問18

素数の問題
<コメント>倍数判定法をまとめている途中ですが、あまり関係のない問題を載せてしまいます!この問題を作成した時点ではそれなりの難問の予定でしたが、案外あっさりと解けるような気がしてきました。
問18

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> たみひかのろ、いわちょ、dyne、Wilsonic、shah-san、coldia (敬称略)

問題の一覧↓
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たみひかのろさん

すばらしい、正解です!途中もしっかりされていて、完璧な解答と解説でした☆

整数に関する問題をほかにもいくつか作ったので、間に違う問題を入れてからまた出す予定です♪お楽しみに☆

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いわちょさん

> (n-2)^2×(n^2-8)+12という式が意味深で、もっといいやり方がある気もするんですが、n=1から順に入れていじくりまわしているうちに運よくこの因数を見つけられたので…

正解です☆実は式の形に意味がありそうで、結局ないという問題です(笑)展開した形だとちょっと簡単すぎるかと思って、少しだけ惑わしてみただけです♪

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dyneさん

> ようやく解けました!!!!!
> 難しかった~~
> 素数はほんとに苦手で訳わからないので、
> 解けて感無量です(笑)
>
> ちなみに、コメントのやりとりもしっかりヒントにさせていただきました。
> (ずるいですね・・・^^;)

すばらしい、正解です!解き方も完璧ですね☆

素数や整数の問題は実は苦手なのですが、人気があるようなので多めに作成しています☆この問題は最終的な形を先に作ったので、作成としては難しくないけど解くのは難しい問題です♪なので自分では解いたことがないので、解ける自信はあまりないですね(笑)

> このサイトはほんとに勉強になりますね。
> 他の問題も頑張ります。
> よろしくお願いします。

役立ててもらえてうれしいです!できるだけ内容が偏らないようにしているので、好きな分野の問題を選んで挑戦してみてくださいね☆

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Wilsonicさん

> これ、nが正の整数でなく、nが整数っていう条件だったら、
> あと1つだけ該当する素数が出てくるなぁ、と解きながら
> 思いました(笑)
>
> あと、bd=-20のところや、計算過程の部分は、すごく長くなりそう
> なので、ある程度端折っています(汗

正解です!とくに恒等式を使って見つけた部分は解説っぽくていいですね☆分かりやすいので解説を載せるときに、Wilsonicさんのこの部分の解答を使わせてもらいますね♪

たしかに全ての整数にしたら、n=-3で37もありますね☆言われて気がつきました!この方が問題としておもしろそうでしたね!

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 先ほどは問86でお情けをいただきまして、ありがとうございます。
> どうにも治らない、計算ミス癖です。 (^^ゞ
>
>
> で、問18ですが、
> 答えは、n=1で素数5、及びn=3で素数13の場合のみ
>
> 問題の式が因数分解できるとは(笑)。しかし、これ以外の方法が思いつきません。残念。
> 一応、見かけだけ違うというか、あまり知られてなさそうな定理を用いた方法を最後に載せました(見かけだけで、中身は因数分解です)。
>
> P=(n-2)^2×(n^2-8)+12とする。
> Pを因数分解することを考える。P=(n-2)^2×[(n-2)^2+4(n-2)-4]+12=(n-2)^4+4(n-2)^3-4(n-2)^2+12=m^4+4m^3-4m^2+12=(m^2-2m+2)(m^2+6m+6) @ m=n-2。よってPが素数ならm^2-2m+2=1かつm^2+6m+6が素数、またはその逆である。
> m^2-2m+2=1なら(m-1)^2=0だからm=1なので、m^2+6m+6=13。よって、n=m+2=3でP=1×13=13が素数。
> m^2+6m+6=1なら(m+1)(m+5)=0。だからm=-1,-5だが、m=-5はn=-3でNG(P=37×1=37で素数にはなる)。m=-1ならn=1でm^2-2m+2=5。よって、n=1でP=5×1=5が素数。
> 以上から、Pが素数になるのはn=1でP=5、及びn=3でP=13の場合のみ。
>
> Pが合成数であれば、初項a(自然数)、公差2、項数k>1(つまり項が2つ以上)の等差自然数列の和ak+k(k-1) で表せる、という定理がある。そこで、Pがこの形式で書けるかどうかを考える。
> 実はこの条件は、P=ak+k(k-1)=k(k+a-1)と2つの約数の積に分解し、約数kが1になるかどうかで合成数かどうかを判定する、つまり、上記の因数分解のケースと同じことになる。一応解いてみると、n<2、つまりn=1のとき、k=n^2+2n-2(=1)でP=k[k+(13-8n)-1]=1×5=5。k=1だから合成数ではない、つまり素数。n>1のときは、k=n^2-6n+10でP=k[k+(8n-11)-1]。n=3でk=1となりP=1×13という素数が得られるが、それ以外のn>1ではk≠1でPは合成数。


こんにちは☆数列と合成数を結びつける定理があるんですね!おもしろい定理を教えてもらいありがとうございます!

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coldiaさん

> n=1のとき5
> n=3のとき13
> (n=-3のとき37)
> が答えでした。
>
> はじめは
> (n-2)^2*(n^2-8)+12=p と置いて
> 例えばnが偶数だとpも偶数になってしまうのでn=2k+1とおけて…
> するとpが8m+5型の素数で…
> (素数じゃないの混ざってるけど…)
> とか、
> pが3の倍数にならないためにはnの条件がこうで…
> かつ5の倍数にならないためにはnの条件がこうで…
> (無限個の素数について試すの…?)
> とか考えて泥沼にはまり、
> 積の形にして絞ろうにも
> (n-2)^2*(n^2-8)=p-12となるけどpが素数だからといってp-12が素数とは限らないからp-12が約数を持つとき云々…
> とか考えて、試行錯誤した結果、
> (*******)(*******)=pの形でないとこの方法も意味がないというのは気付いていたんですがどうも問題の4次式が因数分解が出来ず。。
> そんなこんなで4日も考えててやっと先ほど因数分解が出来て解けました。
>
> 根が自力で見つからないので、
> n^4-4n^3-4n^2+32n-20=(n^2+an+b)(n^2+cn+d)と因数分解出来ると仮定して恒等式
> a+c=-4, ac+b+d=-4, ad+bc=32, bd=-20
> を作り、これをbのみにした式
> b^6+4b^5-108b^4-544b^3+2160b^2+1600b-8000=0
> も何度か立てたのですが、さすがに解けるわけないと諦めていました。笑
> bd=-20であることとb^6以外の係数が偶数であることから、b^6も偶数であるべきで、すなわちb=2,4,10,20で、このとき対称性よりdの値も一緒に解として出てくることからb=-2, b=10とb=2, b=-10のどちらかが成り立つ(b=4とかだとペアの-5が奇数なのでNG)ということに気付ければ
> この6次方程式も簡単に解けたのでしょうけど…。。
>
> この6次方程式は
> (b+2)(b-10)(b^4+12b^3+8b^2-240b+400)=0
> と変形出来て、後ろの4次式は実根を持たないようで、それはちょっと手計算では突き止められませんでした(wolfram alphaを使いました)が条件を満たすbの値を何かしら拾えればよいのでとりあえず4次式は無視して
> b=10と選ぶとd=-2、それに対応してa=-6, c=2となり
> 与えられた式は
> (n^2-6n+10)(n^2+2n-2)
> と変形出来ることが分かりました。
>
> あとはn^2-6n+10=(n-3)^2+1>0であることと上の積がpになることから
> n^2-6n+10=p, n^2+2n-2=1
> →(n,p)=(1,5),(-3,37)
> または
> n^2-6n+10=1, n^2+2n-2=p
> →(n,p)=(3,13)
> の2パターンの場合わけとそれに対応する解が出ました。
>
> ということで取り得る素数は、5,13(,37)でした。


さすがですね!正解です☆この問題は因数分解が一番のポイントでしたね!

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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