問16

複素数の計算問題
<コメント> すっきり系の問題です。
問16

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> たみひかのろ、ダイちゃん♂、くわがたお、いわちょ、dyne、shah-san、coldia、スモークマン (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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たみひかのろさん

数学的帰納法を使った解き方ですね!その方法は考えていませんでしたが、数学的でおもしろいです。もちろん答えは正解です!

ときどき予想外の方法で解いてくれる方がいるので、楽しませてもらっています☆もし一度解いた問題でも、別解などがあれば教えてもらえるとうれしいです♪

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ダイちゃん♂さん

> おひさしぶりです。
>
> 合ってればスッキリ♪

おひさしぶりです!さっそく正解です☆正攻法ですね♪

> 帰納法・・・気になりますねえ(笑)

1人目からいきなり帰納法で解かれたときには、かなり驚きました!解説を出すときに、別解として載せようと思っています♪早く載せたいのですが、まだこれから解いてくれる方もいるかもしれないので、もう少し後にしようと思います。

No title

mm2445さん、こんばんは!!^^

(n+2-ni)/2、だと思います。

理由:ためしにn=1から3まで計算してみたら、こうなっていたから。^^;

くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^

くわがたおさん、こんばんは☆正解です!

この問題の証明もいろいろ方法があって、簡単な解き方だとちょっと計算するとたくさんある項がきれいすっきり消えて解けますよ♪

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いわちょさん

正解です♪きれいな解き方ですね☆

これでいわちょさんは、ほとんどの問題を解いてしまいましたね!でもまだまだ新しい問題を出していくのでお楽しみに♪

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dyneさん

> こんにちは。
> もっとシンプルな式変形がありそうな気はするのですが・・・
>
> よろしくお願いします。

こんにちは!正解です♪

dyneさんの方法でも何も問題ありませんが、例えば分子をk^2 + k + 1 - i = (k - i)(k + i + 1)のように因数分解できる形を見つける方法もありますね☆

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shah-sanさん

> 新年あけましておめでとうございます
>
> 今年もよろしくお願いします。
>
> 解は、(n+2-ni)/2
>
> 年始の休み中に1問くらいは、と思ったのですが。いろいろな視点から(似たような計算で)解ける問題だったので、まとめるのが大変でした。ww
> 目新しいのは、たぶん、複素平面からの視点、でしょうかね。
>
> 準備として、Q[n]=(n^2+n+1-i)/(n^2+1)=[(n+i)(n-i)+n-i]/[(n+i)(n-i)]=(n+1+i)/(n+i)なので、P[n]=n+iと置いて、Q[n]=P[n+1]/P[n]としておく。また、問題の式をX[n]=Q[1[Q[2]・・・Q[n]とする。
>
> 直接計算すると、Q[n]=(n^2+n+1-i)/(n^2+1)=P[n+1]/P[n]だから、X[n]=P[2]/P[1]×・・×P[n+1]/P[n]=P[n+1]/P[0]=(n+1+i)/(1+i)=(n+1+i)(1-i)/2=(n+2-ni)/2。
>
> 数列の問題と捉えると、初項X[1]=(3-i)/2、漸化式X[n]=X[n-1]×(n^2+n+1-i)/(n^2+1)=Q[n]X[n]という数列X[n]の一般項を求める、となる。Q[n]=(n^2+n+1-i)/(n^2+1)=P[n+1]/P[n]なので、X[n]=X[n-1]×P[n+1]/P[n]。つまり、X[n]/P[n+1]=X[n-1]/P[n]。X[n]/P[n+1]=Y[n]とすると、Y[n]=Y[n-1]。つまり数列Y[n]は一定値で、 Y[1]=Y[n]=X[1]/P[2]=(3-i)/2/(2+i)=(3-i)(2-i)/2/5=(1-i)/2。よって、X[n]= P[n+1]Y[n]=(1-i)(n+1+i)/2=(n+2-ni)/2。
>
> 複素平面上で考えると、Q[0]=1-iが√2倍×π/4回転√2exp(-iπ/4)なので、X[n]は何かの点列をπ/4回転したもの、の√2倍と考えられる。Q=1+iと置いて、QX[1]=(3-i)(1+i)/2=2+i、QX[2]=QX[1]Q[2]=(2+i)(7-i)/5=3+i、・・・、QX[n]=(n+1)+i。つまり、複素平面上で、実数軸がn+1、虚数軸が1の真横に伸びる点列を、π/4回転して√2倍したものがX[n]である。計算すれば、X[n]=[(n+1)+i]/(1+i)=[(n+1)+i](1-i)/2=(n+2-ni)/2。
> (QX[n]=(n+1)+iの証明は略だが、ここまでの予備知識がなければ帰納法で証明するのが楽。実はQ=1+i=P[1]なので、QX[1]=P[1]X[1]=P[2]、QX[2]=P[1]×P[2]/P[1]=P[2]、・・・QX[n]=P[n]×P[n+1]/P[n]=P[n+1]=(n+1)+iである。Qを1-iではなく1+iにしたのは、この計算を楽にするためで、Q=1+iにするとQX[n]=1-(n+1)i、つまり回転前の点列が実数軸1、虚数軸-(n+1)の縦に伸びる点列になる)
>
> X[n]の最初の数項(3-i)/2, 2-i,(4-3i)/4,・・・からX[n]=(n+2-ni)/2と推定して、帰納法で照明しても良い。n=1なら(1+2-i)/2=(3-i)/2で成立する。X[n-1]=[(n+1)-(n-1)i]/2と仮定すると、X[n]=[(n+1)-(n-1)i]/2×P[n+1]/P[n]=[(n^2+1)(n+2)-n(n^2+1)i]/2/(n^2+1)=[(n+2)-ni]/2。よって、全てのnでX[n]=(n+2-ni)/2。


明けましておめでとうございます!今年もまだまだ問題を作っていきますので、どんどん解いてくださいね☆

さっそくおもしろい別解をたくさんありがとうございます♪とくに複素数平面を使ったものが、複素数の問題らしくて気に入りました!漸化式の解き方もいいですね☆

きれいに消えて終わりのはずの問題でも、他にもいろんな方法を見つけてしまい、すばらしいです!

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coldiaさん

> ΠをΣの掛け算バージョンとします。


いいですね、正解です!すっきり消えるタイプの問題でした☆

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スモークマンさん

> みたいなことになるんですのね ^^
>
> あっという間に季節が移って行きます...


さすがですね、正解です♪

年々、時が経つのが早くなっていきますよね!

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mm2445

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アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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