問95の答え

ヒント:グーチョキパーのいずれかを誰も出さない確率を求めます。

問95に戻る。

解答と解説は下にあります↓↓↓







※ こちらは問題の解答のみです。注意してください。問題は別の場所に掲載してあります。


解95-1

解95-2
解95-3
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たけちゃんさん

> 本問は二項定理利用の解答が主流のようですが,
> 使わない方が楽であるような気がするので,一応コメントをさせていただきます.
> (「いまさら」感も強く,コメントするかどうか迷いました.)
>
> [二項定理なし,余事象]
> 勝負がつく手の出し方は,
> グーの勝ち,チョキの勝ち,パーの勝ちがそれぞれが2^n-2通り.
> (グーの勝ちなら,誰もがグーまたはチョキで,全員グーと全員チョキを除く)
> 全員同じ手が3通りあるから,求める確率は,
> 1-(3(2^n-2)+3)/(3^n)=1-(2^n-1)/(3^{n-1}).
>
> 次の解法はあまり気が進みませんが,ついでなので提示させていただきます.
>
> [二項定理なし,直接]
> 1人目からn人目のように順番を付けて,その順に,出す手を調べていく.
> 1種類目を出すのは1人目.
> 2種類目を出すのがp人目,3種類目を出すのがq人目(1<p<q≦n)となる出し方は,
> (3!)*1^{p-2}*2^{q-p-1}*3^{n-q}=3^{n+1}*(1/2)^p*(2/3)^q(通り).
> 場合の数の総数は,
> Σ[p=2..n-1](Σ[q=p+1..n](3^{n+1}*(1/2)^p*(2/3)^q))
> =Σ[p=2..n-1]((3^{n+1}*(1/2)^p*(2/3)^{p+1})(1-(2/3)^{n-p})/(1-2/3))
> =(3^{n+1})Σ[p=2..n-1](2*(1/3)^p(1-(2/3)^{n-p}))
> =(3^{n+1})Σ[p=2..n-1](2*(1/3)^p-2*(1/2)^p*(2/3)^n)
> =(3^{n+1})((2/9)*(1-(1/3)^{n-2})/(1-1/3)-(1/2)*(2/3)^n*(1-(1/2)^{n-2})/(1-1/2))
> =3^n-9-3*2^n+12=3^n-3*2^n+3.
> 求める確率は,(3^n-3*2^n+3)/(3^n).


2通りの解法をありがとうございます!掲載した解答には省略しましたが、1つ目の解答に似た二項定理を使わないものも送られていました☆

むしろ2つ目の方法は新しいですね♪これまでにない方法です!

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mm2445

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自作問題を作ることが趣味。
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