問77

アイのルート
<コメント>通常のアイとは違って、あっさり解ける問題です。ルートの中にアイがあればまだ終わりではなく、最終的に導かれる答えにはアイを含みません。
問77

<問題の補足>今回は最終的に正の実数になるものを答えとします。補足を追加するのが遅れてすみません。

<追加コメント>実はずっと後回しにしていた一見大変そうなルートばかりの問74が、当初の予想よりも人気でした。今回はルートの問題に、高校生レベルの複素数を加えてまた出してみました♪

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> shah-san、いろは、みまり、M.R、雷時計、NaOH、くわがたお、スモークマン、coldia (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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shah-sanさん

> こんにちは
>
> こうなると、うまく開平できる問題を作る方が大変なのではないでしょうか。
> いつも楽しい問題、ありがとうございます。


こんにちは!早いですね☆

ただ√(2i)-√(-2i)=√(2i)×(1-i)の部分がミスしていましたよ。√(2i)-√(-2i)=√(2i)×(1+i)ですね。ほとんど正解なので、オマケしておきますね♪

いつも問題を楽しんでもらえてうれしいです☆たしかに計算できる形を探すのに時間がかかっていますね。

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shah-sanさん

> こんばんは
>
> おまけしてもらっておいてなんですが、
>
> ちゃいます?

こんばんは!おそらく√(-2i)を√(-1)√(2i)にすることができないのではないでしょうか。例えば√[(-1)x(-1)]は計算上1のみですが、√[(-1)x(-1)]を√(-1)√(-1)としてしまうと、√(-1)√(-1)=ixi=-1のみになってしまいます。

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shah-sanさん

たしかにshah-sanさんの言う通りでした!すみません、√iにはプラスマイナスがあるためですね。いろいろ丁寧に説明してもらいありがとうございます☆もちろん最初に送ってもらった答えで正解です♪

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shah-sanさん

> おはようございます
>
> いえいえ。
> 私も久しぶりに記憶のリフレッシュができて、楽しかったです。
>
> 複素数の開平は難しいですね。
> 悩まずというか気が付かずというかで
> さくさく計算すると簡単ですが、
> 知識があって悩み始めると難しくなるという。
> この問題も不思議な難問になってますよね。


おはようございます!shah-sanさんのおかげでミスに気がつきました。ありがとうございました☆

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いろはさん

オイラーの定理を使った解き方ですか!きれいな方法ですね♪解き方は完璧でしたが、計算ミスがありましたよ。√(3+4i)=(√5)f(θ/2)なので、与式の√の中身=√{√5(f(θ/2)-……ですね。最終的な答えは√5の分だけ少し変わりますが、正解にしますね☆

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みまりさん

> 今回の問題も取り組んでみたのですが、行き詰まってしまいました(^_^;
> 最初、√(3+4i)=√(2+i)²=2+iとしたのですが、同じように-2-iでもいいことに気づいて、「果たして答えは1つなのかな?」と疑問に思いました。
> 最初の考え方でいくと最終的な答えは1+iになったのですが、本当に答えはこれだけなのでしょうか?それとも答えが複数あるという考え方は何か間違っているのでしょうか?


たしかに最初答えが1+iのつもりで出題していました!たしかに答えが多数出てきてしまいますね。最終的に正の実数になるものが1つだけなので、それを答えとします☆後で問題の下に追加コメントを入れておきます。悩ませてしまいすみません。

shah-sanさん

> こんばんは
>
> 前のコメでははっきりは触れなかったことがありまして。
> 後回しにして忘れた、とも言います。 ww
> コメしか読んでない人のために、念のためというか一応というか。
> とりあえず、書いておこうかと。
>
> コメにあった√1=√[(-1)×(-1)]=√(-1)×√(-1)=i×i=-1というやつですか。
> 未知数xの二乗の平方根√(x^2)=|x|という、たぶん習われたと思いますが、√が正の平方根をになるようにする細工で、x=-1にすると、
> √1=√[(-1)^2]=|-1|=1、あるいは√1=√[(-1)^2]=√(-1)×√(-1)=|i×i|=|-1|=1。
> 開平するときは、(実部を)正に取る、ってルールなんでしょうね。
> これを認識してないと、√exp(ia)=exp(ia/2)で開平するときも、
> √exp(ia)=√exp(ia+2iπ)=exp(ia/2+π/2)=-exp(ia/2)で、符号が逆転するじゃないか、なんて困った状況になります。
> 今回だと√i=√exp(iπ/2)=exp(iπ/4)、でも√exp(iπ/2)=√exp(i5
> π/2)=exp(i5π/4)=-exp(iπ/4)、で、どっち?
> この場合は、2π周期の不定性なんて、気が付かなければ、悩まなくていいんですけどね。 ww


こんばんは!追加の説明をありがとうございます♪たしかにルートの中のマイナス通しの計算は、そのままできませんでしたね。

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M.Rさん

> 1+iは不正解なんですか…?
> なんかガウス平面とかイメージしながらやったら1+iになったんですが…(´・ω・`)


1+iでも正解ですよ!ただこの問題には、答えを全部見つけるのが大変なぐらい出てきてしまうんです。例えば3+4i=(2+i)^2と(-2-i)^2があるので、ルートを外すと2つ答えが出てきてしまいます。ルートを外すたびに答えがどんどん増えて行くので、最終的にものすごい数になってしまいます!ただしその中に、実数になるものは1つのはずです♪

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雷時計さん

> 式の変形だけだったので、答えのみ書きます。
>
> でどうでしょう?


正解です☆基本的には答えのみでOKですよ!

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NaOHさん

実数になるように考えてから計算してもらえるとは、すばらしい!この問題も正解ですね☆

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M.Rさん

> 計算したのではなく、他の方が式の変形だけと言っていたことや前の自分の答えと合わせての推測ですが(_ _;)
>
> 多分答えをkとでもおいて両辺を何度も移項、二乗していくんでしょうね…ちゃんと解き直してみたいです


正解です!多分前回と同じような解き方でも解けますよ☆2乗でしていく方法は考えていませんでしたが、それでも解けるんでしょうか?

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M.Rさん

> =kと置いて変形していくとk^8=16となりましたよ
> 合ってるかちょっと分かりませんが…(^^ゞ
> 最終的な答えにルートか虚数どちらかが含まれてしまうのでコメントか補足に修正がいるのではないでしょうか


たしかにあっさり解けましたね!ありそうで今までこの解答が出ていなかったのが不思議なぐらいです☆別解として載せますね♪

補足を入れたときに、修正するのを忘れていました。先程文章を変更しておきました!

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます、又は、こんにちは!!^^
>
> -√{2√(2i)}ではだめでしょうか?^^;
>
> ※みまりさんへのコメ返、√(3+4i)=2+i、等参照させていただきました。どうやったら1+iになるのでしょうか?^^;


くわがたおさん、こんにちは(コメントを見たときはもうお昼頃でした)。

√(2i)は実はまだ計算できますよ!コメントが紛らわしくて申し訳ありませんが、1+iというのは複数ある最終的な答えのうちの1つです。√(3+4i)は±(2+i)しかないですよ♪

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くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^


くわがたおさん、こんばんは!なるほどルートの外し方によっては、この答えにもなり得るんですね☆

いろいろな答えが出てきてしまう問題でした。式変形に何も問題がないので、正解です!

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スモークマンさん

いいですね、この問題も正解です♪

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coldiaさん

> 例えば
> 3+4i=5(cost+isint)
> cost=3/5、sint=4/5とおくと、
> (3+4i)^(1/2)=√5(cos(t/2)+isin(t/2))
> 半角の公式から、
> cos(t/2)=±√{(1+3/5)/2}=±√(4/5)
> sin(t/2)=±√{(1-3/5)/2}=±√(1/5)
> よって(3+4i)^(1/2)=±(2+i)
> ただしcosとsinの符号は、sint>0(すなわち2sin(t/2)cos(t/2)>0)であることから同じ符号を選びました。
>
> このような容量でiの混じった√を外す際には2価関数のため±の2つの値が出てきます。
> 今回、これを全部追ってみました。
> かなりの場合分けがありますが、√を外して出てくる±は複号任意なので、だいたい無視していい頃合いにつけ直せば合います。
>
> 頑張ってこつこつ√をはずすと式の値としては
> 0
> √2
> 2i
> ±1±i
> ±√{(√2+1)/2}±i√{(√2-1)/2}
> ±√{(√2-1)/2}±i√{(√2+1)/2}
> ±√{(√10+1)/2}±i√{(√10-1)/2}
> ±√{(√10-1)/2}±i√{(√10+1)/2}
> ±√{(√10+3)/2}±i√{(√10-3)/2}
> ±√{(√10-3)/2}±i√{(√10+3)/2}
> ±{√(√2+1)-i√(√2-1)}
> ±{√(√2-1)-i√(√2+1)}
> の35種類が出てきました。±はすべて複合任意です。
> 合ってる自信は全くありませんが。
> 結構重複がたくさんありました。
> あとは
> √(3+i)、√(3-i)、√(-3+i)、√(-3-i)みたいに
> ちょこっとマイナスをいじったりi倍したりという処理だけなので、思いの外大変な計算ではありませんでした(それでも大変ですが)。
> あとは√の中が実数の時は無理関数は多価にならない(√4=2、√(-4)=2iであって、√(-4)≠-2i)ので、解の数は4の倍数にはならないんだなあという感じでした。
>
> 今回は正の実数になるものということですので、計算結果は√2ですね。


なんと全通り出してもらえるとは!こちらもそのままcoldiaさんの解答を添付させていただきますね♪以前自分でも全部具体的に数字を出そうとしたのですが、途中であきらめました(笑)実際に計算しているときに、全てに対して4通りずつある訳でもないので、ちょっと厄介ですよね。

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

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