問11

計算問題
<コメント>様々なカテゴリを組み合わせた問題です。答えはすっきりシンプルになります。
問11

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> ダイちゃん♂、たみひかのろ、いわちょ、shah-san、しょー、スモークマン、coldia、M.R (敬称略)

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ダイちゃん♂ さん

正解です☆最初の正解者です!

いかがでしょう?

積分が終了した時点で
lim(Σ(1/k - 1/(k+1))
つまり
lim(1-1/2+1/2-1/3+1/3-・・・)
よって、極限をとると答えは1

たみひかのろさん

正解です!問題を解くの早いですね♪

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いわちょさん

さくさく解いて、すばらしいですね♪途中の計算も丁寧にありがとうございます☆正解です!

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 答えは、1
>
> これも計算問題で、捻りようもなさそうですが。
>
> 問題の式をP=lim(n→∞)∫(0~1)[∑(k=1~n)x^k/k]dxとおく。limの(n→∞)はnを∞としたときの極限値を、∫の(0~1)は積分区間が(0,1)であることを、∑の(k=1~n)はkを1~nで変化させたときの和であることを示す。
>
> 普通に解くとこんな感じでしょうかね。∫(0~1)x^k/kdx=[1/k/(k+1)×x^(k+1)](0~1)=1/[k(k+1)]=1/k-1/(k+1)なので、P=lim(n→∞)∑(k=1~n)[1/k-1/(k+1)]=lim(n→∞)[1/1-1/2+1/2-1/3+・・・+1/n-1/(n+1)]=lim(n→∞)[1-1/(n+1)]=1。
>
> 関数f(x)のテイラー展開は∑(k=0~∞)d^k f(0)/dx^k×x^k/k!なので、P中の級数はd^k f(0)/dx^k=(k-1)!となる関数f(x)のテイラー展開ともとれる。ここで、d^k f(0)/dx^k=d^kf(x)/dx^k(@x=0), 0!=1, (-1)!=0。
> テイラー展開の係数が符号交替しない、階乗が出てこない、0~1の範囲で収束するとなると、思いつくのは1/(a-x)(aは定数)、あるいはその導関数か原始関数あたり。題意を満たすように適当に修正すると、f(x)=log(1-x)が候補に挙がる。
> f(x)=-log(1-x)なら、d^k/dx^k[-log(1-x)]=-d^(k-1)/dx^(k-1)[(1-x)^(-1)]=(-1)^(k-1)×(-1)^(k-1)×(k-1)!×(1-x)^(-k)=(k-1)!×(1-x)^(-k)となり、確かにd^k f(0)/dx^k=(k-1)!。よって、f(x)=-log(1-x)=∑(k=1~∞)(k-1)!×x^k/k!=∑(k=0~∞)x^k/k。
> なので、P=-∫(0~1)log(1-x)dx=-∫(0~1)logtdt=[t-tlogt](0~1) @t=1-x。ここでロピタルの定理により、lim(t→0)tlogt=lim(t→0)[logt×{t^(-1)}^(-1)]=lim(t→0)[t^(-1)×{-t^(-2)}^(-1)]=lim(t→0)t=0なので、[t-tlogt](0~1)=1。つまり、P=lim(n→∞)∫(0~1)[∑(k=1~n)x^k/k]dx=1。ここで[F(x)](a~b)=F(b)-F(a)。
> 真面目に書くと、思ったより面倒でした。これでも-log(1-x)を天下り的に持ってきたんですけど(その代わりテイラー展開がPの級数になることを示した)。テイラー展開やロピタルの定理って、高校生でしたよね?


こんにちは。テイラー展開を使った解答ですか!関数を見つけるのが面倒になりますが、斬新な方法ですね☆

ちなみにテイラー展開とロピタルの定理は、どちらも大学の一年目に初めて習ったことを覚えています。

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> そうですか、大学1年でしたか。
> 私は高校で習った覚えがあったので。
> 世代の差なのか、教師の趣味の差なのか・・・
>
> なんにしろ、これはいけませんでしたね。
> 関数の候補も知ってるかどうかで、だいぶ違いますし。
> (一応、知らなくても見つけることはできます)
> 知ってても、ロピタルの定理を知らないと積分ができませんし。 ww


こんにちは。世代か高校によるかは分かりませんが、少なくとも大学入試では使わないと思いますね。ただロピタルの定理としてではなく、sinx/xが1になることだけは全員高校で習っていますね。

計算としては大変になりますが、別解を見つけるのはすごいことだと思いますよ☆

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しょーさん

> http://sheepwing.up.n.seesaa.net/sheepwing/image/20160216_1.jpg
> 余りにも味気ないので積分と級数の順序を入れ替えてみました。別解は2部構成です。
> http://sheepwing.up.n.seesaa.net/sheepwing/image/20160216_further_1.jpg
> http://sheepwing.up.n.seesaa.net/sheepwing/image/20160216_further_2.jpg
> ちょっとしたいたずらのつもりでしたがまさかこんなに苦労するなんて・・・
> 順序入れ替えてもあっさりのつもりが、順序を入れ替えたら異常にカオスになってしまいました(^^;入れ替えるならやりにくい定積分を何とかして「サンドイッチ」に持ち込まないとどうしようもないみたいですね。。
> 何とかやりました感バリバリでかなり端折っていますが、別解にできませんでしょうか?もし可能なら皆さんの意見も募りたいです。


通常の解き方だけでなく、シグマとインテグラルを入れ替えた場合の解き方で計算してもらえるとは!あらゆる積分の公式から、挟み撃ちの原理など、様々な重要な知識を使うものすごい解法ですね☆たしかにこれはかなりすばらしいです♪

以前掲載した解答に、しょーさんの画像ファイルをそのまま使って別解として追加してもよろしいでしょうか?今回は解答がすでに掲載されているので、とりあえずリンクはそのままここにも貼っておきますね!

この順序が逆の問題で、しかも「シグマとインテグラルの順序を入れ替えてはいけない」とした場合、受験生の底力が試されますね☆おもしろい問題と解答をありがとうございました!

了解です。。

別解掲載OKです(^^)
数IIIのあらゆる知識(と大学の知識も少し)を必要としますので、旧帝や東工大の後期試験、推薦入試とかで出したら面白いことに・・・大学でも定期試験には使えそうですね。。

しょーさん

了承ありがとうございました!ずいぶん前の記事でしたが、さっそく追加させていただきました♪

たしかに難関大学の入試問題で、大問の1つに使ったらおもしろそうですよね☆多少大学の知識を使っても、「〜を使ってもよい」と入れておいたり、ヒントとして(1)でそれを導ける問題を入れて(2)で本番というようにしておけば、実際に使えますよね!

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スモークマンさん

> かぶってるようですが…Orz
>
> ようは…
>
> ですね ^^


正解です☆前回伝え忘れましたが、正解者リストにお名前を掲載させていただきました!

スモークマンさんのブログに早速紹介していただいているのを、先程確認しました☆うれしいです!ありがとうございます♪

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coldiaさん

正解です!これもすっきり消えるタイプの問題でした♪

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M.Rさん

> 見かけはゴツいですが簡単でしたね
> 多分Σ(その後の積分も)を羅列で書いてやると分かりやすそうです


正解です!計算するとあっさり消えるタイプの問題でした☆

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

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