問89

365日ということは?
<コメント>今更ですが2016年に関する問題を作ろうとしたら、365日に関係する問題になってしまいました。今年とは関係ないですが、答えも少し日付に関係させてみました。

問89

<追加コメント>指摘されて気がつきましたが、今年は閏年なので365も今年と関係ないですね。全く今年と関連性のない問題になってしまいました(笑)むしろ366で問題を考えればよかった!

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> ネコ満月、M.R、くわがたお、shah-san、スモークマン、coldia (敬称略)

問題の一覧↓
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M.Rさん

> …答えと日付の関係が分かりませんが多分こうですよね?
> しかも今年は閏年で365も関係ありませんね(笑)


かなりおしいですね!まず見つけた数と、答えに書いた個数が違っていますよ(笑)あとM.Rさんの見つけたもの以外にも、例えばx=4も365x4=4^2+38^2と書けます♪

高校で多分習わない定理を見つけてしまうとは、さすがですね!実はこの定理を知らずに自分で解いてから、後付けで見つけました。つまり自分でまず解いたときには定理を忘れていましたが、解いていたら何か定理があるはずだと気がつきました☆

たしかに閏年の年に365の問題を出してしまうとは!かなりうっかりしていましたね(笑)

shah-sanさん

> こんばんは
>
> 答えが日付に関係する、ってことをすっかり忘れてました。
> う~ん、間違ってるんでしょうかね。


こんばんは!前半は完璧ですね♪ただ組み合わせは実はまだまだたくさんあるんですよ!例えばx=1なら365x1=2^2+19^2、x=2なら365x2=1^2+27^2と書けます☆

ネコ満月さん

正解です♪答えのみだったので、計算などで解いたのか、ヒントから推理したのか分かりませんが、いずれだとしてもすばらしいです!最初の正解者です☆

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M.Rさん

> 個数が違うとは…数え間違えでしょうか(;^ ^)
> 誰かに先を越されないようにと思って焦りましたね(^_^;)
> 今度こそ日付にも関連した答えが出ました(笑)


正解です♪と言うより、2つ目のこんな定理もあるんですね!これを使ったらもうほとんどそのまま答えが出ますね!サイトには知っていても数学オリンピックで有利にはならないと書いてありますが、今回と似たような問題がもし出たらかなり有利ですね♪これなら2016x=n^2+m^2や2017x=n^2+m^2で、年号に合わせて出題できそうですね☆

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くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^
>
> ※x=1の場合、√365≒19.104なので365-19^2=4なので、2と19。みたいにして、電卓をたたきました。m(__;m


くわがたおさん、こんばんは!

全部電卓をたたいて探したんですか?さすがですね!答えはかなりおしいです。多分どこかでミスしてしまったのかもしれません!

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くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^
>
> ※先ほどのときには、1つのxにつき、大きい方から順に2個までしか(何となく^^;)計算していませんでした。しかし間違えていたので、全部たたくはめになりました。x=5と10の場合は2個目で、x=20の場合は4個目!で出ました。逆にxがそれ以外の場合、1個めで出るのが少し不思議です。m(__;m


くわがたおさん、こんばんは☆正解です!全ての確認、お疲れさまです。案外ほとんど1個目で出るんですね!

365が5の倍数なので、その辺りに何かポイントありそうですね♪もうちょっとこちらでも何かタネがあるのか考えてみようと思います☆

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> 前回の間違いから大分時間が経ってしまいました。正解者も出ていることですし、あっさりした解法は皆様に任せて、力技の方を考えてみました。
> まぁ、あんまり変わらないかもしれませんが。


こんばんは。偶数や奇数の絞り込みと、後半の力技の解答ですか!正解です☆

ほかの方のコメントで知ったのですが、ほぼ一瞬で分かる公式もあるようです!ただ当初の予定では、あくまで高校までの知識で○×を絞り込み、×の方は本当にないかどうか力技で確認するというような方法を予定していました♪でも結局半分近くは力技ですね(笑)

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スモークマンさん

> 調べましたわ…Orz
> フェルマーの2平方定理から…
> 4m+1型の数は2平方数の和で表せるので…


不正解ですね。例えば2のときも365×2=1^2+27^2で表せますよ!

たしかにフェルマーの2平方定理を使うとショートカットできるのですが、高校では習わないので別の解き方もあります☆

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スモークマンさん

> そっかぁ…
> wikiで如何の事実を知りました☆


今度は多すぎですね(笑)平方数はmod 4で、0 or 1ですが、足したからといって全ての整数を網羅できるとは限りません。

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スモークマンさん

> 偶数x3はダメなのでした…^^;
> なのね!!
>
> 実際に確認してみましたですOrz


すばらしい!今回は正解です♪この問題の場合、解き方はいろいろありますがミスが出やすいので、実際に確認するのが一番確実ですね☆

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coldiaさん

> いかがでしょうか…
>
>
> この問題はしらみつぶし的な方法でしかアプローチ出来ないんでしょうかね?xの範囲が1~1000までとかになると絶望的なんでしょうか?


正解ですね☆例えば1000までにいくつあるかは、おそらく無理なのではと思います。ただし具体的なxを聞かれれば、比較的簡単にどうなのか分かる方法がいくつかあります!

方法1) xが2平方和で表せるか調べる
365が2平方和で表せるので、xが2平方和で表すことができれば、365xも2平方和で表せます(これは因数分解で証明できます)。つまりxが2平方和で表せるかどうか確認するだけです。47までなら問64の問題文中にあります。

方法2) xを素因数分解したときの4k+3型の素数の指数が全て偶数か調べる
365には4k+3型の素数がないので、xを素因数分解したときの4k+3型の素数の指数が全て偶数か確認します(高校の範囲ではありませんが、いわゆるフェルマーの二平方和定理です)。これはxを素因数分解するだけで終わります。

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自作問題を作ることが趣味。
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