問103

三角関数に囲まれている延々に続く図形の面積
<コメント>ちょっとシーズン的に遅かった気がしますが、大学受験っぽい問題ですね。2つの三角関数に囲まれる図形は永遠に現れますが、面積を計算するとどうなるでしょう。

問103

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> NaOH、shah-san、しょー、M.R、coldia、G-PON (敬称略)

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M.Rさん

> 問題の答えに1がよく出てきてるイメージがあるのとグラフの見た目からの推測でまだ計算してないのですが(;・∀・)


ものすごい推理ですね(笑)でも違いますよ!ほとんど計算だけなので、解いてみてくださいね☆

NaOHさん

> 解答早い方がいらっしゃったので、取り急ぎ答えだけ。
>
> ただ、例によって計算ミスってる気しかしないので、この後頑張って解答も打ちます。。
>
> 途中でミスに気付いてしまいました 笑


解き方は完璧ですが、2回目の解答の方も計算の範囲だけミスしていますよ!指数関数に+π/4があるので、π/4だけずれています。ほとんど正解なので、オマケしておきますね☆

shah-sanさん

> こんばんは
>
> すっきりした形のような、そうでないような。


こんばんは☆cothを使った形まで変形してもらえるとは!そうするともう少しシンプルになりますね♪高校では習わないので、1段階前の形でも充分ですが。

解き方は完璧でしたが、おそらくI1とI2を求める最後のところで、1/2だけ計算ミスしていますね。ほとんど答えが出ているので、正解にしますね♪

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shah-sanさん

> おはようございます
>
> おまけ、ありがとうございます。
> またやっちゃいましたかぁ。


おはようございます。再解答ありがとうございました!今回はとくに計算ミスをしやすいタイプの問題でしたね。数名の解答が届いていたものの、全て答えが一致しないので不安でしたが、とうとう一致したので安心しました♪


> 言い訳:数式をコメに合わせて横一直線に書くと、見にくいんですよね。そんな見にくい数式を、いつも判読していただいていることに、感謝いたします。


いえ、むしろ書きにくい数式でいつも丁寧に解答してもらい、ありがとうございます!学生時代に手書きでテストに解答していたのが、かなり楽に感じますね☆

確かに。。!

手元のノートでは交点求める段階でちゃんとπ/4ずらしてました。。

オマケ、ありがとうございます!笑

NaOHさん

計算ミスしやすい問題でしたね!問題作成段階でも、何度もミスしました(笑)

ちなみにπ/4ずれるともう少しだけシンプルな式になります☆

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しょーさん

> 対称形ですね(^^)なんかこう、式の整理だけであっさり正体が見えてしまいました。。
> ただ自分的には計算は好きなんですけど整数とかパズルは不得手なんでこういう問題はオアシス的に感じますね(^^;考え方のコツがあったら教えてくださいm(_ _)m


正解です!計算ミスが出やすい問題でしたが、完璧でしたね♪丁寧な解答をありがとうございます☆

ただ計算するしかない問題でしたね!解答者によっては積分を先に解いて数列を後で計算したり、π/4のずれをまず加法定理か新しいXに変えて消したり、シンプルに見えて細かく分けると解き方はいろいろです。今回の場合はおそらくどれも結局計算量はほとんど同じだと思いますが、ちょっとしたことで解き方に個性が出てますね♪

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M.Rさん

> 解答が公開されていない中で解いていないのがこれと第100問を残すだけになりました…どちらも解きたいですがなかなか発想が浮かびません(T_T)
> これからは解答が公開されたものもやってみたいです(^^)/
>
> ちなみに、この問題の答は∞……なんてことありませんよね?


問103はそんなに難しくないですよ(笑)もちろん∞ではありません!もし∞だとしても、式で示す必要がありますが。

問100はまだ誰も正確な証明ありの解答をした方はいません。かなりきれいな解答ができる問題なので、解けたら驚くと思いますよ☆

解答が公開されたものでも、別解があるかもしれないので、ぜひ教えてくださいね♪

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M.Rさん

> 減衰曲線に関する2005名大後期の問題を解説してるサイトを参考にしました…が、考え方の応用があってるか自信ないです(~_~;)
> 名大の類題でも、誘導付きでなんとかできそうな感じです(_ _;)
> ヒントにしたサイト↓
> http://izu-mix.com/math/exam/nagoya/2005_1.html


正解です☆似た雰囲気の問題があったんですね!この問題は知りませんでしたが、(1)〜(4)があったらほとんど誘導されているので、名古屋大学の受験生にとっては簡単な気がするのですが。

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M.Rさん

> 名大の問題は(1)〜(4)の誘導になっているので出来ても、この103問を見た時に数列として処理することが全く浮かびませんでした…(´Д⊂ヽ
> 絶対値の処理や部分積分(まだ習ってないので参考書を読みながら)しようとしてみても分からず…類題の知識というか、経験がないと発想が浮かびませんね(T_T)
>
> 名古屋に住んでいて、もしかしたら受けるかもしれないのでスラスラ解けるようになりたいです


まだ部分積分を習っていなかったんですね!その段階では、この問題はまだ難しかったかもしれません。ただ実際に受験したときに似たような問題が出るかもしれないので、早めに経験を積んでおくのはとてもいいことですね☆

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coldiaさん

> でしょうか。(計算ミスだけが不安です)


丁寧な解答をありがとうございます!計算ミスもなく、完璧ですね!正解です☆

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ゴンともさん

> MathematicaのReduceで交点を求め(普通はSolve)積分区間にしました。


確認ですが、√2×(e^(-π))(1+e^π)/2=0.7376636358325・・・ですか?そうだとすると不正解ですね!

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G-PONさん

> 理系学部ながら数学はさほど使わなくなったので、こういう問題を解くのは日常使わない筋肉を使うのと同じ感覚です。
> よろしくお願いします。


これはほとんど計算問題でしたね!正解です♪他の方の解答にもありましたが、問題作成段階ではcothにできることまで全く思い付きませんでした!

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Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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