倍数の見分け方まとめ 41~50の倍数

倍数判定法が40で止まっていたため、41の倍数から再開します!毎月10ずつ増やしていけたらと考えているところです。20の倍数ぐらいまでならともかく、40以上になるともし知っていても普通は使わないと思いますが、以下のこだわりを持ってただ数学的な興味としてひたすら見つけていきます♪

・あまりに複雑な方法や計算にしないようにする(べき乗なら1桁の数字,10,20,…,100,…のみ)
・計算が煩雑な方法しかなければ、複数見つける(数字の並びによって判定法を選択できるため)
・できるだけ○の倍数かつ○の倍数のみではなく、その数字の独自の方法も探す
・どうしても見つからない数字が出たところで終了する(目標100以上)

<他の数字の見分け方はこちら>
2の倍数〜10の倍数の見分け方へ ⇒2~10の倍数
11の倍数〜20の倍数の見分け方へ ⇒11~20の倍数
21の倍数〜30の倍数の見分け方へ ⇒21~30の倍数
31の倍数〜40の倍数の見分け方へ ⇒31~40の倍数
51の倍数〜60の倍数の見分け方へ ⇒51~60の倍数
61の倍数〜70の倍数の見分け方へ ⇒61~70の倍数
71の倍数〜80の倍数の見分け方へ ⇒71~80の倍数
81の倍数〜90の倍数の見分け方へ ⇒81~90の倍数
91の倍数〜100の倍数の見分け方へ ⇒91~100の倍数


<41の倍数>
「一の位から順に5桁ずつに分けて足した数が41の倍数 = 41の倍数」

例えば、
139010295は1390+10295=11685が41の倍数 → 139010295=41の倍数


<42の倍数>
「一の位が2の倍数かつ全ての位の数字を足した数が3の倍数かつ一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べて計算した数が7の倍数(2の倍数かつ3の倍数かつ7の倍数) = 42の倍数」  または
「一の位から順に4桁ずつに分けて、小さい位から順に4のべき乗(1,4,16,64,…)を掛けて合わせた数が42の倍数 = 42の倍数」 または
「一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べ、各数字に小さい位から8のべき乗(1,8,64,…)を掛けて計算した数が42の倍数 = 42の倍数」


例えば、
800982は一の位の2が2の倍数かつ8+0+0+9+8+2=27で3の倍数かつ800-982=(–)182が7の倍数 → 800982=42の倍数
800982は80×4+0982×1=1302が42の倍数 → 800982=42の倍数
800982は800×8–982×1=5418が42の倍数 → 800982=42の倍数


<43の倍数>
「一の位から順に2桁ずつに分けて符号を交互に並べ、大きい位から順に3のべき乗(1,3,9,27…)を掛けて合わせた数が43の倍数 = 43の倍数」

例えば、
652310は65×1-23×3+10×9=86が43の倍数 → 652310=43の倍数


<44の倍数>
「下2桁が4の倍数かつ全ての位の数字に符号を交互に並べて計算した数が11の倍数(4の倍数かつ11の倍数) = 44の倍数」 または
「下2桁が4の倍数かつ一の位から順に2桁ずつに分けて足した数が11の倍数(2の倍数かつ11の倍数) = 44の倍数」 または
「一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に100のべき乗(1,100,10000,…)を掛けて合わせた数が44の倍数 = 44の倍数」


例えば、
1019304は下2桁の04が4の倍数かつ1–0+1–9+3–0+4=0で11の倍数 → 1019304=44の倍数
1019304は下2桁の04が4の倍数かつ1+01+93+04=99で11の倍数 → 1019304=44の倍数
1019304は1×10000–019×100+304×1=8404が44の倍数 → 1019304=44の倍数


<45の倍数>
「一の位が0か5かつ全ての位の数字を足した数が9の倍数(5の倍数かつ3の倍数) = 45の倍数」 または
「一の位から順に2桁ずつに分けて、小さい位から順に10のべき乗(1,10,100…)を掛けて合わせた数が45の倍数 = 45の倍数」 または
「十の位以上の数字を足して10を掛けて、一の位の数を足した数が45の倍数 = 45の倍数」 または
「一の位から順に2桁ずつに分けて、百の位以上の数字を足して10を掛けて、残りの数を足した数が45の倍数 = 45の倍数」


例えば、
2143125は一の位が5かつ2+1+4+3+1+2+5=18で3の倍数 → 2143125=45の倍数
2143125は 2×1000+14×100+31×10+25×1=3735が45の倍数 → 2143125=45の倍数
2143125は(2+1+4+3+1+2)×10+5=135で45の倍数 → 2143125=45の倍数
2143125は(2+14+31)×10+25=495で45の倍数 → 2143125=45の倍数


<46の倍数>
「一の位が2の倍数かつ一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べ、各数字に大きい位から2のべき乗(1,2,4,8,16…)を掛けて計算した数が23の倍数(2の倍数かつ23の倍数) = 46の倍数」 または
「一の位が2の倍数かつ一の位から順に2桁ずつに分けて各数字に大きい位から3のべき乗(1,3,9,27…)を掛けて足した数が23の倍数(2の倍数かつ23の倍数) = 46の倍数」 または
「一の位から順に2桁ずつに分けて、小さい位から順に8のべき乗(1,8,64,…)を掛けて合わせた数が46の倍数 = 46の倍数」 または
「一の位から順に5桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に4のべき乗(1,4,16,64,…)を掛けて合わせた数が46の倍数 = 46の倍数」


例えば、
7219010は一の位の0が2の倍数かつ7×1–219×2+010×4=(–)391が23の倍数 → 7219010=46の倍数
7219010は一の位の0が2の倍数かつ7×1+21×3+90×9+10×27=1150が23の倍数 → 7219010=46の倍数
7219010は7×512+21×64+90×8+10×1=5658が46の倍数 → 7219010=46の倍数
7219010は72×4–19010×1=(–)18722が46の倍数 → 7219010=46の倍数


<47の倍数>
「一の位から順に5桁ずつに分けて符号を交互に並べ、各数字に大きい位から3のべき乗(1,3,9,27,…)を掛けて計算した数が47の倍数 = 47の倍数」 または
「一の位から順に2桁ずつに分けて各数字に小さい位から6のべき乗(1,6,36,…)を掛けて足した数が47の倍数 = 47の倍数」


例えば、
271301296は2713×1–01296×3=(–)1175が47の倍数 → 271301296=47の倍数
105562は10×36+55×6+62×1=752が47の倍数 → 105562=47の倍数


<48の倍数>
「下4桁が16の倍数かつ一の位が2の倍数かつ全ての位の数字を足した数が3の倍数(16の倍数かつ3の倍数) = 48の倍数」 または
「一の位から順に2桁ずつに分けて各数字に小さい位から4のべき乗(1,4,16,64,…)を掛けて足した数が48の倍数 = 48の倍数」


例えば、
36594816は下4桁の4816が16の倍数かつ3+6+5+9+4+8+1+6=42で3の倍数 → 36594816=48の倍数
36594816は36×64–59×16+48×4–16×1=(–)1536が48の倍数 → 36594816=48の倍数


<49の倍数>
「一の位から順に2桁ずつに分けて各数字に小さい位から2のべき乗(1,2,4,8,16,…)を掛けて足した数が49の倍数 = 49の倍数」

例えば、
3173583は3×8+17×4+35×2+83×1=245が49の倍数 → 3173583=49の倍数


<50の倍数>
「下2桁が00か50 = 50の倍数」

例えば、
38169150は下2桁が50 → 38169150=50の倍数


倍数の見分け方練習5

実際に関連する問題を解いてみよう。以前は解けなくても今なら解けるかも↓↓↓
問75☆ 9の倍数判定法を使用
問71☆ 3,7,11の倍数判定法を使用
問65☆ 37,41の倍数判定法を使用
問27☆ 7,9の倍数判定法を使用
問24☆ 7,11,101の倍数判定法を使用
問17☆ 7,9,10,11,13の倍数判定法を使用
問13☆ 4,9の倍数判定法を使用




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No title

mm2445さん、こんばんは!!^^

練習問題の答えは、533の倍数、なのでは。

※理由:533=13×41だから、41の倍数でないと533の倍数でない。
11111+11111+11111+11111+11111+11111=66666。66666÷41=1626。割り切れるので。m(__;m

くわがたおさん

くわがたおさん、こんばんは。答えは正解で解き方もOKですが、おしいですね!41の倍数なのは確認できましたが、13の倍数か確認しないと、533の倍数とは限りませんよ。新しく掲載した41の倍数だけでなく、以前の13の倍数も復習できる問題でした♪もしただ書き忘れただけだったらすみません。

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くわがたおさん

> mm2445さん、、書き忘れただけではありませんでした。^^;


再解答ありがとうございました!これならOKですね☆

さすがに40の倍数以上の見分け方を使う機会はないと思いますが、どこまで行けるかという興味だけで100ぐらいまで続けてみようと思います!ちなみに自分で探しているものの、元々知られている13の倍数ぐらいまでしか覚えていません(笑)

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 533=13×41なので、13の倍数かつ41の倍数で判定するのが楽なのですが。せっかくなので、ここは533の倍数の判定法を作ってみました。
> 楽に計算できるわけでもないので、まぁ、道楽みたいなものです。
>
> 割る数をX、右からi+1桁目の数字をa[i]とする。X=Σ(i=0~n)a[i]×10^i。
> 1000≡467≡-66 mod 533だから、X=Σ(j=0~m)b[j]×10^(3j)≡Σ(j=0~m)b[j]×(-66)^j。ここで、b[j]=a[3j]+10a[3j+1]+100a[3j+2]は、Xを3桁ずつのブロックに分けたときの各ブロックのa[i]からなる数、m+1はブロック数である。a[i]が存在しないときはa[i]=0とする。このとき、X≡Σ(j=0~m)b[j]×(-66)^j =((((-66b[m]+b[m-1])×(-66)+b[m-2])×(-66)+b[m-3])×・・・)×(-66)+b[0]。
> 判定の手順は以下の通り。例としてX=533×47=25051を考える。以下、合同式はmod 533である。
> 1)Xを3桁ずつのブロックに分け、b[0]~b[m]を求める。例)25|051と分けてb[0]=51,b[1]=25,m=1。
> 2)k=m,A=b[m]とする。例)A=b[1]=25,k=1。
> 3)11A=10A+Aを計算し、533を超えるようなら割って余りを求めBとする。例)B=25×11=250+25=275。
> 4)6Bを計算し、533を超えるようなら割って余りを求めCとする。6Bが計算しづらければ、6B=5B+Bとする。例)C=275×6=30+420+1200=1650≡51。
> 5)b[k-1]-Cを計算し、、533を超えるようなら割って余りを求めAとする。例)A=51-51=0。
> 6)k-1を改めてkとし、k>1なら3)へ戻る。例)k-1=0なので7)へ。
> 7)Aが533の倍数であれば、Xは533の倍数と判定する。例)A=0は533の倍数なので、X=25051は533の倍数。
> 問題のX=111 111 111 111 111 111 111 111 111 111(1が30個)に適用する
> 1)b[0]~b[9]=111、m=9
> 2)k=9,A=111
> 3~6)k=9:B=11×111=1110+111=1221≡155,C=6×155=930≡-136,A=111+136=247
>  k=8:B=11×247=2470+247=2717≡52,C=6×52=312≡-221,A=111+221=332≡-201
>  k=7:B=11×(-201)=-2010-201=-2211≡-79,C=6×(-79)=-474≡59,A=111-59=52
>  k=6:B=11×52=520+52=572≡39,C=6×39=243,A=111-234=-123
>  k=5:B=11×(-123)=-1230-123=-1353≡246,C=6×246=1476≡-123,A=111+123=234
>  k=4:B=11×234=2340+234=2574≡-1,C=6×(-91)=-546≡-13,A=111+13=124
>  k=3:B=11×124=1240+124=1364≡298,C=6×298=1788≡189,A=111-189=-78
>  k=2:B=11×(-78)=-780-78=-858≡208,C=6×208=1248≡182,A=111-182=-71
>  k=1:B=11×(-71)=-710-71=-781≡-248,C=6×(-248)=-1488≡111,A=111-111=0
> 7)A=0は533の倍数なので、Xは533の倍数。
> 個々の計算は暗算レベルですが、Xの桁数が大きいと計算回数が多くなるので、面倒です(笑)。66を掛けて533で割って余りを求める、というのが暗算でできる人は、もう少し計算が楽にできます。


こんにちは、533の倍数の判定法を考えてもらえるとは!ありがとうございます♪(倍数の練習問題は解答を掲載したりしないので、そのままこちらに貼らせていただきました。)

66を掛ける続けるところを、11(10+1)と6(5+1)に分けて余りを出していくことで、比較的計算しやすく大きい数字にならないようにできるということですか!おもしろいですね☆

今後50の倍数以降も掲載していくつもりですので、もし別の方法などがあれば、ぜひ教えてくださいね♪一見面倒な方法だとしても、数字の並びによっては他の方法より使いやすくなったりする可能性があるので、どんな方法でもありだと思います!もちろん受験では、せいぜい10の倍数ぐらいまでで50以上は使わないですが(笑)

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> それでは、お言葉に甘えて。
> 49の倍数:2桁のブロックに2の冪を掛けるか、3桁のブロックに20の冪を掛けるか、だけの違いです。
> 2の冪の計算は同じなので、ブロックを大きくすることにメリットがあれば、使い道がある?かも。
> 計算が大変なら、3桁ブロックを2桁ブロックで割る49の余りに変換すれば楽。この変換も暗算可能。
>
> X=Σ(i=0~n)a[i]×10^i=Σ(j=0~m)b[i]×10^(3j)、b[j]=a[3j]+10a[3j+1]+100a[3j+2](3桁のブロック)
> 1000≡20 mod 49なので、X≡Σ(j=0~m)b[j]×20^j。つまり、3桁でブロック化して、各ブロックに20^jを掛けて和を取って、49で割り切れたら、Xも49の倍数。
> mm2445さんの2桁ブロック、b[j]≡a[3j]+10a[3j+1]+2a[3j+2]で楽できます。
>
> 例)3173583=3×400+173×20+583=1200+3460+583=4660+583=5243は、すぐ49の倍数とわからないので、
> 52×2+43=104+43=147=3×49。この例ではあまりメリットないですね。
> 少し変形して、3桁ブロックを2桁ブロックで割る49の余りに変換
> 3173583=3×400+173×20+583=3×400+(75-98)×20+(93-98)=1200-460-5=735≡14+35=49なので、49の倍数。
> 例)649082495776932≡160000×649+8000×082+400×495+20×776+932≡160000×(61-49)+8000×(82-98)+400×5+20×(90-98)+(50-49)=1793841≡400×1+20×9+(57-49)=588≡98=49×2なので、49の倍数、
> 全部2桁ブロックだと、
> 649082495776932≡128×6+64×(49-49)+32×8+16×24+8×(95-98)+4×(77-49)+2×(69-49)+32=1568≡2×15+(68-49)=49なので、49の倍数。
> まぁ、暗算が得意ならあまり変わらないかなぁ。3桁ブロックの方が最初の変形での掛け算(掛け算数が少ない)、足し算(各数字の桁の差が大きい)で楽できます。


こんばんは。3ブロックで20の冪ですか!別の判定法をありがとうございます♪

掛け算の数を減らせるメリットと、2ブロックより3ブロックの方が計算しやすい場合に使えそうですね☆具体的にはΣ(k=1~n)10^(3k-1)=100100…100100のような3つに一回数字が現れるタイプなら、100×20^(k-1)が49で割れるかどうか検討、のようにすぐ式に表せますね♪

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shah-sanさん

> おはようございます
>
> 調子に乗って、48の倍数と45の倍数です。
>
> 48の倍数は、1000≡40 mod 48なので、49の倍数判定と同じことができます。つまり、X=Σ(i=0~n)a[i]10^i=Σ(j=0~m)b[j]10^(3j)と3桁ずつブロック化して、40の冪を掛けて和を取って、答えX≡Σ(j=0~m)b[j]40^jが48の倍数なら元の数Xも48の倍数です。
> 3桁ブロック×40の冪は大変なので、mm2445さんの2桁ブロック化を併用して、3桁ブロックの数を2桁に落とせば、少しは楽になります。40の冪も適当に桁数を落として楽しましょう。
> 例)36594816≡3×1600+659×40+816≡3×(16×4+0-48)+(6×4+59-96)×(40-48)+(32+16-48)=152=48×3なので、48の倍数。
>
> 45の倍数は、もう少し簡単にできます。
> 10^2≡10^3≡10^4・・≡10^i≡10 mod 45 @ i>1なので、X=Σ(i=0~n)a[i]10^i≡a[0]+Σ(i=1~n)a[i]10。よって、右から2桁目以降(1の位以外)の数字を足して10倍し、1桁目を足した答えが45の倍数なら、元の数Xも45の倍数。
> 例)2143125≡(2+1+4+3+1+2)×10+5=135=45×3なので45の倍数


おはようございます。48の倍数と45の倍数の判定法の追加もありがとうございます!ちなみに48の倍数や49の倍数のような○桁に分けて△の冪のパターンは、○+1桁に分けて△×10の冪、○+2桁に分けて△×100の冪と、○+k桁に分けて△×10^kの冪と無限に応用できますよ☆

45の倍数のこの方法はたしかに見逃していましたね!6,15,18の倍数をそのまま見分ける方法と同じようなパターンですね。後で追加させていただきます(笑)

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> なんだかいろいろあって、考えるだけなら楽しいですが、まとめられてるmm2445さんには申し訳ないです。
>
> > ちなみに48の倍数や49の倍数のような○桁に分けて△の冪のパターンは、○+1桁に分けて△×10の冪、○+2桁に分けて△×100の冪と、○+k桁に分けて△×10^kの冪と無限に応用できますよ☆
>
> 10^i≡q mod pなら10^(i+1)≡10q mod pだからですねぇ。なので、元のqが小さい、たぶんq=1か2ぐらいなら、多少は楽にできると思います。
> qが大きいと、結局qの冪を計算するのが大変なので、適用できるのは実は限られます。
> qが大きい時は、例えば3とか4桁でブロック化して、2桁ブロック化で桁を落とす、という作業を繰り返して桁を落とすと楽かもしれません。
> 例)47の倍数
> 「一の位から順に2桁ずつに分けて各数字に小さい位から6のべき乗(1,6,36,…)を掛けて足した数が47の倍数 = 47の倍数」
> 271301296≡2×6^4+71×6^3+30×6^2+12×6+96で、2桁ブロック化(q=6)そのままでは6^4,6^3の計算が大変(暗算できる人がうらやましいです)。で
> 271301296=271×10^6+301×10^3+296(3桁でブロック化して)
> ≡(2×6+71-47)×10^6+(3×6+1)×10^3+(2×6+96-94)=36×10^6+19×10^3+14=36019014(和を計算。大き目のブロック化は和の計算が楽になる傾向があります)
> ≡((36-47)×6+1)×10^4+((90-94)×6+14)=-65×10^4-10≡18×10^4+10=180010(4桁でブロック化して)
> ≡18×(6^2-47)+10=-188=(-3)×47(真ん中が00なので2桁でブロック化)。
>
> 倍数の判定方法、と言いながら、一定の手順に乗っからないのが玉に瑕(笑)。元の数字Xがはっきりしてる場合は、これでもいいんですけど。Xに未定変数があると、一定の手順に乗ってる方が定式化しやすいですよね。


こんにちは。いろいろと考えてもらいありがとうございます♪なるほど、3桁目に100-47×2=6を使い、下2桁が大きいときは47や94で引くことで、3桁以上の数字や2桁同士以上の掛け算が出ないように計算できますね!複数の方法があれば、分解してもまだ大きい数字のときに、いろいろと組み合わせて考えることもできますね♪例えばこの考え方を応用すれば、最初の方法でも6^2≡-11=-10-1に変えたり、6^3≡-11×6≡-19=-20+1と使えそうです!

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 41の倍数判定で、ちょっとしたお得情報。と、蛇足。もうネタはないと思ってたら、あるもんですねぇ(笑)。
>
> <41の倍数>
> 「一の位から順に5桁ずつに分けて足した数が41の倍数 = 41の倍数」
> ですが。
> 5桁の数を41で割る、を計算できない人へ。
> 5桁でブロック化して和と取った数Yは5桁以下(6桁以上なら5桁以下になるまで5桁のブロック化を繰り返す)、また10^3≡16 mod 41なので、Yを3桁でブロック化すると、Y≡Σ(j=0~m)c[j]10^(3j) mod 41≡Σ(j=0~m)c[j]16^j mod 41≡16c[1]+c[0]となる。このYが41の倍数かどうか判定する。
> 例)139010295≡1390+10295=11685が41の倍数であると暗算できない人は、
> 11685≡11×16+685≡(176-41×4)+(685-41×17)=12-12≡0 mod 41。
> 例)2691852259724≡269+18522+59724=78515≡78×16+515≡(78-41×2)×16+(515-41×12)=-64+23=0 mod 41。
> 最初から3桁でブロック化して、16の冪を乗じて和を取っても良いのですが、計算が大変です。最初に5桁に落とし込んだ方が、はるかに楽です。
>
>
> 蛇足:判定法ではなくて、計算方法ですが。
> X=Σ(i=0~n)a[i]10^i=Σ(j=0~m)b[j]10^(kj)とk桁でブロック化したとする。10^k≡q mod pの場合、10^(kj)≡q^j mod pだから、X≡Σ(j=0~m)b[j]q^j mod pとして、qの冪を乗じて和を取って、Xがpの倍数か判定する。この計算を|q|進数で計算すると、楽かも。[n]でn進数を表すとして、
> 例)49の倍数
> 2桁のブロック化で2の冪、X=Σ(i=0~n)a[i]10^i=Σ(j=0~m)b[j]10^(2j)≡Σ(j=0~m)b[j]2^j mod 49。
> 3173583≡3×2^3+17×2^2+35×2^1+83=(11×1000+10001×100+100011×10+1010011)[2]=(11000+1000100+1000110+1010011)[2]=11110101[2]=1+4+16+32+64+128=255-2-8=245=49×5≡0 mod 49。
> 例)47の倍数
> 2桁のブロック化で6の冪、X=Σ(i=0~n)a[i]10^i=Σ(j=0~m)b[j]10^(2j)≡Σ(j=0~m)b[j]6^j mod 47。
> 271301296≡2×6^4+71×6^3+30×6^2+12×6+96=(2×10000+155×1000+50×100+20×10+240)[6]=(20000+155000+5000+200+240)[6]=224440[6]=((((2×6+2)×6+4)×6+4)×6+4)×6+0=((((14)×6+4)×6+4)×6+4)×6+0≡(((88-94)×6+4)×6+4)×6+0≡((-32+47)×6+4)×6+0≡0×6+0=0 mod 47
> 例)42の倍数
> 3桁のブロック化で(-8)の冪、X=Σ(i=0~n)a[i]10^i=Σ(j=0~m)b[j]10^(3j)≡Σ(j=0~m)b[j](-8)^j mod 42。
> 例えば、
> 19535651814≡19×(-8)^3+535×(-8)^2+651×(-8)+814=(-23000+102700-12130+1456)[8]=47226[8]=(((4×8+7)×8+2)×8+2)×8+6≡((-25)×8+2)×8+6≡(-6)×8+6=-42≡0 mod 42、で42の倍数。
> こんな感じです。
> q進数に変換するのと10進数に戻すのが楽に計算できる、2か3桁のブロック化+1桁のqとか、q=2^n進数とか、そんなので楽できそうです。


こんにちは。追加の計算方法をたくさんありがとうございます☆

前半に関してはまとめると、漠然とした一般的な道筋として「まず冪が小さくかつ桁を広めに分けて、さらにそれぞれを細かく冪で計算する」のようなものが良さそうですね。一つ一つの判定法を知らなくても、判定法や計算のパターンが読めてくれば、問題が出たときに自分で応用できるかもしれないですし、今のうちにいろいろ考えておくと何かに考え方を応用できるかもしれないですね♪

後半については、進数を使う発想は盲点でした☆ただ個人的には2度直す時間が惜しいことと進数が見にくい(いつも無意識に10進数として考えそうになる)のであまり使いたくないのですが、人によっては分かりやすい方法だと思います!

No title

これ、小学校の時に塾で習いました
懐かしい!

だんごさん

知っていると、数学の問題を解くときにも少し役立ちますよね☆

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自作問題を作ることが趣味。
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