問15

面積の問題
<コメント>個人的にはグラフの問題を作るのが好きですが、グラフはなぜか人気がありません。
途中の計算は簡単です。ヒント:nには奇数と偶数があります。問15

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> たみひかのろ、いわちょ、dyne、shah-san、coldia (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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はじめまして、こんにちわ。
足跡からお邪魔致しました。

もし宜しければ、またいらして下さいませ。

まずは、ご挨拶まで・・・。

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NORIXさん

ご訪問とメッセージをありがとうございました☆これからもときどき読ませていただきます♪

たみひかのろさん

正解です♪この問題の一人目の正解者ですね!丁寧な解き方もありがとうございました☆

> 3つ星は考えてますが、難しいです。
> ゆっくり答えを探したいと思います。

3つ星の問題もほとんどが解き方のひらめきだけで、計算はあまりしなくていいものが多いですよ。

ぜひゆっくり挑戦してください!解答以外にも質問やヒントなども受け付けています♪

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いわちょさん

すばらしい、正解です!

> 高校分野ではない広義積分を高校数学的に記述するならlim[a→∞]∫[1,a]云々にした方がいいのかとか、面積って言葉使っていいのかとか、いろいろ考えましたが、結局はあんまり細かいことは気にせず書きました(笑)

大学入試などで丁寧に書くとlim[a→∞]∫[1,a]だったような気もしますが、ここでは書きやすい形でいいですよ♪何も気にせず自分も∫[1,∞]と書いていました(笑)あともし高校では習わないような別解があれば、その方法で解いてもらってもOKですよ☆

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dyneさん

> こんばんは。
> 「奇数と偶数」のヒントの意味があまり分かっていないような気もしますので、
> 今回はあまり自信がありません(汗)

いえ、完璧です!この問題も正解ですね♪

ヒントが紛らわしくてすみません。奇数と偶数でグラフが違うので注意という意味でした!でも結局同じ答えになりますね。

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shah-sanさん

> おはようございます
>
> 解は、n>1で面積S=S1+S2=2/(n-1)+2/(n+1)=4n/(n^2-1)。n=1でS1=lim(x→∞)log|x|=∞。n→∞でS→0。
>
> 計算問題にそうそう捻った考え方などありはしませんが。一応考えてみて普通にしか解けませんでした、ということで、念のため。
>
> 曲線C1:y=x^n+x^(-n)とC2:y=x^n @|x|>=1との間の面積S1と、C1:y=x^n+x^(-n)とC3:y=x^(-n) @|x|<1との間の面積S2の和Sを自然数nの関数として求める。
> グラフはx=0に対して対称(nが偶数、x^n=(-x)^2,x^(-n)=(-x)^(-n))か、原点に対して対称(nが奇数、x^n=-(-x)^2,x^(-n)=-(-x)^(-n))であり、囲む面積はnの偶奇に依存しない。よって、xの正の部分の面積の2倍が求める面積になる。
> |x|>=1の部分の面積は、S1=2∫(1~∞)|C1-C2|dx=2∫(1~∞)|x^(-n)|dx。n>1ならS1=|2[-x^(-n+1)/(-n+1)](1~∞)|=2/(n-1)。n=1ならS1=2∫(1~∞)|x^(-1)|dx=|[log|x|](1~∞)|=lim(x→∞)log|x|=∞。
> |x|<1の部分の面積は、S2=2∫(0~1)|C1-C3|dx|=2∫(0~1)|x^n|dx=|2[x^(n+1)/(n+1)](0~1)|=2/(n+1)。
> 以上から、トータルの面積Sは、n>1でS=S1+S2=2/(n-1)+2/(n+1)=4n/(n^2-1)。n=1でS1=lim(x→∞)log|x|=∞。n→∞でS→0。


おはようございます。たしかにこの問題は積分するだけなので、変わった解き方はなさそうですよね。随分前に出した問題でしたが、しっかり考えてもらって丁寧な解答をありがとうございます♪

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coldiaさん

正解です♪n=1も見落としもないのですばらしい!この問題はたしかn=1のことを忘れたまま、解答を掲載して後から指摘を受けました(笑)

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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