問78

素数と倍数と指数
<コメント>これまでの問題の解答と解説を作っていたら、急に思い付いた問題です。おかげでまた解答の作成が進みませんでした。
問78

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> くわがたお、shah-san、みまり、M.R、gb、しょー、スモークマン、coldia (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
スポンサーサイト

コメントの投稿

非公開コメント

管理人のみ閲覧できます

このコメントは管理人のみ閲覧できます

管理人のみ閲覧できます

このコメントは管理人のみ閲覧できます

管理人のみ閲覧できます

このコメントは管理人のみ閲覧できます

くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^
>
> (題意が若干不明ですが、、答えてしまう。^^;)
> ※不明なとこは主に、問題文中の「どんな」の要否についてでございます。m(__;m

くわがたおさん、こんばんは☆正解です!「全ての自然数n」という意味です。紛らわしくてすみません。

それはともかく正解です♪1人目の正解者ですね☆

shah-sanさん

> こんばんは

こんばんは!いいですね、正解です☆しっかりとした証明もありがとうございます!

たしかに帰納法で証明しそうですが、もっと簡単な方法でしたね♪

みまりさん

> (解答)

わかりやすい解答と証明をありがとうございます!完璧ですね、正解です☆

薬屋の嫁さん

> いつも「すごい!」と思いながら見させていただいています。私は数字は苦手で解けない事が多いですが、リンクさせていただければ…と思っております。お返事いただければ幸いです。

どこに返信すればよいか分からなかったので、読んでいただけるかわかりませんが、こちらに返事させていただきました。多くの方の勉強に参考にしてもらえるとうれしいので、自由にリンクしてもらってOKですよ☆コメント拍手ありがとうございました!

管理人のみ閲覧できます

このコメントは管理人のみ閲覧できます

M.Rさん

> 証明はまた考えさせてください

正解です!証明も分かったら、また知らせてくださいね☆ヒントなども受け付けていますよ♪

No title

証明はまだですがまた二項定理を使って解けそうな気が(笑)
また朝起きたら証明に挑戦します

M.Rさん

たしかに問50を参考にして作った問題です!問50のときはフェルマーの小定理などの公式で、ほとんどの解答者に解かれてしまったので、再登場させてみました♪

gbさん

正解ですが、2^n + 3^n + 5^n + 7^n + 11^n + 13^n + 17^n + 19^n + 23^n + 29^nは、2^(3*n + 5)+3^(n + 1)とは違って、ほとんど中学生の知識で解く問題ですよ♪もちろん証明という内容自体は、高校生ですが。

管理人のみ閲覧できます

このコメントは管理人のみ閲覧できます

しょーさん

> http://sheepwing.up.n.seesaa.net/sheepwing/image/20160206_1.jpg
> 1つ見つけよとあったんでいくつもあるかと思いきや・・・


正解です!「1つ見つけよ」ではなく、「1以外を見つけよ」ですよ☆1もどんなnでも割り切れますので、実は合計2つありますね♪

管理人のみ閲覧できます

このコメントは管理人のみ閲覧できます

スモークマンさん

この問題も正解ですね☆

管理人のみ閲覧できます

このコメントは管理人のみ閲覧できます

coldiaさん

> n=1のとき、
> (与えられた式)=129=3*43
> n=2のとき、
> (与えられた式)=2397=3*17*47
> なので、nによらない公約数は3となる必要があります。
> これを示していきます。
>
> (2^n,3^n,5^n,7^n,11^n,13^n,17^n,19^n,23^n,19^n)を3で割った余りを書いていくと
> n=1→(2,0,2,1,2,1,2,1,2,2)→和は15≡0 (mod3)
> n=2→(1,0,1,1,1,1,1,1,1,1)→和は9≡0 (mod3)
> n=3→(2,0,2,1,2,1,2,1,2,2)
> n=4→(1,0,1,1,1,1,1,1,1,1)
> …
> のようになります。n=k+1のときの組はn=kとn=1の組の掛け合わせで作るので、
> n=5のときは「n=4とn=1」を掛け合わせる→「n=2とn=1」を掛け合わせる→n=3と同じ
> n=6のときは「n=5とn=1」を掛け合わせる→「n=3とn=1」を掛け合わせる→n=4と同じ
> のように同じ計算が繰り返されるので、余りの組が周期2で循環します。
> したがってここまでの計算で全てを網羅できているので、いかなる自然数nに対しても3の倍数になることが示せました。
>
> したがって求める公約数は3です。
>
> ちなみにn=0のときは3^nの余りが0ではなく1になる関係で割り切れません。


正解ですね☆帰納法のような証明ですか!これまた新しい解答です♪

スポンサーサイト

プロフィール

mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

カテゴリ
アクセスランキング
[ジャンルランキング]
学問・文化・芸術
19位
アクセスランキングを見る>>

[サブジャンルランキング]
自然科学
3位
アクセスランキングを見る>>
更新率/拍手数/コメント数
開設してから現在までの
ーーーーーーーーーーーー
2017年6月までの
総拍手数: 49647拍手
ーーーーーーーーーーーー
2017年6月までの
全コメント数: 4860件
最新記事
全タイトルを表示
月別アーカイブ
07  06  05  04  03  02  01  12  11  10  09  08  07  06  05  04  03  02  01  12  11  10  09  08  07  06  05  04 
検索フォーム
簡易電卓
計算するとき使ってください♪
電 卓
リンク
関連記事
最新コメント
ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード
QR