問17

数列の約数の問題
<コメント> 等比数列の和ですが、数列として考えずに数字として見た方が簡単です。
問17

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> たみひかのろ、くわがたお、いわちょ、dyne、shah-san、スモークマン、coldia (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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morsutohappyさん

> 訪問ありがとうございます。
> 数学大好きでしたが、高校では体育ストレスで恐怖の高校生活。
> 今はとても解けませんが、問題見るとワクワクしちゃいます。
> よろしかったら、他の方にも紹介したいと思いますので、リンクに追加させていただけますか?
> 以前一度訪問して下さったですよね。お礼も伝えられずすみません。
> アメリカ在住とは羨ましいです。

突然訪問してしまいましたが、今後もときどき読ませていただきたいと思っています。
ありがとうございます!ぜひ数学の好きな方にたくさん紹介して、どんどん解いてもらいたいです☆解いた問題は正解者の順にお名前を掲載させていただいています。中には数学なんて今更解きたくないって方もいらっしゃると思いますが、問題を見て高校時代を懐かしく思い出していただけるだけでもうれしいです♪

また数学だけでなく、例えばアメリカでの生活や観光などの質問でも幅広く受け付けますよ☆

たみひかのろさん

> 少し強引ですが・・・いかがでしょう?

正解です!最初の正解者です☆たみひかのろさんの方法でも十分OKです!ちなみに91=7*13で、実は7や13の倍数の見分け方もあります。これまでに倍数に関する質問が結構多いので、次回に倍数の見分け方をまとめたものを掲載する予定です♪

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くわがたおさん

> mm2445さん、こんにちは!!^^
>
> 最小のnかは少し自信ありません。^^;

nの最小値も正解でしたよ♪9の倍数だけでがんばって推理したことが伝わってきました!くわがたおさんの推理力がすばらしかったのと、おもしろい解き方を楽しませていただきましたので、文句なしの正解です☆

(参考)ちなみに90090は、9や10以外に7や11や13の倍数でもあるんですよ♪9の倍数のように、7や11や13の倍数の見分け方も実はあります。他の方々も含めてこれまでに倍数についてのコメントが多いので、明日から見分け方をまとめて掲載していくつもりです!お楽しみに☆

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いわちょさん

すばらしい、正解です!

実は倍数判定法を載せる前に出した問題だったので、まさにいわちょさんの2つ目の方法のように111111から解く方法を予定していました☆ただ91(=7×13)の倍数を見つけるために解答者のみなさまが苦労されていて、しかもまだまだ約数の問題を出す予定だったので、一通りまとめてみたという経緯がありました♪

予想していた別解の方も見つけてくれてありがとうございます!解答を載せるときにいわちょさんの方法も別解として掲載しようと思います☆

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dyneさん

> こんにちは。
> コメントのやりとりをヒントにやってみました。
> 自分で思いつく気がしません・・・汗
>
> よろしくお願いします。

正解です!9の倍数だけで、がんばる方法ですね♪

7,11,13など、他の倍数の見分け方はあまり知られていないみたいですね。案外簡単ですよ♪
この問題に9以外の数字の倍数判定法も使うと、あっさり解けます☆
http://mm2445.blog.fc2.com/blog-entry-29.html
http://mm2445.blog.fc2.com/blog-entry-30.html

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> 答えは、n=18
>
> nが9の倍数なのはすぐわかるので、力技でも2回目の割り算で答えに辿り着いちゃうんですよね。あれこれ考えるより、実際に割り算した方が楽だし早いから、これ以上楽にはならないか。
>
> P=90090にXを乗じて、1がn個のQ=PX=111・・・110を作る。Pは9の倍数なのでQも9の倍数。よって、Q中の1の数はn=9k個(kは自然数)。
> PもQも10の倍数なので、10で割って、p=P/10、q=Q/10と置く。q=pX=9009X=1001×9X=1000×9X+9X。つまり、y=9Xを3桁ずらして和を取って、1がn個のq=1000y+yを作る。
> 1000yの下位3桁は000なので、yと足してqの下位3桁111になるには、yの下位3桁は111となる。すると、1000yの下位4~6桁は111になるので、yの下位4~6桁は000となる。以下同様にyは下位から3桁ずつ111,000,の繰り返しとなる。
> q=1001yなので、yの桁数z=n-3=3(3k-1)桁。構築ブロックが000,111の3桁であることからの要請z≡0 mod 3は自動的に満たされている。さらに、yは9の倍数なので111が3個単位で必要である。つまりkは2,4,6・・・。k→2kと置き直して、z=3(6k-1),n=18k。以上を満たせばPX=10pX=10q=Qを満たす。最小のnはk=1でn=18。
> 一応確認すると、k=1,z=15,n=18の場合、y=111000111000111。これは9の倍数であり、X=y/9=12333345666679。Q=PX=10pX=10×1001y=1111111111111111110(1が18個の末尾に0)で題意を満たす。


9と1001に分けて3桁ずつ見る方法ですか!いいですね☆

このタイプの問題が実際の試験に出たら、具体的に探した方が早くて正確ですよね♪

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スモークマンさん

> 筆算でも出来るだろうけど…足して1になる数を次々とPCで計算させましたとさ…Orz


なんとPCでひたすら計算して見つけるとは!この問題は、筆算などの面倒な計算をしなくても解けますよ♪

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coldiaさん

> 1111…110を90090で割った余りは、
> 1111…11を9009で割った余りに等しくなりますね。
> 1はn個並んでいます。
>
> 9009=9*1001なので
> 1111…11を9と1001で割った余りがどちらも0になるようなnを探していきます。
> 1001は7,11,13に分けて別々に考えてもいいんですけど
> 7の倍数か?とか13の倍数か?をチェックする方法は(すでに倍数判定法に載ってますけど)結局全部同じ手順で、7,11,13が1001の約数であることに由来した方法なので一緒くたにやってしまいます。
>
> ちなみに1001の倍数かどうかの判定方法についてですが、mod1001とすると
> 10^3=1000=1001-1≡-1
> 10^6=1000000=999999+1=1001*999+1≡1
> なので、これを使うと、下から3桁ずつ区切ってプラマイプラマイと符号をつけて足し合わせたものの値と、もとの数は、どちらも1001で割った余りが等しくなることが言えます。これより「3桁ずつ区切って符号をつけて足した値が1001の倍数になること」が条件です。
>
> 3桁区切ってプラマイプラマイと符号をつけるので、1がたくさん並んでいると計算結果は6桁ずつで1巡します。
> このとき、1001で割った余りは、nの値により
> 1→11→111→110→100→0→1→11→…
> と変わっていくので、1001で割り切れるのはnが6の倍数のときです。
>
> 9の倍数である条件は各位の数字の和が9の倍数になっていることなので、nが9の倍数であれば良いです。
>
> したがって、nの条件は、6の倍数かつ9の倍数
> すなわち、18の倍数であれば良いです。
> 以上より最小のnはn=18となります。
>
> いかがでしょうか。


正解です☆1001の倍数判定法を独自に作って解いてしまうとは!さすがです!

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アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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