問9

ベクトルと数列の問題
<コメント>ベクトルと数列を混合した問題です。

問9

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> ダイちゃん♂、たみひかのろ、いわちょ、dyne、shah-san、スモークマン、coldia、M.R (敬称略)

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ダイちゃん♂ さん

正解です!あっさり解いて、さすがです☆

コメントもありがとうございます♪新しい問題作りの励みになります!

No title

アッサリでもないですが^^;
割と力ずくでした><

むしろ、どうやってこんな問題を作れるのかが不思議です(笑)
きっと作る方が難しい…

ダイちゃん♂ さん

問9はあるとき突然思いついたんですが、数字を決めるための計算に時間がかかってしまいました。
この問題を解いたダイちゃん♂ さんは、数学をしっかり勉強されていることが想像できますね!

今後も新しい問題を次々と作成して行く予定です☆

いかがでしょう?

垂直ということで
a1*b1+a2*b2+a3*b3+・・・=0 になる n を探します。
an と bn の数字の差が 5 で、始めは両方ともマイナスから
始まるので、そのまま計算してしまいます。
a1*b1=14
a2*b2=6
a3*b3=0
a4*b4=-4
a5*b5=-6
a6*b6=-6
a7*b7=-4
数字を見るとこれらを足せば0になるので、
答えは7次元

たみひかのろさん

おしい、△です。実は7次元だけじゃないんですよ☆
1つ1つ計算しなくても、全てのnについて出すことができます♪

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たみひかのろさん

再度解答をありがとうございました!正解です☆

今度は文句なしの解き方でした♪すぐにこの方法に気がつくとは、すごいですね!

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いわちょさん

> 今日はこのあたりで終わりますね
> 久々に熱くなって楽しい時間でした
> また時間ができたら来たいと思います
> (問4が解けず悔しい…)

たくさんの解答をありがとうございます!お疲れ様でした☆

これからもまだまだ問題を追加していくので、もしよろしければぜひまた解いてみてくださいね。

ちなみに問4は完全にひらめきだけの問題なので、ほかの問題とは少し傾向が違いますね。答えに気がついたときは、多分すっきり爽快感ですよ♪

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dyneさん

> 連投ですみません。
> 楽しくて、ついつい解いてしまいます・・・
> よろしくお願いします。

ありがとうございます☆楽しんでもらえてうれしいです!

さすがですね、正解です!このころはまだ問題作りを始めたばかりで、答えがきれいな2つの整数になるように数時間数字を探していたことが思い出されます(笑)

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> 答えは、7次元または8次元
>
> 内積∑(i=1~n)a[i]b[i]=0を示すのが、普通に考える方法でしょうか(∑(i=1~n)の(・・)はi=1~nの和であることを示す)。
> ∑(i=1~n)a[i]b[i]=∑(i=1~n)(i-3)(i-8)=0となるnを求める。
> a[i]b[i]=(i-3)(i-8)=i^2-11i+24なので、∑(i=1~n)a[i]b[i]=n(n+1)(2n+1)/6-11×n(n+1)/2+24n= n(n+1)(n-16)/3+24n=n/3×[(n+1)(n-16)+72]=n/3×(n^2-15n+56)=n(n-7)(n-8)/3=0。n>0と仮定すると、n=7,8。よって、ベクトルaとbは7次元または8次元ベクトル。
>
> ふむ、芸がないです。で、多次元ベクトルでも成立する三平方の定理で計算。
> |b-a|^2=∑(i=1~n)|b[i]-a[i]|^2=∑(i=1~n)[i-8-(i-3)]^2=25n。|a|^2=∑(i=1~n)(i-3)^2=∑(i=1~n)(i^2-6i+9)=n(n+1)(2n+1)/6-3n(n+1)+9n。|b|^2=∑(i=1~n)(i-8)^2=∑(i=1~n)(i^2-16i+64)=n(n+1)(2n+1)/6-8n(n+1)+64n。
> なので、|a|^2+|b|^2-|b-a|^2=n(n+1)(2n+1)/3-11n(n+1)+48n=n(n+1)/3×(2n-32)+48n=2n(n-7)(n-8)/3=0。n>0と仮定すると、n=7,8。よって、ベクトルaとbは7次元または8次元ベクトル。
> 今回はa,bが単純なので、どちらで解いても差は出てないです。三平方の定理というと直交の条件下で使うイメージがありますが、当然直交判定の条件にも使えます(頭の引き出しの角にでも転がしとけばいいかな)。


こんにちは♪なるほど、ベクトルをそのまま三平方の定理に代入する方法ですか!仮に内積の式を知らなくて、ベクトルの意味しか覚えていなくても、これなら解けますね☆おもしろい別解です!

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スモークマンさん

解き方もいいですね☆この問題も正解です♪

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coldiaさん

> そういえば7次元は外積が定義できる最大の次元だそうですね(15次元でも定義が出来るかも知れないけど、構造が難しくまともに計算できないそうです)。


正解です♪外積の場合には、次元に上限があるとは知りませんでした!限界があるというのもちょっと不思議ですが。

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M.Rさん

正解です!この問題の頃はまだ問題作りになれていなくて、因数分解ができる形になるように、ひたすら探していたのを覚えています(笑)

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Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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