問124の答え

ヒント: n^(8m)+1からn^(m+2)+1が含まれている項を、次々抜き出していきます。

問124に戻る。

解答と解説は下にあります↓↓↓







※ こちらは問題の解答のみです。注意してください。問題は別の場所に掲載してあります。


解124-1

解124-2

解124-3
解124-4
解124-5
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たけちゃんさん

> [解答]の下から4行目あたりに,
> 「n^{m-14}-1<n^{m+2}+1なので
> n^{m-14}-1にn^{m+2}+1の全ての因数を含んでいない」
> とありますが,
> ・n^{m-14}-1は整数とは限らず,
> ・n^{m-14}-1は負となることもあり得る
> ので,ここの論理が私にはよく分かりませんでした.
> (我ながら読みが浅いような気がします.)
>
> 本問をいくらか一般化して解く,私なりの解答を提示させていただきます.
> 前半は,[しょーさんの解答]と同じことであるような気もしますが,
> 途中経過をていねいに説明するように試みたものです.
> (少々長くなってしまいました.読むのにお手数を掛けてしまい,申し訳ありません.)
>
>
> n=1のとき,(n^{8m}+1)/(n^{m+2}+1)=1 (整数)であるから適する.
> 以下,n≧2のときを考える.
>
> まず,2以上の自然数pと負でない整数qに対してf(p,q)=p^q-1とおき,
> f(p,q)とf(p,r) (q≧r)の最大公約数について考察する.
> f(p,q)は,p進法で,数字p-1をq個並べたものであることに注意する.
> f(p,q)をf(p,r)で割るときの余りをr'として,[p進法で上位r桁ずつが消えていくので]
> R=f(p,q-r[q/r]). ([x]はxの整数部分を表すガウス記号.以下同じ.)
> これより,f(p,q)とf(p,r)の最大公約数は,
> f(p,r)とf(p,q-r[q/r])の最大公約数と一致する.
> ユークリッドの互除法を用いて,
> (f(p,q)とf(p,r)の最大公約数)=f(p,(q,rの最大公約数)).…[補題(1)]
>
> 次に,自然数p,q (p≧2)に対してg(p,q)=p^q+1とおき,
> g(p,q)/g(p,r)が整数となる条件を調べる.
> q,rの最大公約数をGとおき,q/G=Q,r/G=R,p^G=Pとする.Q,Rは互いに素.
> g(p,q)/g(p,r)=g(p^G,Q)/g(p^G,R)
> =(f(P,2Q)/f(P,Q))/(f(P,2R)/f(P,R))
> =(f(P,2Q)f(P,R))/(f(P,Q)f(P,2R)).
> これが整数となるとき,
> 「f(P,2R)とf(P,2Q)の最大公約数」と「f(P,2R)とf(P,R)の最大公約数」の積が
> f(P,2R)の倍数となることが必要であり,
> 補題(1)を用いて,f(P,2)f(P,R)≧f(P,2R)が成り立つことが分かる.
> これより,(P^2-1)(P^R-1)≧P^{2R}-1からP^2-1≧P^R+1となり,R<2よりR=1.
> [これはr=Gを意味し,rはqの約数である.]
> このとき,
> g(p,q)/g(p,r)=g(P,Q)/g(P,1)=(P^Q+1)/(P+1)
> =P^{Q-1}-P^{Q-2}+P^{Q-3}-P^{Q-4}+…+(-1)^{Q-1}・1+((-1)^Q+1)/(P+1).
> P+1≧3だから,これが整数となるのはQが奇数のときである.
> 以上より,一般に,2以上の自然数pと自然数q,rについて,
> (p^q+1)/(p^r+1) が整数となる条件は,qがrの奇数倍となることである.…[補題(2)]
>
> 補題(2)からただちに,n≧2のときのm,nの条件は「8mがm+2の奇数倍」と分かる.
> 8m=m+2のとき,m=2/7.
> 8m=3(m+2)のとき,m=6/5.
> 8m=5(m+2)のとき,m=10/3.
> 8m=7(m+2)のとき,m=14.
> 8m=k(m+2),k≧9のとき,m<0.
> 以上より,n≧2で条件を満たすのは,m=14のときに限る.
>
> まとめて,n=1またはm=14.
>
> なお,しょうさんの解答中,
> 「l⊂N」,「p⊂N」とあるのは,「l∈N」,「p∈N」が正しいと思います.


m<14でn^{m-14}-1が負の分数になる場合ということでしょうか。たしかに証拠不十分でしたね!

例えば(n^(7m+14))×(n^{m-14}-1)/(n^{m+2}+1)=-(n^8m)×(n^{14-m}-1)/(n^{m+2}+1)として、これまでと同様の操作により(n^{14-m}-1)/(n^{m+2}+1)=(整数)+(分子)/(分母)として、m≠1のとき(分子)<(分母)を示すことになります。m>5のときはすでに(分子)<(分母)なので、具体的にm=1~5を代入してもいいです。

以上のような内容が最低限必要でした!すみません。またこの方法だと同じ操作を最初から最後まで延々と繰り返して解くため、記述が面倒でしかも計算ミスなどが出やすいですが、一般化した解法ならそういったミスも少なそうですね♪

すでに解答を掲載している問題なので、たけちゃんさんの解法もここに添付させていただきました☆後日時間があれば、解法のページにも追加で掲載したいと思っています♪

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たけちゃんさん

> いつもながら丁寧なコメントを返していただき,ありがとうございます.
>
> はじめの方でr'を定義した次の行,「R=」とありますが,誤りでした.どうもすみません.
> 当然ながら,正しくは「r'=」です.
> 当初はr'ではなくRとしていたのを,
> 後半に全く別のRが出てくるのを気にして,r'に変えたときに生じたミスです.
> (あらためて見ると,r'というのもどうもピンとこない感がありますが...)


こちらでも見逃していました!訂正を丁寧にありがとうございます☆

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自作問題を作ることが趣味。
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