問110

ベクトルと軌跡
<コメント>ベクトルの問題が少ないので、しっかりベクトルが出てくる問題を作りました。

<追加コメント>tは定数で、Aは平面上のある点です。また点Pの軌跡が正円になった場合、楕円ではないので今回は答えには含めません(この補足がなかったので、正円を楕円に含めてしまっても問題ありません)。

問110

<問題の意味の補足>問題が分かりにくいと思いますので、具体例も交えて補足します。
問題の意味としては、もしtが決まれば点Aの場所が決まり、点Aに対する点Pの位置関係がpの式として出ます。このpの式が楕円以外の図形を示してしまうtは除外され(以下の具体例1参照)、そもそもpの式が成り立たない場合のtも除外されます(以下の具体例2参照)。点Aに対する点Pの位置関係が楕円を示すtの範囲を求めるという問題です。

[以下具体例]
例1) 例えばt=√2(Aは原点と一致、ベクトルa=0)のとき、pの式は計算すると|p|^2=√2/2となります。よって点Pは正円の軌跡を描くので、楕円の軌跡ではないことになります(ただし正円は楕円に含まれるとして、答えに加えても問題ありません)。よってt=√2は、答えの範囲から除外されることが分かります。
例2) 例えばt=-√2(Aは原点と一致、ベクトルa=0)のとき、pの式は計算すると|p|^2=-√2/2となり、式が成り立ちません。よってt=-√2は、答えの範囲から除外されることが分かります。


答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> つー、coldia、shah-san (敬称略)

問題の一覧↓
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NaOHさん

> なんて話で合っていますか。。?
> 途中計算めっちゃ煩雑になってしまったので、かなり省いています。
> 非常にトンチンカンな解答を書いているような。。


何か違いますね。問題が分かりにくくてすみません。ちょっと具体例を挙げてみます☆

1) 例えばt=-√2(Aは原点と一致、ベクトルa=0)のとき、pの式は計算すると|p|^2=-√2となります。よってNaOHさんの答えの範囲に含まれていたt=-√2は、答えではないことが分かります。
2) 例えばt=√2(Aは原点と一致、ベクトルa=0)のとき、pの式は|p|^2=√2となります。よってpは正円の軌跡を描くので、楕円の軌跡ではないことになります(ただし正円は楕円に含まれるとして、答えに加えても問題ありません)。よってtは√2ではないことが分かります。

まだよく分からないかもしれないので、また聞いてくださいね♪

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つーさん

> こんにちは。
> 横から失礼します。
>
> 与えられた式だと、
> t=√2の時は
> pの式は|p|^2=√2ではなく、
> |p|^2=√2/2になりませんか?
>
> 右辺が、
> (t^3+2)/t^2
> ではなく、
> 2(t^3+2)/t^2
> ということでしょうか?


こんにちは。すみません、計算ミスでした!たしかにt=√2のとき、pの式は|p|^2=√2/2です。この場合でも点Pの軌跡は正円になります。

ちなみに問題の方は合っています☆

いやー、取っ掛かりから掴めなくなってしまいました。。

ベクトル好き発言を撤回したいと思います。。笑

もうちょっと考えてみます!

NaOHさん

問題が分かりにくいというのもあるかもしれません。とりあえず問題の趣旨としては、もしtが決まれば点Aの場所が決まり、点Aに対する点Pの位置関係がpの式として出ます。このpの式が楕円以外の図形を示してしまうtは除外され、そもそもpの式が成り立たない場合のtも除外されます(いずれも前コメントの例のように)。点Aに対する点Pの位置関係が楕円を示すtの範囲を探すという問題です☆(自分でも何言っているのか分からなくなってきますが(笑))

未だにほとんど解答者が出ていないので、何か間違ってないか不安です。ぜひ答えを見つけてくださいね!不明な点などがあれば、遠慮なく聞いてください♪

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つーさん

> 楕円の条件を一つ忘れてました(笑)
> これでいかがでしょうか?


すばらしい、正解です☆最初の正解者ですね!

なかなか正解者が出ないので不安でしたが、これで安心しました(笑)解き方も完璧ですね♪

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coldiaさん

なんか違いますね。手計算だけで解けて、最終的にもっときれいな数字の範囲になりますよ♪ちなみにここにある全ての問題は、補足がない限り電卓すらなくても解ける、実際に受験に出てもいいような問題になっています☆もちろん機械を使ったり、どんな方法で解いてもらってもOKです!

ベクトルと楕円の性質を考えると、解けるかもしれませんよ!

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coldiaさん

> 再びです。ですがやはり解析的に解けません。どこかにミスがあるんでしょうか?
>
> おそらくベクトル的に解いた際の行き着く式はこれだと思うのですがどうですか?


解答の中盤のp,a,tの式までは合っていますよ!ここでちょっとしたことに気がつけばすぐ解けます☆

楕円の性質は2点からの距離の和が「定数」ということだけではありません。例えば定数といっても、極端に小さければ式が成り立ちませんよね☆また|a|がtの式で表せるのですが、これはひっかけでもあります。つまりここでtの6次式へは向かいません。このあたりがポイントになりますね♪あともう少しなので、ぜひ解いてくださいね!

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coldiaさん

> 決定的なヒントをありがとうございます。
>
> ですね!
>
> 久しぶりにこんなに考えました。めっちゃ良問ですね。


完璧です!正解ですね♪

結構な難問みたいで、中々正解者が出ていないですね!しっかり悩んでもらえてうれしいです☆

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shah-sanさん

> こんばんは


こんばんは!正解です♪

文字として置いてから計算による力押しの解答ですか!おもしろい別解をありがとうございます☆

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アメリカ在住。日本人。
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