問101

条件に合う数列を見つける問題
<コメント>思い付いて合うように式を合わせる、ひらめき重視のちょっと変わった問題です。それ以外の解き方は多分ないと思います。例を挙げるだけなので、答えが複数あるかもしれません。もちろん一般項は、場合分けのない1つの式で表してください。

問101


答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> NaOH、shah-san、しょー、M.R、スモークマン、coldia、G-PON、たけちゃん (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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NaOHさん

> ふらっと流れ着いた1問目で解答を思い付いてしまったので投稿させていただきます 笑


解答ありがとうございました♪bnの係数がありませんでしたが、ほとんど答えなのでおまけで正解にしますね☆

この問題は解答者が中々出ませんでしたので、NaOHさんが最初の正解者です!早速正解者リストにお名前を掲載させていただきました♪

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^
>
> ※理由:両方ともnが、分からなかったのですが、、手書きのそのグラフやら第8項までの足し算やらで何となく^^;なりそうなのでっ。m(__;m(正確に書くと、当てずっぽう。)


くわがたおさん、おはようございます!結構いい推理ですね☆bnはまさに正解ですが、anが違っています。実際に18項ぐらいまで計算すると、3/4を越えてしまいます。またくわがたおさんのanの形は最終的に∞になる形でもあります。∞にならない形で考えるというのがヒントでしょうか。おしいのでぜひ再解答で正解を見つけてくださいね♪


> ※100問達成おめでとうございますっ!!すごいですねぇー!!^^問題を作れない私には大変さを想像するばかりです。^^;本当は第100問目の問題を解いてお祝いしたかったのですが、(そっちはやりかけで・・・)こちらでお祝いさせていただくことをお許しください。^^;


ありがとうございます♪問題を作るのが好きなので考えているときは楽しいのですが、新しいものを作り続けるというのはたしかに難しいです!ただまだ順調にアイデアが出てきているので、次の目標は200問達成ですね♪問100はやや難易度が高いですが、ぜひ解いてくださいね☆

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> a[n]を何とか、無理やり、力ずくでどうにかしましたが、同じ方法でb[n]を求めるのは、残念ながら力尽きました。(数字を一部変えるだけなんですが、3次方程式を解くのが面倒で・・・)


こんにちは、ものすごい力技ですね!たしかにshah-sanさんのanでも題意を満たしそうです☆最初の式の置き方などでbnの方も何とかなればいいのですが。

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> a[n]の別解を考えてみました。


こんばんは。bnの方が計算が簡単だったんですね!予定していた数列と同じでした♪

anの別解もありがとうございます!ただもっとシンプルな数列がありますよ☆

しょーさん

> 完全に答えありきですね、これ(^^;
> 一応理論的に答えを導こうと思っていろいろ引っ掻き回しましたけど(数列の和どうしの差とか、極限とか)、全部失敗しましたよ(--;
> 何せ情報が少なすぎて特定が碌にできなかったですね。。


正解です♪いろいろと考えていただきありがとうございます!

たしかに答えから先に作ったため、問題を作った本人は自分では解いてないので、どれぐらいの難易度かは分かりません(笑)数列の離れた2項が同じで、無限級数が違う2つの異なる数列というアイデアのみから作りました。そのためできる限りシンプルで、離れた2項が同じになるように数列を探しました☆もちろん今回は解答者の方々の苦労に比べれば楽ですね。

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shah-sanさん

> おはようございます
>
> あっはっは、まぁまぁ
> シンプルな解は他の方にお任せして、
> 私らしく変な解、ということで。
>
> 言い訳とも言いますが(笑)。
> 普通の方の思いつくことは、なかなか思いつかんのになぁ。
> NaOHさんなんか、ふらっと来られて、あっという間に思いつくんですよ。
> いや皆さん凄いです。
>
> a[n]の、3次方程式を解くのとか、複素数を使うのとか、この変な係数の数列が、数字のすっきりしてる条件の式は満たすんですから、不思議なものです。


おはようございます。なるほどそういうことでしたか!ぜひ今後も斬新な解き方を見つけてくださいね☆

たしかにあの複雑な式でも条件を満たす数列になるので、不思議ですね!方程式を解いたときの、シンプルな実数解以外のルートや複素数が出てくる解みたいなものでしょうか。

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^
>
> ※理由:当てずっぽう。^^;anの逆数?の階差数列?は、初項3、公差1の等差数列だと仮定して計算してみました。m(__;m


くわがたおさん、おはようございます!かなり近づいていますね☆ただこれだと最終的にどんな数字になるのか分からないのですが、計算上100項ぐらいで3/4を越えてしまっています。おしいのでもう少しですね!分母にn^2があってもっとシンプルな式ですよ♪

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M.Rさん

> lim(n→∞)a_n=0、収束する速さがb_nと違う、無限級数が1/2{b_n}だとかの条件は浮かぶんですが式にならない\(^o^)/


bnはもちろん正解ですね!anも同じようにほとんど直感だけですよ♪

高校の数列で、無限級数が収束するパターンをもう1通り習ったはずです☆その中で比較的シンプルな形のどれかです!

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M.Rさん

> …ですか?収束が違う気がしますが(;・∀・)


いえ、正解ですよ!初めの2項の+の方だけ残って、あとは消えるパターンです♪

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くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^
>
> ※いただいた大ヒントをもとに試行錯誤して求めました。近づいた気はするけど。^^;(第5項までは)


くわがたおさん、こんばんは!残念ながらまだ違いますね。今回は無限に足すと、無限大に発散してしまうタイプの数列になっていますよ。実際に30項ぐらい足すと、3/4を越えています。

↓大ヒントですが、こちらに無限に足しても発散しない数列の一般例がまとめてあります☆全部足して3/4という有理数なので、この中でπやeなどの無理数になるものは除外できますね。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E7%B4%9A%E6%95%B0

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スモークマンさん

> 大ヒントから ^^;v
>
> で満たしますね ^^♪


いいですね、正解です☆ひらめき重視の問題でした!

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スモークマンさん

> わたしの友人のものです ^^
>
> 『どんな数 a についても、ガウス記号を用いて、
>
> なんてビックリ玉手箱な…^^; Orz〜


これは斬新な解答ですね!教えてもらいありがとうございました☆解答を掲載するときに、別解として載せたいと思います♪

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coldiaさん

> だいぶ前に解けていたんですけど、少々考察したいことがあったので寝かせていました。
>
> 他にもあるかも
> です。


これはすばらしい!通常の解以外にも、何通りも見つけてもらえるとは!たしかに他の解はないか気になるところではありますが、最初から完全にあきらめていました(笑)

そのまま解答を貼っておきたいところですが、まだ解答受付中なのが残念です。解答枠にはちょっと長くなり過ぎると思うので、またいずれこのコメント欄に添付しようかと思います☆計算お疲れさまでした!

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G-PONさん

> 結局、ごり押しで解くことになってしまいました。
> 明快な答えがあるならば、期待して待ちます…
> よろしくお願いします。


どんな答えでもOKなので正解です☆anの方もbnと同じぐらいシンプルな一般項が存在しますが、これまでにたくさんの複雑なanが多数寄せられました!個人的には収束する無限級数はanの方がなじみがあるため、anからできだけシンプルなものを作って、bnをそれに合わせたのですが、これを見つけるのというはちょっとひどい話だったかもしれません。

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G-PONさん

> 答えを拝見してくださりありがとうございます。
> ただ、今になってanがわかりました!
>
> 確かにこれなら、第1項と第4項から類推できますね。
> しかしながら無限級数の総和は、等比級数、e(階乗)、e^xや三角関数ぐらいしか覚えていませんでした。笑


追加の解答をありがとうございます!anも当初予定していた式です♪

複雑なanが送られてきたり、anだけどうしても見つからないというコメントをいただきましたので、anの方は良くない問題かと思ってしまっていましたが、G-PONさんにも見つけてもらえて少し安心しました☆級数を求めるときに、数列の分数が分裂して全て消えて行く様は衝撃だったのですが、受ける印象は人それぞれですね(笑)

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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