問14

計算問題
<コメント>その年の年号に合わせて、入試などで出題されそうな問題です。電卓に数字を入れてみましたが、エラーが出ました。
問14

<コメントの追加>少し問題を変更しました。一度解いてくださった方々、変えてしまって申し訳ありません。でももう一度楽しめます!

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> くわがたお、たみひかのろ、いわちょ、dyne、shah-san、スモークマン、coldia、しょー、M.R (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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ダイちゃん♂ さん

> X=9,Y=9 ですかな。
> > 20XY の最大値
> ってところがミソですねえ。複数回答あると思って考えちゃいました。
>
> > 一の位が最大となる~
> から攻めてたけど、20XYの最大から攻めても早いんですね(笑)

正解です、というかすみません。ちょっとあれから問題変更しました(笑)
うっかり9の存在を忘れていて、最大値が2099だと何かぱっとしないので(笑)

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くわがたおさん

解答ありがとうございます!かなりおしいですね☆
ヒント:3×3…ではなくて3の3乗…ですよ。
何度でも解答できるので、わかったらぜひ再チャレンジしてください!

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くわがたおさん

再度解答ありがとうございます☆答えがちょっと遠くなってしまいました(笑)さっきのヒントの説明が不十分でした、すみません。おわびとして、くわがたおさんだけに大ヒントです!

例えばY=2のとき
2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32なので、一の位は2→4→8→6→2と4回で一周します。つまり2^2000の一の位が6になるので、2^2002の一の位は4ですね。よって2002^2002の一の位も同じ4です。次に2012^2012の一の位を考えます。周期を考えると一の位は6ですね。2022^2022は2、2032^2032…は6となって、Y=2の場合は2と6だけですね。

同様にYが別の数字のときの周期を考えていきます♪
例えば5は5→5→5となるので簡単です。9は9→1→9と2回で一周します

実は結構難しい問題だったんですよ☆

No title

むじゅかひー!!^^;後日また考えてみますー。^^;

くわがたおさん

> むじゅかひー!!^^;後日また考えてみますー。^^;

またいつでもどうぞ〜☆

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くわがたおさん

解き方も含めて、正解です!ヒントがありましたが、最初の正解者ですね☆

> ※周期って、あるんですね。答えが直感と違う感じなのが不思議っす。(合っていたらですけど^^;)

楽しんでいただけたら、うれしいです。もしかしたらどこかに似た問題があるかもしれませんが、完全にオリジナルで作っています♪ほかの問題も解答以外に、ヒントや質問など、何でも受け付けていますよ!

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たみひかのろさん

正解です!丁寧な途中の計算や説明もありがとうございました☆正確には0のとき1の位が0もありますが、とくに問題ありません!分かりやすい解答だったので、解説を掲載するときにたみひかのろさんの解き方を使わせてもらうと思います♪

さきほど掲載した解答者のランキングには、この正解を加えていませんので、現時点ではたみひかのろさんが単独トップですね!

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いわちょさん

さすがですね!この問題も正解です♪

この周期を知っていれば、年号に因んだ良く似た問題が出ても解けるかもしれないですね☆

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dyneさん

> こんばんは。
> かなり大きなヒントが出てましたので、参考にさせていただきました。
> しかし、今回はどこかでミスしてそうです・・・

ミスもなく、正解ですよ☆さすがですね!

> 4の剰余系が多いのはどうしてなんでしょう?
> 何か理由があるのでしょうか?
> 不思議ですね・・・

たしかに不思議ですが、全て4回で一の位が戻ることは証明できますよ♪0,5はそのままなので除きます。4回で一の位が戻るということは、n^4の一の位がnが奇数のとき1、nが偶数のとき1か6になればよい。nが5の倍数以外の奇数のとき、n^4を10で割って1余ることを証明する。nが偶数のとき、n^4を5で割って1余ることを証明する。

もし質問の意味と違っていたらすみません。

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 答えは、2と8
>
> 斬新な解法を期待されてしまいましたが、そうそう思いつくものじゃないですよね(言い訳)。この問題も、Y=1~9まで律儀に冪乗を計算すれば求められるし、数も多くないので、それが一番早いと思うんですが。一応、Y^5≡Y mod 10を証明してみました。けど、スマートじゃないんですよねぇ。
>
> 2000+10X+Y≡Y mod 10なので、(2000+10X+Y)^(2000+10X+Y)≡Y^(2000+10X+Y) mod 10。後で証明するがY^5≡Y mod 10なので、Y^(1+4m)=Y^5×Y^[4(m-1)]≡Y×Y^[4(m-1)]=Y^[1+4(m-1)] ≡・・・≡Y mod 10(mは非負整数)。よってY^(2000+10X+Y)=Y^3×Y^(1+1996)×[(Y^5)^2]^X×Y^Y= Y^4×Y^(2X)×Y^Y= Y^(4+2X+Y) mod 10。
> Q=4+2X+Yとすると、Qの偶奇はYの偶奇に一致する。2Xは2ずつ変化する偶数なので、Yが奇数2k+1(kは非負整数)なら、Y^Q≡Y^5×Y(2X+2k)≡Y^(2X+2k+1)≡Y mod 10または≡Y^3 mod 10。Yが偶数2kならY^Q≡Y^5×Y^(2X+2k-1)≡Y^(2X+2k)≡Y^2 mod 10または≡Y^4 mod 10。
> 以上から、P=(2000+10X+Y)^(2000+10X+Y)≡Y^Q mod 10が0~9になるYの冪乗を探すと、Pが奇数の場合はY^Q≡Y^1で、Pが偶数の場合は2と8を除いてY^Q≡Y^2で実現できる。一方、P=2,8は実現不可。
> よって、解は2,8。
>
> Y^5≡Y mod 10の証明:
> フェルマーの小定理から、任意の自然数aと素数pでa^p≡a mod p。p=5として、a^5≡a mod 5。
> aを5で割った商をQ、余りをR=a mod 5、10で割った商をq、余りをr=a mod 10とする。つまり、a=5Q+R=10q+r。R=0~4、r=0~9であり、Qが偶数Q=2kならR=r、Qが奇数Q=2k+1ならr=R+5である。
> a^5=(5Q+R)^5≡R^5≡R mod 5(最後はフェルマーの小定理)。つまりR^5=5P+R(Pは非負整数)。5P=R^5-Rは偶数(5P=偶数^5-偶数か5P=奇数^5-奇数)になるので、5P≡0 mod 10。
> a^5=(5Q+R)^5=5^5×Q^5+5(5^4×Q^4×R)+10(5^3×Q^3×R^2)+10(5^2×Q^2×R^3)+5(5Q×R^4)+R^5≡5^5×Q^5+5(5^4×Q^4×R)+5(5Q×R^4)+R^5≡5Q^5+5Q^4×R+5Q×R^4+R^5=5P+R+5Q(Q^4+Q^3×R+R^4) mod 10。
> Q(Q^4+Q^3×R+R^4)の偶奇はQの偶奇と一致する。なので、Qが偶数なら5Q(Q^4+Q^3 R+R^4)≡0 mod 10(左辺が5×偶数)。つまりa^5=(5Q+R)^5≡R=r=a mod 10。Qが奇数なら5Q(Q^4+Q^3 R+R^4)≡5 mod 10なので、a^5=(5Q+R)^5≡R+5=r=a mod 10。以上からa^5= (5Q+R)^5=(10q+r)^5≡a mod 10である。a=Yと置けばY^5≡Y mod 10が得られる。
> もう少しでいいからスッキリさせたいんですが。一捻り二捻りどころか、別の視点が要るんでしょうねぇ。


こんにちは!Y^5≡Y mod 10の証明も含めた丁寧な解答をありがとうございました☆たしかに一の位の4回周期を数学的に証明すると、しっかりした解答になりますね♪

ちなみにフェルマーの小定理は、たしか高校では習わず、難関大学の入試に証明が出るぐらいのはずです。なので入試にはいきなり定理を使うような問題は出ないと思います。もちろん既知ですが、高校生的にフェルマーの小定理の証明も入れると、解答がさらにものすごい長さになりますね!

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> ちなみに、
>
> フェルマーの小定理:任意の自然数aと素数pについて、a^p≡a mod p
> 「任意の」ってところで、帰納法でと思い至れば、結構簡単ですよ。
> a=1なら自明。1^p=1≡1 mod p。
> a=nでn^p≡n mod pが成立しているとする。(n+1)^p=∑(i=0~p)(p)C(i)n^i=∑(i=0~p)n^i×p!/(p-i)!/i!=n^p+1+∑(i=1~p-1)n^i×p!/(p-i)!/i!。ここでpは素数なので、p!/(p-i)!/i!=p×(p-1)!/(p-i)!/i!≡0 mod p @ i=1~p-1(pはi=2~p-1で割り切れない)。よって、(n+1)^p≡(n^p)+1≡n+1 mod p。
> 以上から帰納法により、全ての自然数nについて、n^p≡n mod p。nとpが互いに素なら、両辺をnで割ってn^(p-1)≡1 mod pの見慣れた形になる。


こんばんは!あとは二項定理を使えば、フェルマーの小定理を使わなくてもすぐ解ける問題が多いですよ☆二項定理よりa^p≡ax(1^p) (mod p)なので。問50なども、二項定理を使って解く問題の予定でした。

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スモークマンさん

例えば2^12は2^2とは別の数字を取りますよ!答えは合っているので、オマケの正解にしますね☆

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coldiaさん

> いかがでしょうか。


完璧ですね!正解です☆丁寧な解答をありがとうございます♪

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スモークマンさん

> そっか!!
>
> だから…2,8が出て来ないと言わねばならなかったんですね ^^; Orz〜


いいですね、これで完璧です♪答えは同じでしたが、この確認がないと見落としている可能性がありますからね☆

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しょーさん

> 見掛け倒し?と思えなくもない感じでしたねぇ・・・合ってればの話ですが、1の位だけが問題なので10の倍数部分はカットできますし。。


いいですね、この問題も正解です!周期を見つければ、あっさりですね☆

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M.Rさん

正解です☆十の位の見落としもなく、完璧ですね!

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

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