問2

最大値の問題
<コメント>かなり意外な解き方もある問題です。
問2

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> ダメ子、たみひかのろ、いわちょ、shah-san、gb、スモークマン、しょー、coldia (敬称略)

ヒントや解答はこちらにあります ⇒☆問2の解答と解説

問題一覧へ ⇒☆問題のまとめと難易度
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ダメ子さん

あ、こんな方法もあったんですね!しかもダメ子さんの解き方の方が、より一般的でわかりやすいです☆解答と解説を掲載するときにダメ子さんの方法を使いたいと思います(笑)

この問題を応用した文字が4個以上で最小値を求めるものもありますので、そのうち掲載する予定です☆

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たみひかのろさん

こんな方法もあるのかと驚いていたのですが、なぜか答えが違いますね。他の方が別の方法で解いた答えと、オリジナルの方法で解いた答えが一致したので、たみひかのろさんの方法はどこか違っているかもしれません。計算も確認しましたが、ミスもなさそうです。実際に最大値も 596/√1145より大きくすることができますよ♪

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たみひかのろさん

すばらしい!予想外の方法でしたが、正解です☆おもしろい解き方ですね!他の方の方法も合わせると、少なくとも3通りの解き方があったとは、全く知りませんでした。たみひかのろさんの方法もかなりおもしろいので、解説を載せるときに使わせてもらいます☆

この問2を、未だに当初予定していた方法で解く方がいません(笑)数字の難易度を上げて再登場させる予定です♪

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いわちょさん

正解です♪この問題は解答者によって全く違ったアプローチで解かれている問題ですが、いわちょさんの使った解答も初めてですね!

gbさん

正解です☆この問題を判別式を使って解いた方は、初めてですね!すごい大きい数字が出てきていますね。

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スモークマンさん

> この問題使わせて下さいませ〜m(_ _)m〜
>
> 初めまして ^^
> スモークマンと申します。
> 偶々ここのサイトに辿り着きました☆
> 面白いですねぇ♪
> これはわたし流に解けたと思ったので以下に↓
>
> ね ^^
>
> よろしければ、わたしのブログ(yahooですが)で使わせて頂いても構いませんでしょうか知らん?
> 当然引用先を明示致します。
> ちなみに…わたしのブログは…「アットランダム」http://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo
> です…Orz
>
> あら、そっか ^^;
> 先ほど送信した者です。


初めまして☆この問題には様々な解き方が寄せられましたが、当初予定していた方法で解いてもらえた方は初めてです!2回目の解答で数値も正解です♪

楽しんでもらえてうれしいです!ぜひブログで紹介してくださいね☆これまでに100問ほど幅広い難易度や分野で問題を作成していて、今後も次々と作成していくつもりです♪

お礼〜♪

おはようございます ^^

早速のご許可いただきありがとうございました〜m(_ _)m〜♪
他の問題も解けても解けずとも紹介させていただきとうございます☆

グラッチェ Orz〜

スモークマンさん

おはようございます!ぜひ気に入った問題があれば、どんどん紹介してくださいね♪

サンクス!(アメリカ在住なので)

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しょーさん

> 4部構成です。
> http://sheepwing.up.n.seesaa.net/sheepwing/image/20160425_1.jpg
> http://sheepwing.up.n.seesaa.net/sheepwing/image/20160425_2.jpg
> http://sheepwing.up.n.seesaa.net/sheepwing/image/20160425_3.jpg
> http://sheepwing.up.n.seesaa.net/sheepwing/image/20160425_4.jpg
> 真正面から行きすぎました。そしておそらく整数問題だという場の空気を完全にぶち壊しにしました(^^;
> まぁカオスになって当然ですよね、こんな解き方だったら。
> もう一つ最初の式が楕円体だったので極座標から求めようかと思ったんですけど、そっちもそっちで頓挫しました・・・実際かなり困った話になると思います。。。


正解です♪この問題には人それぞれの様々な解答が寄せられたので、とくにいつも楽しませてもらっています!数行で終わる解答もいくつかある中で、しょーさんの解答は最も長いですね(笑)もちろん丁寧に過程を書かれているためしれませんが。答えのサイトを添付したままにさせていただきますね☆

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coldiaさん

> cauchy-schwarzの不等式を使います。
> そもそもcauchy-schwarzの不等式は、ふたつのn次元ベクトルに対して
> a・b=|a||b|cosθ<=|a||b|
> に成分を代入しているだけなので、条件式x^2+4y^2+9z^2=8を3次元ベクトルの長さとなるようにうまくベクトルを作ると
> a=(x,2y,3z)とすれば
> |a|^2=x^2+4y^2+9z^2=8が登場します。
> また、a=(x,2y,3z)と内積をとることによって3x+8y+15zを作り出すためには
> b=(3,4,5)とすれば良いので、このa,bに対してcauchy-schwarzの不等式を用いれば
> a・b<=|a||b|
> →3x+8y+15z<=√(x^2+4y^2+9z^2)*5√2=2√2*5√2=20
> したがって3x+8y+15zは少なくとも20以下です。
>
> 統合成立条件は2つのベクトルのなす角θ=0のときなので
> a=kb (k>0)が成り立ちます。
> したがってx=3k, 2y=4k, 3z=5k
> これをx^2+4y^2+9z^2=8に代入すると
> 9k^2+16k^2+25k^2=8
> → k^2=4/25 → k=2/5
> したがってx=6/5, y=4/5, z=2/3
> のとき実際に等号が成立します。
>
> したがって3x+8y+15zの最大値は20.
>
> ---------------------------------------------------------
>
> これだけだとなんかありがちな解法なのでいろいろ考えてみました
> でも極座標やらなんやらはもう使われているので…
> 3x+8y+15z=kとおいて
> x=k/3-8y/3-5zと変形して
> x^2+4y^2+9z^2=8に代入すると
> (100/9)y^2+34z^2+(80/3)yz-(16/9)ky-(10/3)kz+(1/9)k^2-8=0
> これを平方完成して
> (100/9){y-(2k/25-6z/5)}^2+18(z-k/30)^2=8-(1/50)k^2
> 左辺は正なので
> 8-(1/50)k^2>=0 → |k|<=20
> 等号成立のとき
> k=20 かつ z=k/30 かつ y=2k/25-6z/5
> →z=2/3, y=4/5
> →x=k/3-8y/3-5z=6/5
>
> なので最大値は20
>
> こんな感じですかね…!


これまたすばらしい、正解です!cauchy-schwarzの不等式はたしか高校では習わなかったので(もしかしたら高校や年代にも寄るかもしれませんが)、ベクトルとして解いてもらう問題として作ったのですが、ベクトルの解答はまだ2人目だったと思います♪後半の解法は新しいですね!数多くの別解が寄せられましたが、まだ他にもあったんですね☆今のところ別解の数は一番多い問題だと思います!

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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