですね、正解です!答えに至った経緯も教えていただきありがとうございます☆

これは思い付くことができるかどうかの問題でしたね♪すぐ気がついた人には、逆に簡単な問題かもしれません。

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原宿ミツバチさん

> 最初は階差を追ったり、剰余記号(mod? %?)使うのあり?とか
> 考えました。

すごいですね!正解です☆よく気がつきましたね!

みなさん最初は階差を考えますよね。解けるとあっさりですが、答えをひらめくのが難しい不思議な問題です♪

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> すでに解答はでているのですが、受験問題の解答で「目の子で見つけました」とは書きにくい性格なもので。目途をつけるにはいいんですけどね。理詰めで解いたらどうなるか、こんな感じでしょうかね。離散sin変換あたりで、高校の範囲から逸脱します。 ww
>
> a[n]([n]は添え字)は、(1つ上がって)2つ下がり、4つ上がって2つ下がる、と上下動を繰り返しているように見える。さらに、平均的にはだんだん上がっているように見える。そこで、a[n]をkだけずらしてA)差を取る、B)和を取る、によって上下動の繰り返し(周期成分)の消去を試みる。するとA)でk=6つまりa[n+6]-a[n]、B)でk=3つまりa[n+3]+a[n]で、nに対して線形になる。
> A)10-4,11-5,9-3,7-1,8-2,12-6,16-10,・・・=6,6,6,6,6,6,6,・・・
> B)4+1,5+2,3+6,1+10,2+11,6+9,10+7,11+8,9+12,7+16,・・・=5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,・・・
> Bからa[n+3]+a[n]=2n+3=(n+3)+n。Aからa[n+6]-a[n]=6=(n+6)-n。よって、a[n]=n+T[n]、ここでT[n]は周期6の項で、T[n+6]=T[n]=-T[n+3]であることがわかる。
> 次に、C)a[n]-n=T[n]、を計算すると。
> C:4-1,5-2,3-3,1-4,2-5,6-6,10-7,11-8,9-9,7-10,8-11,12-12,16-13,・・・=3,3,0,-3,-3,0,3,3,0,-3,-3,0,3,・・・
> 確かにT[n]=T[n+6]=-T[n+3]である。実数の周期関数なので、離散sin変換をしてみる(T[n]をn=0に外挿すると0になるので、sin関数と位相が合うと予想される)。離散sin変換を、規格化定数を無視して、A[k]=∑(j=1~N-1)a[j]sin(πjk/N)(N:データ数)として、Nは与えられたa[n]で取れる範囲でN=12とする。すると、
> A[1]=∑(j=1~N-1)a[j]sin(πj/12)=3[sin(π/12)+sin(2π/12)-sin(4π/12)-sin(5π/12)+sin(7π/12)+sin(8π/12)-sin(10π/12)-sin(11π/12)]=0。
> 以下同様に計算すると、A[k]=0 @ k≠4、A[4]=4√3。よって、T[n]のsin成分はsin(4nπ/12)=sin(nπ/3)で振幅は3/sin(π/3)=2√3。T[n]とsin(nπ/3)で位相が一致しているので、T[n]=2√3×sin(nπ/3)である。
> よって、a[n]=n+2√3×sin(nπ/3)であり、題意の枡にも合う(×と()は省略)。
> 以上からa[n]=n+2√3×sin(nπ/3)。


より数学的な考察による解答をありがとうございます!受験生にも参考になるように、shah-sanさんの解答をそのままこちらに掲載させていただきました。すでに答えが分かっている問題も、しっかり考えてもらえてうれしいです♪

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M.Rさん

すばらしい、正解です☆これはひらめき重視の問題ですね!

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coldiaさん

> いかがでしょうか?


すばらしい!正解です♪数列は整数なのに、一般項は案外いろいろ出てくる問題でした☆

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アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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