問149

奇数の偶数乗
<コメント>久しぶりの証明問題です。0は偶数に含めます。

問149

<注意>2乗を繰り返した場合を証明できても、全て証明できたことにはならないので気をつけてください。2乗を繰り返しただけでは、2,4,8,16,32,…乗しか含まれません。例えば6乗や10乗も偶数乗ですが、2乗した後に3乗や5乗のような奇数乗したものです。

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> shah-san、いろは、Asnaro、coldia、禽吟亭ペタ羅、くわがたお、たけちゃん、スモークマン (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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shah-sanさん

> おはようございます(日本時間)
>
> こんなかんじですか?


こんばんは(アメリカ時間)。

いいですね、正解です!1人目の正解者です♪

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スモークマンさん

> でどうでしょう ^^
> もっと上手い方法ありそうだけど…Orz
>
> 前問,何回計算しても1800になるので諦めました…^^;


nC(n-1)*10の倍数*奇数^(n-1)の10の位は、10で割るのでnC(n-1)*1の倍数*奇数^(n-1)となるのではないでしょうか。そうするとnが奇数のとき奇数*奇数^偶数となって、奇数^偶数と最初の問題に戻ってしまいますよ。あと奇数^nの項も10の位に関与してきます!

全問の答えは残念ながら1800ではないですね☆

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スモークマンさん

> みたいなことでいいのか知らん ^^;
>
> 以外と説明しにくいものね…
> パスカルの三角を使って上手く言えないかと考えたりしましたが…
> 桁の扱い方わからず…^^;;


2乗の場合は証明できていますが、例えば6乗のような2乗した後に奇数乗しても、そのまま維持できることが説明できていませんね。スモークマンさんの解法だと、追加で1桁の奇数の奇数乗の10の位が決まればOKなのですが☆

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スモークマンさん

> こんばんは ^^
>
> 今のところ上手い方法思い付けず…^^;
>
> ある問題の発展?問として、思い付いた問題です。
> (so...純粋な創作問とは言えないですけど ^^;)
>
> 問題
> 331^nを900で割ったときの余りが最大になる最小のnは?
>
> *ちなみに...わたしの想定解は合ってれば…n=19です ^^


おもしろい問題をありがとうございました♪数字に作意を感じたので、誘導されるままに解けたという感じでした☆同じn=19となりましたが、以下解法です!

900=30^2なので、331^n=(11×30+1)^nで900で割り切れないのは330n+1のみ。
1) n=3kのとき
330n+1=3k(300+30)+1で、余りは90k+1。よってk=9のとき、つまりn=27のとき、最大の余り819となる。
2) n=3k+1のとき
330n+1=(3k+1)(300+30)+1で、余りは90k+331。よってk=6のとき、つまりn=19のとき、最大の余り871となる。
3) n=3k-1のとき
330n+1=(3k-1)(300+30)+1で、余りは90k-329。よってk=3のとき、つまりn=8のとき、最大の余り841となる。
1,2,3よりn=19のとき、最大の余り871。

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いろはさん

> お久しぶりです。最近は整数問題が多くて正攻法を見つけるのが大変な問題ばかりですね。


これはむしろ予想していなかった解法ですね♪正解です。別解として掲載したいと思います!

整数問題はとっかかりをつかむのが難しいため、とくにシンプルなものほど最も手強いですよね☆

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スモークマンさん

> おはようございます ^^
>
> 瞬殺でしたか!!
> 正解〜☆
>
> 頭を洗って出直しまっす 〜m(_ _);m〜
>
> 今日も秋晴れ♪


おはようございます!もちろん瞬殺ではありませんでしたが、30という数字が見え隠れしていたので、案外スムーズに解けました♪2段階のひらめきが必要となる、いい問題でしたよ☆

アメリカは秋が短い地域が多いので、もうまもなく冬が来そうです!

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くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^
>
> (証明)
>
> (証明終わり)m(__;m


くわがたおさん、こんばんは!かなりおしいですね☆

10an×b^(n-1)の項が20の倍数になることは証明できていますが、もう一つの項であるb×b^(n-1)も10の位の数字に影響します。つまりbは1桁の数字ですが、b^nは2桁以上の数字にもなります!

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Asnaroさん

> で証明になっているでしょうか。


1桁の乗数の場合、4乗周期で戻るということですよね☆正解です!

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coldiaさん

> いかがでしょうか?


丁寧な証明をありがとうございます♪完璧ですね、正解です!

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スモークマンさん

> また考えてみました ^^
>
> ってのでもダメ …?…^^;


二項定理を使った場合、最後の項は2乗ではなく偶数乗になります!よって3^偶数の十の位が偶数ということを示す必要があります☆答えまであと少しですね!

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禽吟亭ペタ羅さん

> すっきりした証明が思いつきません。


文章中心の証明もおもしろいですね♪2乗続けた場合の説明は完璧ですが、例えば6乗のような2乗した後に3乗など、2乗と奇数乗の組み合わせのときの説明が含まれているのか分かりませんでした。ほぼ答えを導いているので正解にしますね☆

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^
>
> (証明続き)
>
> ※ヒントが無ければこの証明はできなかったかも。合っててください。(祈り)m(__;m


くわがたおさん、おはようございます!電卓で叩く限りというのは、証拠不十分ですが、オマケで正解にしますね☆

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たけちゃんさん

> <注意>にあることがらは,意味的には当然その通りですが,
> 実際には2乗について示せば十分ですね.


たけちゃんさんの使った定理は、全ての高校生が習うわけではありませんが、ここでは高校までの知識以外の方法を使ってもOKなので、正解ですね☆

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たけちゃんさん

> どちらもほとんど自明であると思いますが...


前者のことです。高校までの知識で簡単に導けるからといって、途中で使う問題をヒント等なしで出題するわけにはいかないというだけです。ただここでは個性あふれる解答の方がむしろ歓迎ですし、別解として載せようかとも思ったぐらいですよ☆前コメントの「たけちゃんさんの使った定理は〜」は、たけちゃんさんの解答にケチを付けたようにも聞こえてしまいましたね、すみません。そういうことではなく、新しい解法だとお伝えしたかっただけでした!

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スモークマンさん

> 再度チャレンジ ^^
>
> 以上より、QED
>
> でいいでしょうか知らん ^^
> もっと簡単に言えないのか知らん...


結構前の問題でしたが、忘れずに再挑戦をありがとうございます!正解です☆証明の方法はいろいろありますが、スモークマンさんの方法は分かりやすくていいと思いますよ♪

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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