問91の答え

ヒント:順番に漸化式を立てていきます。

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解答と解説は下にあります↓↓↓







※ こちらは問題の解答のみです。注意してください。問題は別の場所に掲載してあります。

解91-1

解91-2
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たけちゃんさん

> 解答の2行目,「# #a_3」とありますが,先頭の「#」は不要ですね.
>
> 括弧をつけない表記「A^B^C」は何を表すか,決定的な決まりはなさそうですが,
> (A^B)^Cは,よりシンプルな表記A^(BC)とも表されるだけに,どちらかと言うと,
> 「^」については右から計算すると解釈されることが多いように思います.
> が,今は都合により,括弧がないときは,(「-」での計算規則と同じように)
> 左から順に計算すると解釈することにし,その解釈で,括弧がないと意味が
> 変わるときだけ括弧を付け,他は括弧を省略して書くことにすると,
> a[5]は例えば3^3^(3^(3^3))=3^(3*(3^(3^3)))とか3^(3^3)^(3^3)=3^((3^3)*(3^3))
> などのようになり,
> a[n]は,3^(a[p]a[q]…) (ただし,p+q+…=n-1)の形で表されることになります.
> a[n]のとり得る値がf(n)種類あるとすると,f(n)は,積a[p]a[q]…
> (p,q…は自然数で,その和がn-1.p=n-1の1つだけも可)の値の種類の数です.
>
> 「括弧の位置が異なれば,全て違う数字になると仮定してよい」ということなので,
> f(n)は,f(p)f(q)… (p,q,…は自然数でその和がn-1)の形式の数の和となり,
> f(1)=1,f(2)=1,
> f(3)=f(1)*f(1)+f(2)=2,
> f(4)=f(1)*f(1)*f(1)+f(1)*f(2)+f(2)*f(1)+f(3)=5
> のようになります.ここで,f(4)の計算は,
> f(4)=f(1)*(f(1)*f(1)+f(2))+f(2)*f(1)+f(3)=f(1)*f(3)+f(2)*f(2)+f(3)
> と見れば,f(4)=f(1)*f(3)+f(2)*f(2)+f(3)=5とも計算されます.
> 以下,この方法を用いて,
> f(5)=f(1)*f(4)+f(2)*f(3)+f(3)*f(2)+f(4)=14,
> f(6)=f(1)*f(5)+f(2)*f(4)+f(3)*f(3)+f(4)*f(2)+f(5)=42,
> (以下,途中式を省きますが)
> f(7)=132,f(8)=429,f(9)=1430,f(10)=4862
> となります.
>
> これはこれでよいと思いますが,以上のように考えると,
> 仮定「括弧の位置が異なれば,全て違う数字になる」が実は不成立であることが
> はっきりしてしまいます.
> 例えば,3^(3*(3^3))と表現したものは(3^3)^(3^3)であり,
> 3^((3^3)*3)と表現したものは(3^(3^3))^3であって,明らかにこれらは等しいですね.
>
> ということで,a[10]のとり得る値は本当は何種類あるかを考察してみました.
> 以下では,f(n)は,a[n]のとり得る値が実際に何種類あるかを表すものとします.
>
> p+q+…=n-1,p≦q≦…となる自然数の組(ただし,1数からなる「n-1」も含む)を考え,
> 積f(p)f(q)…の総和をとれば,f(n)はこの総和以下となります.
> (n≧7のとき,f(n)はこの総和より小さくなります.これは後述します.)
>
> 以下,f(p)を[p],積f(p)f(q)…を[p,q,…]のように表すとして,次のようになります.
> [1]=1,
> [2]=[1]=1,
> [3]=[1,1]+[2]=2,
> [4]=[1,1,1]+[1,2]+[3]=4.
>
> [n+1]の式は,[n]の式の各項[…]の冒頭に「1,」を付け加えた部分や
> [n]を含むことがわかります.その和は2[n]であり,それ以外を調べる方が効率的です.
>
> [5]=2[4]+[2,2]=9,
> [6]=2[5]+[2,3]=20.
>
> f(7)からは,注意が必要な点がいくつかあり,けっこう厄介です.
> まず,「[7]=2[6]+[2,2,2]+[2,4]+[3,3]」は成立しません.
> ・3^(a[3]*a[3])となる場合について,a[3]は2種類の値3^9,3^27をとるので,
> [3,3]では,3^((3^9)*(3^27))と3^((3^27)*(3^9))を別々に数えたことになります.
> [3,3]ではなく,[3,3]-2C2とする必要があります.
> これ以降,a[k]*a[k]のタイプの式が登場する場合,a[k]が複数(m個)の値をとるなら,
> mC2通りの重複が生じるので,注釈なしでそれを引くことにします.
> ・3^27=3^(3^3)=((3^3)^3)^3はa[3]としてもa[4]としても表現できます.
> 3^(3*3*3*a[3]) (a[3]=3^27)と3^((3^3)*a[4]) (a[4]=3^27)は同じ値であり,
> その重複分を除く必要があります.
>
> 結局,
> [7]=2[6]+[2,2,2]+[2,4]+([3,3]-2C2)-1=47.
>
> これ以降,「3^x」は単にx'のように表します.
> [7]で除いた重複分は,べきの部分だけを書けば3*3*3*3''=3'*(3*3*3)'です.
>
> f(8)について,
> [8]=2[7]+[2,2,3]+[2,5]+[3,4]-2=111.
> 「-2」は,3*3*3*(3*3')'=3'*(3*3*3*3)'と 3*3*3*3'''=3'*(3*3*3)''の分です.
> [3*3*3*3*3''=3*3'*(3*3*3)'のような,両辺に因子3があるものは,
> 「2[7]」のところですでに除いてカウントしています.]
>
> ここまでは何とか考えきれたつもりでいます.
>
> 以下はさすがに手計算では厳しいと思われたので,
> 重複分の調査はプログラムを用いました.
> (f(8)までについても,プログラムでチェックしました.)
>
> [9]=2[8]+[2,2,2,2]+[2,2,4]+([2,3,3]-2C2)+[2,6]+[3,5]+([4,4]-4C2)-8=270.
> 「-8」で除いたのは,以下の分です.
> ・3*3*3*3'*3''=3'*3'*(3*3*3)'
> ・3*3*3*(3*3*3')'=3'*(3*3*3*3*3)'
> ・3*3*3*(3'*3')'=3'*(3*3*3*3')'
> ・3*3*3*(3*3'')'=3'*(3*(3*3*3)')'
> ・3*3*3*(3*3')''=3'*(3*3*3*3)''
> ・3*3*3*3''''=3'*(3*3*3)'''
> ・3''*(3*3*3*3)'=(3*3*3)'*(3*3')'
> ・3''*(3*3*3)''=(3*3*3)'*3'''
>
> [10]=2[9]+[2,2,2,3]+[2,2,5]+[2,3,4]+[2,7]+([3,3,3]-2*2)+[3,6]+[4,5]-22=664.
> 「-22」で除いたのは,以下の分です.
> ・3*3*3*3'*(3*3')'=3'*3'*(3*3*3*3)'
> ・3*3*3*3'*3'''=3'*3'*(3*3*3)''
> ・3*3*3*(3*3)'*3''=3'*(3*3)'*(3*3*3)'
> ・3*3*3*3''*3''=3'*3''*(3*3*3)'
> ・3*3*3*(3*3*3*3')'=3'*(3*3*3*3*3*3)'
> ・3*3*3*(3*3'*3')'=3'*(3*3*3*3*3')'
> ・3*3*3*(3'*(3*3)')'=3'*(3*3*3*(3*3)')'
> ・3*3*3*(3'*3'')'=3'*(3*3*3*3'')'
> ・3*3*3*(3*3*3'')'=3'*(3*3*(3*3*3)')'
> ・3*3*3*(3*(3*3')')'=3'*(3*(3*3*3*3)')'
> ・3*3*3*(3*3''')'=3'*(3*(3*3*3)'')'
> ・3*3*3*(3*3*3')''=3'*(3*3*3*3*3)''
> ・3*3*3*(3'*3')''=3'*(3*3*3*3')''
> ・3*3*3*(3*3'')''=3'*(3*(3*3*3)')''
> ・3*3*3*(3*3')'''=3'*(3*3*3*3)'''
> ・3*3*3*3'''''=3'*(3*3*3)''''
> ・3''*(3*3*3*3*3)'=(3*3*3)'*(3*3*3')'
> ・3''*(3*(3*3*3)')'=(3*3*3)'*(3*3'')'
> ・3''*(3*3*3*3')'=(3*3*3)'*(3'*3')'
> ・3''*(3*3*3*3)''=(3*3*3)'*(3*3')''
> ・3''*(3*3*3)'''=(3*3*3)'*3''''
> ・(3*3')'*(3*3*3)''=3'''*(3*3*3*3)'
>
> 結局,a[10]として可能な値は,実際には664通りだけであることになると思います.


問題文を「何通りの意味合いがあるか」とかにしておけばよかったですね。なんと何通りの数字があるかまで考えてもらえるとは☆これまたものすごいですね♪しかも重なっている数字が意外と存在するんですね!

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自作問題を作ることが趣味。
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