問123

生活に使える算数の問題
<コメント>知っている人はもちろん知っている基礎的な内容ですが、もし知らなかったらこれから洗い物のときに役立つ知識です。どちらの洗い方の方がどのぐらい効率がいいでしょうか。もちろん答えは同じではありません。

<追加コメント>どちらの方がきれいになるかだけではなく、何倍きれいになるか、すなわちそれぞれの方法では、汚れが何分の1になるか求める必要があります。

問123

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> しょー、スモークマン、coldia、珍走、M.R、AzTak、くわがたお、shah-san、NaOH、G-PON (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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しょーさん

> 手短にですが。。
>
> ですかねぇ?


いいですね!正解です☆1人目の正解者です♪

くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^
>
> ※感覚的に、まちがってるっぽさは80%くらいと感じます。m(__;m


くわがたおさん、おはようございます!不正解ですね。しかもコメントに「答えは同じではない」と書いてありますよ(笑)

スモークマンさん

> これは…毎回不純物が0なもので洗うからですかね…
> 1回では、∞量の水でなければ不純物0には出来ないですから…
> と理解しました ^^


いいですね、正解です♪多分0にするためには、∞量か∞回でないといけないということですかね。数学的には冪状と積でどちらが減少が速いかということですね☆

coldiaさん

> という回答を求められていると思うんですけど
> 1/2の汚れが落ちるというときの2というのは比であるので
> 例えば300mLの水で洗うと残る汚れが1/(2*3)のようにはならない気がするのですが
> 汚れも100mL存在するとかであれば分かる気がしますが(それでも3/4の汚れが落ちるとかが妥当な気がするけど)、
>
>
> 汚れは水で数回すすぐことが必要であることから水に難溶の、例えば油だと思います。
> したがって、水を加えて十分時間が立ったあと、水層と油層に存在する汚れの量は分配平衡で決められると思います。
> [水層の汚れ mol/L]/[油層の汚れ mol/L] = const
> 油層においては溶質と溶媒が一致しているので、油層での汚れのモル濃度は一定値cです。
> (例えば純水ならば1mol=18g=18mL=0.018Lであることから濃度が1/0.018=55.6のように量によらず一定値をとることと同じです)
> はじめの汚れのモル数をdとして時間経過により水層にxだけ移動したとすれば、使った水の量をVとして
> (x/V)/c=const
> が成り立ち、またV=0.1Lのとき50%の汚れが落ちる、すなわちx=d/2なので
> const=d/0.2c
> したがって
> (x/V)/c=d/0.2c
> →x=Vd/0.2
> となり、水層に移動する汚れが体積に比例することが分かりました。
> これは僕的には直感に合う結果だと思います。
> しかし、もとの汚れdは、100mLの水で洗うとd/2だけ落ちるので、200mLの水で洗うとd/2*2=dだけ落ち、100%落ちてしまいます。
> これは明らかに題意と合いませんよね。何か勘違いをしているのでしょうか?
>
> ちなみに水層の他に油層があってそれと別に溶質として汚れが存在するとすれば
> 水の体積をVw、油の体積をVoとして
> (x/Vw)/((d-x)/Vo)=const
> ここでVw=0.1Lのときx=d/2とするとconst=10Voとなるので
> これからx=10Vw/(10Vw+1)*d
> が求まって、Vwの単位をL→mLにすると
> x=Vw/(Vw+100)*d
> となりますがこのときも
> Vw=200mLのときはx=2/3*dとなるので汚れは1/3残り、題意と合いませんね。
> 何か大きな勘違いをしているのでしょうか?
>
> ちょっと数学と関係ない話題ですみませんが、気になったので考察しました。事情をご存知でしたらご教示願えたらと思います。


正解です☆追加の考察もありがとうございます!

まず問題作成段階では、容器にこべり付いた固体のようなものを予想していました。また「こうなると近似する、または仮定する」としただけなので具体的になぜこの式になるかという説明は不可能だと思っています。なので仮定によっては、coldiaさんの考察に近くなると思います。実際に行うとそうとも限らず、こべり付いた汚れの場合には汚れの層のようなものを考えることになります。また油の場合でも、洗剤を使わないと分散しません。とくに洗い方が大きな要因となりそうですが、それ以外は省略しますが条件を書きだすといくらでも出てきます。そのような無限に存在する様々な要因をまとめて、ある洗い方では「水の量に反比例する」とざっくり今回は問題として仮定しただけです。よって洗い方によっては式の形は大きく変動するはずです。問題にしやすいシンプルの式の条件で出題しましたが、通常のランダムなどんな洗い方でも、答えが逆転するような条件はほとんどないないと思います。

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coldiaさん

> なるほど、ご説明ありがとうございます。
> もちろん種々の仮定が含まれているのは理解しておりまして、
> 100mLで1回洗うと50%→「200mLで1回洗うと25%」かつ「100mLで2回洗うと25%」
> という記述だけを読んだときに
> 量:汚れ、回数:汚れ はともに 2倍:1/2倍になっているので
> これが、単純に反比例なのか、冪乗なのかを特定するだけの読解力がありませんでした(笑)
> 2*2=2^2であることが明確にできなかった原因ですね。
>
> その上で、複利法や花粉を除去するフィルターの問題のような、等比数列で出てくる文章題を想起した際に「回数ごとに割合で減る」という考え方はありふれているので、今回もそれを適用しました。そして、
> 「答は同じにならない」ことから水の量については反比例にせざるを得ないみたいな思考方法でしか計算方法を特定することが出来なかったのでモヤモヤしたのです。
>
> そこで水の量と汚れというのは反比例ではないにしろ一意に決めることが出来るのか、分数関数的であるのかということを調べましたが僕の考察は水層と油層が分離しているときの考察であって
> 洗剤やエタノールのような水にも油にも溶け得る物質は層が分かれないのでおそらく分配平衡で扱うのは不適切だと思いますし、おっしゃる通り汚れの落ち方が大きく変動するのは確かに理解できます。


いろいろとしっかり考えていただきありがとうございます♪今回の問題では簡単な言葉だけを使い、また細かい仮定なども省いて、できる限り多くの方に親しみやすい内容にしたいと思いました。ただそうした場合、とくに数学や科学に詳しい方には、いろいろ不親切な記述になってしまい、申し訳ありませんでした。とくに「反比例になると仮定する」というような記述は、最低限必要でしたね!

珍走さん

> これは少ない溶媒で何回も洗いなさいと言われた昔を思い出します。
>
> だから、すすぎ一回は信用できないのです。


いいですね☆正解です♪

高校の理科の実験ではよく言われましたよね!洗濯にも応用されていますね!

M.Rさん

> 久々に簡単な問題ですね(*´∀`)
>
> coldiaさんが考察していたのに惹かれて僕も考えてみました↓
> ブラシなどを使うのでなければ、汚れ(不溶性)は壁から浮かなければ取れないので、振って水がぶつかった時の衝撃で汚れが取れる(壁から剥がれる)と考えて良いのではないでしょうか。
> だとするならば、1Lの容器に1L水を入れると、隙間が無くなってしまい、ほとんど汚れは落とせないのではないかと思います。
> …なんとなくのイメージでしかないですね(笑)


正解です♪最近は難しい問題や、パズル系の問題が多かったので、今回は休憩ですね!できれば簡単だけどちょっとおもしろい問題を増やしていきたいです☆

たしかに容器へ完全に水を入れたら、少ないときよりもあまりきれいにならないというイメージは合っていると思います!例えば他にも、降り混ぜる回数も多い方が良さそうですが無駄に多いと時間も取られてしまう、決められた水の量もできるだけ分けた方が良さそうですが出し入れに時間がとられてしまう、など様々な条件をある程度考慮して、最も効率の良い洗い方を極めたらおもしろそうですね!もちろん汚れの種類などが変われば、全てに最適な方法というのもないとは思いますが。

AzTakさん

> 全く自信なしです。


いえ、計算も完璧でしたよ!正解です♪

おそらく問題の条件の説明がちょっと曖昧だったので、不安にさせてしまいましたね。

No title

100mlで10回洗った場合の方が5倍きれいになる。

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Re: No title

5倍じゃないですよ。答えが分かったら、ぜひ再解答してくださいね!

くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^
>
> ※1/(2×2)の中の、2番目の2は、汚れの落ち方でなく、
> 洗う回数だから(?)、それを汚れの落ち方にするなら、1/(2+2)になる。でもそうすると問題がやさしくなってしまうのだと思いました。m(__;m


くわがたおさん、こんばんは!正解ですね☆計算結果も合っていますね!

できるだけ親しみやすい式にしようと思ったのですが、問題の表記が曖昧になってしまいましたね。

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 水はこまめに変えろ、と聞いた記憶があるようなないような・・・
>
> 汚れの残りが(1/水の量)^(回数)であるのであれば、100ml×10回の洗浄は、200ml×5回[1/(2×2)]^5=(1/2)^10で済む。使う水の量が同じで水交換が半分で済むなら、200ml×5回の方を選ぶかな。
> 同様に100ml×10回と同じきれいさを、p×100mlでq回洗って得る場合、[1/(2×p)]^q=(1/2)^10を解くと、p=2^(10/q-1)から、
> q  3   4    5  6   7   8   9   10
> p  5.0 2.8  2  1.6 1.4 1.2 1.1 1
> pq 15  11.3 10 9.5 9.4 9.5 9,7 10
> つまり、節水の視点から見ると、pqに最小があり、135ml×7回=942mlが最善、となる。
> せっかちさんなら、ペットボトルに半分500ml入れて3回洗う、が楽か、な?


こんにちは、正解です☆たしかにただ回数を増やしすぎてもよくなさそうで、しかも時間もかかりますよね。時間の観点から、節水の観点からなど、条件や目的によっていずれもベストな量と回数がありそうです♪

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NaOHさん

いいですね!この問題も正解です♪

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G-PONさん

> 定式化するのは難しそうな状況設定ですね。
> とにかくここは計算問題として解いてみます。よろしくお願いします。
>
> 補足:
> 最もきれいになる洗い方ですが、単純な求め方としては、微分して勾配0となるxを求めればよさそうですね。
> この場合はx=50・e~136[ml]となるようです。
>
> ただ正確には、「洗う回数が整数回になる」「50・eに近い水量のどれか」でしょうか。ここではx=125=1000/8が最適と考えられます。


正解ですね♪今回の条件における最適な方法の補足も丁寧にありがとうございました!

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たけちゃんさん

> この反比例は,正直ちょっと嫌な感じですね.
> これだと,50mLより少ない水で洗うと,汚れが増えることになります.
> また,やはり,「0mLの水で洗う」=「洗わない」になってほしいところです.
> 「ずらした値に反比例」なら,一種の妥当なモデルとなりそうです.
> 100mLなら1/2,200mLなら1/3,300mLなら1/4のように.
> (水が100mLだけ残ってしまう容器で,
> 「追加の水で希釈して100mLを残して捨てる」に対応します.)


これは科学的な事象の近似なので、そもそも0から∞まで一致させる必要はないですよ!例えば高校の物理や化学で習う状態方程式(PV=nRT)もT→0やP→∞では大きくずれます。そのためより細かく見る場合その補正も組み込んだ式を用いる必要がありますが、その補正された式を高校で使ってもおもしろくないですよね☆

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Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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