倍数の見分け方まとめ 11~20の倍数

大きい数字が何の約数を持つか、比較的簡単に判断できる方法の第2回目です!今回はようやく本番とも言える応用編の11から20まで掲載します♪文章の最後に、答えが分かるとおもしろい練習問題もありますのでお楽しみに☆

次回はさらに応用編の21の倍数以降です!案外作成が大変で時間かかっています。

<他の数字の見分け方はこちら>
2の倍数〜10の倍数の見分け方へ ⇒2~10の倍数
21の倍数〜30の倍数の見分け方へ ⇒21~30の倍数
31の倍数〜40の倍数の見分け方へ ⇒31~40の倍数
41の倍数〜50の倍数の見分け方へ ⇒41~50の倍数
51の倍数〜60の倍数の見分け方へ ⇒51~60の倍数
61の倍数〜70の倍数の見分け方へ ⇒61~70の倍数
71の倍数〜80の倍数の見分け方へ ⇒71~80の倍数
81の倍数〜90の倍数の見分け方へ ⇒81~90の倍数
91の倍数〜100の倍数の見分け方へ ⇒91~100の倍数


<11の倍数>
「全ての位の数字に符号を交互に並べて計算した数が11の倍数 = 11の倍数」 または
「一の位から順に2桁ずつに分けて足した数が11の倍数 = 11の倍数」 または
「一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べて計算した数が11の倍数 = 11の倍数」


例えば、
41895990730は4–1+8–9+5–9+9–0+7–3+0=11が11の倍数 → 41895990730=11の倍数
41895990730は4+18+95+99+07+30=253が11の倍数 → 41895990730=11の倍数
41895990730は41–895+990–730=(–)594が11の倍数 → 41895990730=11の倍数
1848047は1–8+4–8+0–4+7=(–)8が11の倍数ではない → 1848047≠11の倍数
1848047は1+84+80+47=212が11の倍数ではない → 1848047≠11の倍数
1848047は1–848+047=(–)800が11の倍数ではない → 1848047≠11の倍数


<12の倍数>
「下2桁が4の倍数かつ全ての位の数字を足した数が3の倍数(4の倍数かつ3の倍数) = 12の倍数」 または
「一の位から順に2桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に20のべき乗(1,20,400…)を掛けて合わせた数が12の倍数 = 12の倍数」


例えば、
1248324は下2桁の24が4の倍数かつ1+2+4+8+3+2+4=24で3の倍数 → 1248324=12の倍数
1248324は1×8000–24×400+83×20–24×1=36が12の倍数 → 1248324=12の倍数


<13の倍数>
「一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べて計算した数が13の倍数 = 13の倍数」 または
「一の位から順に6桁ずつに分けて足した数が13の倍数 = 13の倍数」



例えば、
9137037は9–137+037=91が13の倍数 → 9137037=13の倍数
1982022770は1982+022770=24752が13の倍数 → 1982022770=13の倍数


<14の倍数>
「一の位が2の倍数かつ一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べて計算した数が7の倍数(2の倍数かつ7の倍) = 14の倍数」 または
「一の位から順に2桁ずつに分けて、小さい位から順に2のべき乗(1,2,4,8,16…)を掛けて合わせた数が14の倍数 = 14の倍数」


例えば、
42809746は一の位の6が2の倍数かつ42–809+746=(–)21で7の倍数 → 42809746=14の倍数
7130942は7×8+13×4+09×2+42×1=168が14の倍数 → 7130942=14の倍数


<15の倍数>
「一の位が0か5かつ全ての位の数字を足した数が3の倍数(5の倍数かつ3の倍数) = 15の倍数」 または
「十の位以上の数字を足して10を掛けて、一の位の数を足した数が15の倍数 = 15の倍数」 または
「一の位から順に2桁ずつに分けて、百の位以上の数字を足して10を掛けて、残りの数を足した数が15の倍数 = 15の倍数」


例えば、
9813345は一の位が5かつ9+8+1+3+3+4+5=33で3の倍数 → 9813345=15の倍数
9813345は(9+8+1+3+3+4)×10+5=285で15の倍数 → 9813345=15の倍数
9813345は(9+81+33)×10+45=1275で15の倍数 → 9813345=15の倍数

応用例
8713485228729030は(87+13+48+52+28+72+90)×10+30=3930 → 3930は一の位が0かつ3+9+3+0=15で3の倍数 → 3930=15の倍数 → 8713485228729030=15の倍数


<16の倍数>
「下4桁が16の倍数 = 16の倍数」

例えば、
4219876483216は下4桁の3216が16の倍数 → 4219876483216=16の倍数
63830000は下4桁が0000 → 63830000=16の倍数
5184961987116は下4桁の7116が16の倍数ではない → 5184961987116≠16の倍数


<17の倍数>
「一の位から順に2桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に2のべき乗(1,2,4,8,16…)を掛けて合わせた数が17の倍数 = 17の倍数」

例えば、
2031738は2×8–03×4+17×2–38×1=0が17の倍数 → 2031738=17の倍数
4001951は4×8–00×4+19×2–51×1=19が17の倍数ではない → 4001951≠17の倍数


<18の倍数>
「一の位が2の倍数かつ全ての位の数字を足した数が9の倍数(2の倍数かつ9の倍数) = 18の倍数」 または
「十の位以上の数字を足して10を掛けて、一の位の数を足した数が18の倍数 = 18の倍数」


例えば、
4921847910は一の位の0が2の倍数かつ4+9+2+1+8+4+7+9+1+0=45で9の倍数 → 4921847910=18の倍数
294876は(2+9+4+8+7)×10+6=306で18の倍数 → 294876=18の倍数


<19の倍数>
「各桁の数字に大きい位から順に2のべき乗(1,2,4,8,16…)を掛けて足した数が19の倍数 = 19の倍数」

例えば、
693101は6×1+9×2+3×4+1×8+0×16+1×32=76が19の倍数 → 693101=19の倍数
947180は9×1+4×2+7×4+1×8+8×16+0×32=181が19の倍数ではない → 947180≠19の倍数

応用例
13113819は1×1+3×2+1×4+1×8+3×16+8×32+1×64+9×128=1539 → 1539は1×1+5×2+3×4+9×8=95 → 95は9×1+5×2=19で19の倍数 → 13113819=19の倍数


<20の倍数>
「下2桁が20の倍数 = 20の倍数」

例えば、
8302178480は下2桁の80が20の倍数 → 8302178480=20の倍数


倍数の見分け方練習2

実際に倍数に関連する応用問題を解いてみよう。
今なら解けるかも?↓↓↓
初級 ☆問13☆  中級 ☆問17



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ダイちゃん♂さん

> すごい!
> こんなにあるとは知りませんでした。
>
> ところで、「91」で検索して見直した方がいいですよσ(^┰゜)アッカンベー

2ヶ所の91は足し算のミスでした(笑)見つけてくれてありがとうございます。(倍数の見つける方法としてはどちらも正しかったです。)載せる前に何度もミスを見つけて修正したのですが、まだこんなにミスがあったとは!さっき修正しました♪

> 符号を交互に~のパターンと、べき乗を掛けるパターンが、理由が分からず悩み中です(笑)

11の符号を交互に~のパターンの理由の説明(証明は文字だらけなので省きます)は、こんな感じです。

5桁の例 (ABCDE): A×10000+B×1000+C×100+D×10+E×1=A×(11–1)^4+B×(11–1)^3+C×(11–1)^2+D×(11–1)+E
展開したときに11の倍数になる項を除くと残りは、A×(–1)^4+B×(–1)^3+C×(–1)^2+D×(–1)^1+E=A–B+C-D+E
よってA–B+C-D+Eが11の倍数ならABCDEも11の倍数☆

他の数字(7や13)も1001(=13×11×7)なので、ABCDEFGHI=ABC×(1001–1)^2+DEF×(1001–1)+GHIを使って、同じ方法を応用してできますよ。べき乗のパターンも似た方法ですが、もう一つテクニックが必要ですね。証明してみるのも結構楽しいですよ♪もし希望が多ければ、後から証明/理由の説明も載せるかもしれません。

No title

91はきっと、13の倍数の例をコピペしたときの残りですね(○´艸`)

おお!11の倍数分かってスッキリです♪
証明をいきなり見ても、なかなか食いつきにくいですが、ちょっと具体的なものがあると、入ってきやすいですね♪

ダイちゃん♂さん

91はたしかに13の倍数のときのですね。あまりにいろんな数字が多すぎて、どこまで書いたか分からなくなっていました(笑)

5桁ぐらいでなぜそうなるのか説明を後で加えても良さそうですね♪現在50の倍数まで全て1~3通りずつ見つけたのですが、宣言してしまったので少なくとも40の倍数ぐらいまでは載せたいと思っています☆

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くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^

くわがたおさん、こんばんは!すばらしい、正解です☆

中には計算が面倒な倍数もあったと思いますが、しっかり計算してもらいありがとうございます!

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

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