問114の答え

ヒント: 下2桁には周期があります。

問114に戻る。

解答と解説は下にあります↓↓↓







※ こちらは問題の解答のみです。注意してください。問題は別の場所に掲載してあります。


解114-1

解114-2
解114-3
解114-4
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たけちゃんさん

> 冒頭コメントや返信コメントで触れられている「下7桁」の解決編がなかったので,
> 試しに解いてみました.
> 少し面倒ではありましたが,何とか手計算でも処理できました.
> 7^100,7^700,7^7000などは,末尾が0001なので,べき乗が扱いやすいですが,
> 7^7,7^10はいずれもあまり扱いやすくないので,
> 7^77だけは,他とは違う方法で,比較的扱いやすい7^20,7^80を経由して考えました.
>
> 7^4=2401を用いて計算する.
> 7^7=2401*343=823543.
> 7^20=2401^5=1+5*2400+10*2400^2+10*2400^3+(2400^4の倍数)
> =12001+57600000+(10^7の倍数)と表され,下7桁は7612001.
> よって,7^80=1+4*7612000+6*7612000^2+(7612000^3の倍数)
> =30448001+6*4000000+(10^7の倍数)と表され,下7桁は4448001
> 7^77の下7桁に7^3=343をかけると下7桁4448001となるので,
> 4448001-343*7=4445600,
> 44456-343*2=43770,
> 4377-343*9=1290,
> 9129-343*3=8100,(負にならないように先頭に数字を付け足しました.次行も同じ)
> 9981-343*7=7580
> のように計算して,7^77の下7桁は7039207.
> 7^100=(7^20)^5=1+5*7612000+10*7612000^2+(10^7の倍数)
> =8060001+(10^7の倍数)と表され,下7桁は8060001.
> 7^700の下7桁は6420001とわかり,
> 7^777の下7桁は,7039207*6420001の下7桁と同じで,5979207.
> 7^7000の下7桁は4200001で,7^7777の下7桁は5379207.
> 7^70000の下7桁は2000001で,7^77777の下7桁は9379207.
> 7^700000,7^7000000,…の下7桁は0000001だから,7^777777からは下7桁に変化はない.
>
> 以上より,下2桁については最大値43,最小値07であり,
> 下7桁については最大値9379207,最小値0823543である.
> (ただし,最小値は7^7の場合で,実際の値が6桁であり,実は下から7行目はない.
> これを除外すると,最小値は5379207.)


下7桁まで求めてしまうとは、ものすごいですね☆ここでも10^n乗の語尾が0…01というのが役立っていますね♪

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mm2445

Author:mm2445
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