問112の答え

ヒント: 因数分解できます。

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解答と解説は下にあります↓↓↓







※ こちらは問題の解答のみです。注意してください。問題は別の場所に掲載してあります。


解112-1
解112-2

解112-3
解112-4
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No title

[112]
解答の3行目,「各項」とありますが,
ここで考えているのは項ではなく(乗法)因子ですね.
(式中においては,項とは通常,加法因子となる単項式のことです.)

n=1,2,3,…,7に対する各因子の素因数分解を調べた後,
「例えばmの約数を考える場合」以降は,かなり意味がとりにくく感じました.
後を読むと,「mの約数」ではなく「mが約数となる場合」ということのようです.
「約数が現れた全てのmをm=pとする」は,
「mが約数として現れた最小のnをn=pとする」でしょうか.
また,おそらく
「q^{kp}-1=(q^p-1)(q^{kp-3}+q^{kp-6}+…+q^3+1)」
とあるのは,
「q^{kp}-1=(q^p-1)(q^{kp-p」+q^{kp-2p}+…+q^p+1)」
が正しいと思います.

ということで,私がちゃんと読めているかどうかも怪しいのですが,
「q^n-1がmの倍数となるような最小の自然数nをpとすると,
q^n-1がmの倍数となるためのnの条件は,『nがpの倍数』である」
が言えた後,そこから
「(2^n-1)(3^n-1)(5^n-1)がmの倍数となるような最小の自然数nをpとすると,
(2^n-1)(3^n-1)(5^n-1)がmの倍数となるためのnの条件は,『nがpの倍数』である」
と結論付けているように見えてしまうのが最も心配なところです.
(これ自体は不成立ですね.)

No title

あまり新鮮味はありませんが,私なりに書いてみました.
(内容としては,多分「解答」で意図されていることと同じではないかと思います.)

2^n+3^n+5^n-6^n-10^n-15^n+30^n-1=(2^n-1)(3^n-1)(5^n-1).
これが,5,7,8,9のすべてで割り切れるようなnを求めればよい.
2^n-1,3^n-1,5^n-1のそれぞれについて,
素因数2,3,5,7の個数(2は3個まで,3は2個まで,5,7は1個だけ)を考察する.

一般に,q^n-1は,q進法で数字q-1をn個並べたものであり,
q^n-1をq^m-1で割った余りはq進法で数字q-1を(nをmで割った余り)個並べたもの.
よって,nがmの倍数であるとき,またそのときに限り,q^n-1はq^m-1の倍数である.
これより,q^n-1がrで割り切れる最小の自然数nを求めれば,
q^n-1がrで割り切れるためのnの条件が得られることになる.
(ここで,qは2,3,5のいずれか,rは2,2^2,2^3,3,3^2,5,7のいずれか.)

2^n-1は,
・n=2ではじめて3の倍数
・n=3ではじめて7の倍数
・n=4ではじめて5の倍数
・n=6ではじめて3^2の倍数
3^n-1は,
・n=1ではじめて2の倍数
・n=2ではじめて2^3の倍数
・n=4ではじめて5の倍数
・n=6ではじめて7の倍数
5^n-1は,
・n=1ではじめて2^2の倍数
・n=2ではじめて2^3の倍数かつ3の倍数
・n=6ではじめて7の倍数
よって,(2^n-1)(3^n-1)(5^n-1)に
・素因数2が3回登場するのはnが1の倍数のとき,
・素因数3が2回登場するのはnが2の倍数のとき,
・素因数5が登場するのはnが4の倍数のとき,
・素因数7が登場するのはnが3の倍数のとき
であり,
5,7,8,9のすべてで割り切れる条件は,nが12の倍数であることである.

したがって,求める最小値は,n=12.

たけちゃんさん

いろいろ解答に不備があったようで、すみません。本来なら内容を検討して修正したいところなのですが、最近は全く時間がなくて、今後は新しい問題のコメントの返信もできるか分からない状態です。問題の案はまだまだあるので、随時掲載できると思うのですが、返事ができるかあやしくなってきました。しっかり考えていただいたのに申し訳ないです。

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自作問題を作ることが趣味。
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