問109

円の周りを転がる円の周りを転がる円
<コメント>結構いい問題ができた気がします。難関大学の問題に出てきそうですね。

問109-1
問109-2

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> つー、NaOH、しょー、coldia (敬称略)

問題の一覧↓
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つーさん

> 数カ月ぶりに回答します。
> 合っていればいいのですが。
>
> いかがでしょうか?


お久しぶりです♪

当初予定していた解答よりもシンプルに解けていますね!すばらしい、正解です☆1人目の正解者です!

NaOHさん

> 合ってる気がしないのですが、図が描けないからどこが違うのかも見付けてもらえないかも知れないですが。。


正解でした!ただ答えはkではなくnにすることと、2k-1の方はもう少し計算すると、もっとあっさりした式にできますよ☆

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NaOHさん

> として偶奇を統合
>
> え。。もっとシンプルですか。。?


なるほど、偶奇まとめた式ですか!そこまでは考えていませんでしたが、すばらしい!一歩手前の偶奇別々で、2k-1をnに変えたものを想定していました。

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しょーさん

> 無限のカージオイドですか・・・なんかこう、結果論っちゃあ結果論ですけど、案外動きもシンプル??
> これが速度変えたり半径変えたりしたらもっと面白いことに・・・


正解です♪きれいなグラフまで描いていただけるとは!解答を出すときにしょーさんの答えを使わせてもらうかもしれません☆

案外動きがシンプルになるところがおもしろいですよね♪速度や半径を変えるとさらにおもしろくなりそうですが、答えがかなり複雑になりそうです。

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> nが奇数の時が、どうも簡単にならんのですよ。
> 何か間違ってる、かな。


こんばんは。P1の座標までは合っていますね!ただP2以降が違っています。具体的には偶数項目の円の動きが階段状ではないためです。解き方はきれいなので、ぜひ再解答してくださいね☆

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> 根号の中は簡単になるのかもしれませんが、力尽きてます。
> ぐ~たらのぷ~のはずなのに、まとまって考える時間が取れなくて。問題に追いつくまで、しばらくかかりそうです。
>
> 前回間違えましたので、考え直しました。結果だけ書くと、


こんばんは。お忙しい中、再解答をありがとうございます♪

奇数の方は後半にnが書き忘れているだけでほぼ正解ですが、偶数の方はPnの座標も含めて結構違いますね。ちなみに偶数の方はかなりあっさりした式になりますよ☆

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coldiaさん

> 円Cnの中心をAnなどとおいて、基本的にベクトルでとらえていくことにします。
> thetaを打つのが面倒なのでtと書きます。
>
> いかがでしょうか?


解き方はベクトルを使ってわかりやすくていいですね!ただ偶数個目の動きが何か違いますね。円が回る速度は全て同じですよ☆

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shah-sanさん

> こんにちは(日本時間)
>
> どうも問題の読み間違いをしているかもしれないので、ちょっと丁寧に書いてみます。長くなりますが、すいません。
>
> これで、2回目のコメの解答になったわけですが。
> おそらくQ2(-θt)が間違ってるんですよね。何がいかんかなぁ。


こんにちは(アメリカ時間)。丁寧な解答をありがとうございます!おかげで間違いの箇所が分かりました☆Q2の位置ベクトルが違っていて、理由はQ2の位置にC1の回転の動きが考慮されていないからです!

仮にC2が回転せずに、P2がP1とはちょうど反対側のC1の円周上に固定されていることを考えます(つまり∞という形のまま回転)。shah-sanさんの解答ではこの場合、Q1から見たQ2へのベクトルは変化しないことになります。しかしP1が回転しているので、P2自体が回転しなくてもQ1から見たQ2へのベクトルは変化します。違う言い方をすれば、Q1から見たP1へのベクトルはC1の回転によって変化するため、Q1から見たQ2へのベクトル(Q1から見てP1方向とはちょうど反対方向で、大きさ2倍のベクトル)も変わります。C2が回転しない場合の動きを考えて、さらにそこからC2が逆回転することを考える必要があります。

もし説明がよく分からなければ、遠慮なくまた聞いてくださいね☆

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coldiaさん

> C1~Cnを固定したままC0の周りに回転した際のP2の場所が考慮されていないことが誤りの原因でした。
> C0周りに回転してP2が反時計方向に動く→C1周りに回転してP2が時計周りに動く というステップの1段階目が正しく捉えられていませんでした。
>
> いかがでしょうか!


再解答ありがとうございました!今度は正解です☆

前回の解答でどの部分にミスがあるのか分からなかったので、ヒントなどを伝えることができませんでしたが、自力で正しい答えを見つけてしまうとはすごいですね!

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shah-sanさん

> こんにちは(日本時間)
>
> 説明、ありがとうございます。
> ちょっとこちらの都合で考えるのが遅れてます。
> 出題されてる問題もだいぶ先に進んでしまいましたが、地道に追いついていこうと思います。
>
> 以下、めっちゃ長い文章が続きますが、論点だけ書くと、


こんばんは(アメリカ時間)。しっかりこの問題を考えていただきありがとうございます!

おそらく∞の回転の仕方を勘違いされているのかもしれません。前回同様に、C1が回転して、C2は回転せずにP1の正反対にP2が固定されている∞の回転の場合を考えます。具体的にθ=90°のときを考えてみます。このときC1はC0の上部に来ます。P1はC1が90°転がるので、平地を転がった場合には90°回転することになりますが、平地ではなく円上を転がっているのでさらにC1の回転分の90°回転することになります。つまり180°回転し、θ=90°のときの位置はC1の右側に来ます。P2はP1の正反対に固定されているので、C1の左側に固定されたP2があり、C2はC1の左側に位置することになります。またθ=90°のときのC1、C2の位置関係は、左右対称に見ると、θ=0°のときのC0、C1の位置関係と一致します(同様にθ=90°のP1とP2は、θ=0°のP0とP1に対応します)。よってこの状態からC2をθ=-90°回転すると、C1の上に来て、P2は左側に来ます(C1のときと左右対称)。


> 問題文の「そして同時に動き始める」は円盤Ciも点Piも、i=1~nすべて同時に動き出す、と思ったんですが。間違ってます?


もちろん1~nの全ての円や点が、同時に動き始めますよ。

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shah-sanさん

> おはようございます(日本時間)
>
> 早速のご返答ありがとうございます。
> こちらはまた平日に突入です。
> 解答にはまた時間がかかると思いますので、
> まずはお礼まで。
>
> なかなか、私の理解力が足らずに、すいませんね。


こんばんは(アメリカ時間)。こちらはまだ日曜日を満喫しています☆

たしかに前々回に送った説明では、見直してみても分かりにくかったと思います。すみません。かといって昨日の説明も、どうなのか分かりませんが。お時間のあるときに考えてみてくださいね!こちらの理解が間違っている可能性もありますので、また何でもお聞きください!

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Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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