問99

1年後に出すための問題
<コメント>ちょうど1年早いですが、2017年の3月3日のための問題を作りました。来年の大学入試に出るかもしれません(笑)

問99

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> shah-san、雷時計、しょー、くわがたお、M.R、NaOH、スモークマン、coldia、ゴンとも、G-PON (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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shah-sanさん

> こんばんは


こんばんは。2通りの解答をありがとうございました♪正解です!最初の正解者ですね☆

1つ目は電卓が計算できる桁数に驚きました!81桁も計算できるとは!そして2つ目もかなり力押しの解答ですね☆

雷時計さん

> でどうでしょう?
>
> あと1問で100問達成ですね!!


正解です!いいですね、予定していた解き方に近いです♪

まさかここまで続けて来られるとは思っていませんでした!まだ余力が残っているので、力の限り続けさせていただきます☆次回は記念すべき第100問なので、99問の中から個人的に気に入っている問題を少し変えて出題するつもりです♪

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あさん

> nは自然数とする。
> 1〜nの書いたカードの中から無作為に引いてカードの数を記録し元に戻すことを4回行いカードに書いてあった数字を順にa、b、c、dとする。
> それらの数を用いてxyz平面にA(0,0,a) B(10,0,b) C(10,10,c) D(0,10,d)をとる。
> この時、4点ABCDが同一平面上にある確率をnであわらせ。


おもしろい問題を紹介してもらいありがとうございます♪(2n^2+1)/(3n^3)ですか?解く方は苦手なので、ミスしていないか不安です。図形と確率の問題かと思ったら、数列などいろんな知識が必要な問題でしたね!

以下解答
同一平面にあるためには、ベクトルAB=tAC+sADとなる。ここからt=1,s=-1となり、a+c=b+dを導ける。等式が成り立つ場合の数は、初項から順に、1+0,2+4,3+16,4+40,…というn+階差数列の和(公差が4の等差数列の和の数列の和)になる。よって(2n^3+n)/3となり、全部でn^4通りあるので、求める確率は(2n^2+1)/(3n^3)。

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> 少し頭を使ってみました。ま、基本は変わらないので、なにか別の解き方があるような。


こんばんは。別の解答もありがとうございます☆前回よりもかなり短縮されましたね!予定していた解答と方針はほぼ同じですが、もう少し計算が楽にできると思います♪

しょーさん

> こんなに力押しな問題はない、というくらい正攻法を地で行きました(^^;
> 方針としては「いらないものは全部カットして残ったものだけ相手にする」で、後は突っ走っただけです。それでも何とかなるもんなんですね、案外。。もしかしたら意外に近道がなかったりとか・・・
>
> ちなみにこの数は3063桁、最上位数6ですね。。上も下も一苦労でした。。これで例えば2017桁目の数を求めよなんて言われたらみんなブチ切れると思います(^^;


正解です!予定していた解答と解き方は同じですが、もっと計算が簡単にできる近道がありますよ☆問99という数字がヒントになってしまうかとも思っていたのですが(ただし99にするわけではないです)。

大きい数字の桁数や最上位数、またはその逆の小数の0以外の最初の位など、常用対数の問題が中間試験や期末試験によく出ていましたね♪今年は答えが2016桁になる問題が、どこかの高校で出てるかもしれません!

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> 「予定していた解答と方針はほぼ同じですが、もう少し計算が楽にできると思います♪」
> とのことなので、模範解答クイズじゃないんですけど、こんな感じですかね(笑)。でも、「楽」じゃないかなぁ。
>
> ところで、「あさん」から面白い問題を出されたみたいですが、挑戦状受付中?


こんばんは!いいですね、当初予定していた解答と同じです☆1と10しか出てこないので、比較的シンプルになると思います♪

問題を受け付けているわけではないのですが、いろいろの方から問題が送られてきます(笑)上に返信したあさんからの問題も解いてみたのですが、今のところ返事はないので正確な答えについては分かりません。他にも送られてきたものは、いくつかこれまでのコメント欄に添付されているため、探してみてくださいね!最近では問93の一番下にieitn06さんからのもあります☆

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あさん

> 解いて頂きありがとうございます。
> 最後の数え上げからの一般項の類推がやや強引ですが、答えは合ってます。
> 時間があればa+d=k(k=,2,3,……,2n)の時の(a,d)の組の総数を考えて(a,b,c,d)の組の総数を数え上げてみてください。
> 私も見習ってn=1,2,3と場合の数を求めて行って一般項を見つけれるようになりたいです。
>
> いつも面白い問題ありがとうございます。


添付していただいた問題の解答に関してのコメントありがとうございました☆たしかに数列の並びだけから一般項を予想するだけでは、数学として証拠不十分でしたね!試験だったら減点対象になりそうです。答えを求めるだけや、確認のためなら役立ちますが。前回の段階では気がつきませんでしたが、先程のヒントで分かりました♪

以下再解答(追加)です。
① a+d=1からn+1までのとき
a+d=kならa=1からk-1まであるため、Σ(k=2~n+1)(k-1)。ただしb+c=kもあるため、Σ(k=2~n+1)(k-1)^2。
② a+d=n+2から2nまでのとき
a+d=2nならa=d=nの1通り、a+d=2n-1ならa=nとa=n-1があるため2通り、……、a+d=n+2ならa=nから2までのn-1通り。よってΣ(k=1~n-1)kとなる。上記と同様にb+cもあるため、Σ(k=1~n-1)k^2となる。
①②より場合の数は、Σ(k=2~n+1)(k-1)^2+(k=1~n-1)k^2=n(n+1)(2n+1)/6+n(n-1)(2n-1)/6= (2n^3+n)/3、確率も前回と同じく(2n^2+1)/(3n^3)。

くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^


くわがたおさん、こんばんは!電卓がないと解けない解答ですね(笑)正解です☆ただおもしろい方法なので、数字の分け方によっては筆算でもなんとかできる範囲内にする方法もあるかもしれませんね!


> n=10の倍数の時、33^nの下3けたは001なので、


確認ですが、n=10の倍数ではなくて100の倍数ですか?3^nの一の位が1になるのはn=4の倍数のときなので。

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くわがたおさん

> mm2445さん、
>
> >確認ですが、n=10の倍数ではなくて100の倍数ですか?
> はい。うーん、そうなので、、答えは177になってしまうっす。^^;
>
> mm2445さん、
>
> 修正追コメントです。確かめしてませんが、、33^110の下三けた=449ですが、33^100の下3けた=001。だからたまたま正解になったのではないかと。m(__;m


くわがたおさん、33^100の下3けた=001なら、33^2000の下3けた=001なので、問題ないと思いますよ!よって今回の場合、33^17の下3けたがそのまま答えになりますね☆001を作るところが解き方としておもしろいので、この方法を新しい問題のアイデアに使いたいぐらいです♪

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M.Rさん

正解ですが、この方法は別解みたいなものですよ!電卓がなくても解ける、ほかの方法があります☆

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NaOHさん

> 算数合ってますかね。。?
>
> 一応考えたのは以下です


途中に出てきた数字の2つとも計算ミスしていますよ。解き方は完璧でしたので、正解にしますね☆

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スモークマンさん

> ヒント参照で…^^;
>
> ヒントなしでは計算する気が起こったかどうか…^^; Orz


正解ですが、163と699のみから答えを導いたってことですか?もしそうなら、ものすごい試行錯誤が必要な気がしますね!

ちなみに163を導いたような計算をもう一回だけすれば解けますよ♪

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スモークマンさん

> >163と699のみから答えを導いたってことですか?もしそうなら、ものすごい試行錯誤が必要な気がしますね!
>
> 163*m≡699
> は筆算で自動的に求められますよね?
>   解答にも書きましたが…
>
> 163x(**3)=489
> 163x(*73)=489+410=899
> 163x(673)=899+800=699
>
> ってな具合で求まりますです ^^;v


なるほど、筆算の形で順番に見つけたということでしたか!説明をありがとうございます☆前回の解答で、なぜ筆算をしっかり書いてあるのだろうと不思議に思っていました!

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coldiaさん

> そういえば下1006桁目を答える的な問題もありましたね、同じように(0が1000個続くんで)100万で割った余りからアプローチしようとしていますが面倒です(笑)


正解ですが、もちろんもっと計算が簡単な方法もありますよ♪

ちなみに1006桁の問題は、面倒な計算はたった1回(+2桁同士の掛け算が数回のみ)だけで終わるひらめき重視の問題です!

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ゴンともさん

> XMaxima で


不正解ですね!何度でも解答できるので、答えが分かったら再解答してくださいね☆

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ゴンともさん

> home edition では
>
> >これで例えば2017桁目の数を求めよなんて言われたらみんなブチ切れると思います(^^;
>
> IntegerDigits[33^2017];
> Take[%, -3]
> Part[%%, 1]
>
> enter 押して
>
> 6・・・・・・(2017番目の数値)
>
> これならぶちきれないですみますね。


ゴンともさん。答えだけ出せばいい算数とは違って、数学は答えに至るまでのプロセスや考える力を問う学問です!したがって全てほとんど同じ解き方では、小学校の算数と同じです。中学校までならともかく、実際に高校の試験や大学入試では仮に答えだけ合っていても、点数をもらえないですよ!またここでは逆に最終的な答えが仮に合っていなくても、解き方が正しい場合には正解にしています。とくに解法が斬新な場合には、別解として掲載させていただいています☆

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G-PONさん

> 問118で求めたものを使えそうですが…出題の時間軸では逆ですね。
> 根本的には同じような解き方になってしまいますが、問118の答えをそのまま使うのはなしに、地道にやってみることにします。
> よろしくお願いします。


いいですね!正解です♪

たしかに問118を使っても解けそうですね☆問118の法則は問99の時点では自分でも気がついていなかったので、その解法は全く思い付きませんでした!

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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