問107の答え

ヒント: 相手が初めに聞く質問には、2通りの可能性があります。

問107に戻る。

解答と解説は下にあります↓↓↓







※ こちらは問題の解答のみです。注意してください。問題は別の場所に掲載してあります。


解107-2
解107-3
解107-4
解107-5
解107-6
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たけちゃんさん

> 問題文の末尾に書かれている「ゲームの例」ですが,(質問が何回でも,)
> 4,6,9に絞り込むというのは起こり得ない状況であり,少し違和感がありました.
> (候補にp,qが残っているとき,必ずp,qの最大公約数も残ります.)
> が,題意を明確にするための例示ですから差支えないのでしょうね.
>
> 実は,この問題では,もう1つ気になることがあるのですが,後回しにします.
>
> 解答についてですが,「どの数字を選ぶべきか」だけが問われているので,
> 具体的な戦略を確定しなくても,結論「1を選ぶ」が得られそうに思います.
>
>
> 以下,「nの倍数か?」という質問をQ[n]と表すことにします.
>
> まず,相手の最適戦略の例を考えます.
> 『はじめにQ[2]により,{2,4,6,8,10,12},{1,3,5,7,9,11}のどちらかに分別.
> {2,4,6,8,10,12}のとき,Q[4]により{4,8,12}と{2,6,10}に分別.
> {1,3,5,7,9,11}のとき,Q[3]により,{3,9}と{1,5,7,11}に分別.
> 3個以下に限定されたときや,{1,5,7,11}のときは,
> Q[(残った候補の最大数)]により1つずつ分別.』(戦略*)は,最適戦略の1つです.
>
> [(戦略*)が相手の最適戦略の1つである理由]
> ある特定の戦略に対し,ある数kを言い当てるのにかかる回数をN(k)とする.
> 未質問の状態では,
> 全体が1つの集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}にまとめられている.
> 質問を1回するごとに,集合の個数は基本的には2倍になる.
> ただし,要素が1つの集合は,それ以上分割されない.
> (要素が2つ以上の集合の個数(aとする),要素が1つの集合の個数(bとする))は,
> 上記の戦略では(1,0)→(2,0)→(4,0)→(3,5)→(1,10)→(0,12)と推移し,
> これは,N(k)=3であるkが5つ,N(k)=4であるkが5つ,N(k)=5であるkが2つ
> あることに対応する.
> (つまり,a+bの値は,次の段階で,元のaの値だけ増え,
> bの値は,m段階目で,N(k)=mであるkの個数だけ増える.)
> (戦略*)の場合,回数の期待値は(3*5+4*5+5*2)/12=15/4である.
> なお,はじめの(1,0)を含めた各段階のaの合計は,
> 集合の分割数の増加量と一致するから11であり,また最終段階以外ではa>0である.
> 「1」を言い当てるには,Q[2],Q[3],Q[5],Q[7],Q[11]が必須であり,N(1)≧5.
> また,最後の特定の質問の結果はじめて確定するkが2つあるから,
> どのような戦略でも,N(k)が最大となるkが少なくとも2つ存在する.
> N(k)の最大値が5であるような戦略について,
> (1,0)→(a[1],b[1])→(a[2],b[2])→(a[3],b[3])→(a[4],b[4])→(0,12)のようになり,
> a[1]+b[1]=2,a[2]+b[2]=2a[1]+b[1],a[3]+b[3]=2a[2]+b[2],a[4]+b[4]=2a[3]+b[3],
> 12=2a[4]+b[4].
> 期待値は,
> (b[1]+2(b[2]-b[1])+3(b[3]-b[2])+4(b[4]-b[3])+5(12-b[4]))/12
> =((2-a[1])+2(2a[1]-a[2])+3(2a[2]-a[3])+4(2a[3]-a[4])+5*2a[4])/12
> =(2+3a[1]+4a[2]+5a[3]+6a[4])/12
> =(2+4*10-a[1]+a[3]+2a[4])/12≧(42-2+1+4)/12=15/4.
> N(k)の最大値が6以上であるような戦略については,同様にして
> (期待値)>15/4が示される.
> 以上より,期待値が15/4である戦略である(戦略*)は最適戦略の1つである.
>
> この考察から,相手の最適戦略は,言い当てるのに6回以上かかる数を含みません.
> 一方,「1」は,どんな戦略でも,最低5回の質問をしないと当てられません.
> さらに,(戦略*)および,そのマイナーチェンジ
> 「{1,5,7,11}の部分集合に対しては,残っている数のうち,1以外の最小数を問う」
> の2つの最適戦略で,ともに5回の質問が必要な数は,1以外にはありません.
>
> 以上により,はじめに選ぶべき数は「1」だけであることが確定していると思います.
>
>

> 問題でもう1つの気になることというのは,
> 「絞り込める回数の期待値が最も小さくなる質問」というところです.
> 期待値は,各数がどんな確率で選ばれているかが定まらないと計算できませんよね.
> 上の考察も含め,「1~12はすべて等確率に無作為に選ぶ」ことを前提としていますが,
> 得られた結論は,「1を選ぶべき」でした.
> それでも相手の側からは「1~12はすべて等確率」として考察することが,
> 妥当といえるのかどうかが気になっています.
>
> 例えば,2人でじゃんけんをして,
> 『グーで勝てば3点,チョキで勝てば5点,パーで勝てば6点,
> 負ければ,相手の得点と同じだけ失点』
> という規則で点数をつけるとして,できるだけ高得点を得たい場合,
> 「相手がグー,チョキ,パーをそれぞれ1/3の確率で出す場合に期待値が最大となる手」
> (チョキだと思いますが)は本当に「論理的な」最適戦略なのかは疑わしいと思います.
> というか,この例ではやはり,手ごとに確率を設定して,その確率で不作為に手を出す
> 「混合戦略」が合理的であるように思います.
> (もちろん,相手の戦略が既知なら,もっと有効な戦略があったりしますが...)
>
> 上の考察は,この疑念に対して,いわば「強い」解であるかもしれません.
> つまり,相手が「1の可能性が高い」と思っているとしても,
> 極端な話,「99%の確率で1だろう」と思っているとしても,
> 「1を選ぶ」ことは妥当であり続けます.
> 必ず5回の質問が必要で,そんな数は他にはないからです.


たしかに問題文に、「数字が等確率に無作為に選ばれるものとして、質問をする」といった内容があった方が確実でしたね!

選択肢のそれぞれに確率や点数のようなものがある場合についてですが、たけちゃんさんのじゃんけんで配点があるものを例に取って少し考えてみました☆このルールでAとBがじゃんけんをする場合、まず「Aが配点の高いパーを出すだろう」と思ってBがチョキを出そうとします。しかしAは「「Aが配点の高いパーを出すだろう」と思ってBがチョキを出すだろう」と思ってグーを出そうとします。このように結局お互い裏をかこうと思って裏の裏、裏の裏の裏と無限に続いてしまうのではないでしょうか。そのため確率は結局同じか、もしくは無限級数のような形になるような気がします(時間がなくて考察不十分で、第一印象だけでのコメントなのですが)。

たけちゃんさん

> 問題文の末尾に書かれている「ゲームの例」ですが,(質問が何回でも,)
> 4,6,9に絞り込むというのは起こり得ない状況であり,少し違和感がありました.


あと問題文の例のことですが、実際にある状況を例にすると、ヒントになる可能性があるため、わざと起こりえない状況を例にしています!問題の内容に誤解が生じないための文章なので、計算上起こりえないと解答中に分かったとしても何も問題ないからです。

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たけちゃんさん

> 一応,提示したルールでAとBがじゃんけんをするときの戦略について補足します.
>
> AやBのとる戦略が「ある確率である手を出す」であるとし,
> Bのグー,チョキ,パーの確率を順にp,q,rとします.
> Aの戦略「確率xでグー,確率yでチョキ,確率zでパー」の期待値は,
> (3q-6r)x+(-3p+5r)y+(6p-5q)z=(-3y+6z)p+(3x-5z)q+(-6x+5y)r
> となります.
>
> Aは,p,q,rの値がわかれば最適戦略が求められます
> (3q-6r,-3p+5r,6p-5qのうちから最大値を選び,それを係数に持つ変数(x,y,zのいずれか)を1に,他を0にするのが最適です.最大値をとるものが複数あれば,それを係数に持つ変数の中で,1をどう割り振ってもよいです.)
>
> p,q,rが不明のとき,ゲームはA,Bに対称なので,期待値を正にはできません.
> -3y+6z=3x-5z=-6x+5y=0,すなわちx:y:z=5:6:3より,
> x=5/14,y=3/7,z=3/14とする戦略が,期待値を0にし,安全な戦略となります.
> (この戦略であることが相手にバレても,期待値は負になりません.)
>
> これはちょうど,通常のじゃんけん(勝てば1点,負ければ-1点)において,
> グー,チョキ,パーを1/3ずつの確率で出すのが安全な戦略であることと対応します.


出す確率も得点の比に従うという結果ですね!これなら納得のいく値です☆

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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