問35の答え

ヒント:f(x)=ax+bを代入して計算してみましょう。

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解答と解説は下にあります↓↓↓







※ こちらは問題の解答のみです。注意してください。問題は別の場所に掲載してあります。
解35
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No title

ちょっと問題文がまずいと思います.

つまり,「f(x)+f(x^2)+f(x^3)+…+f(x^15)」…(*)はxの整式であり,
これが「x^2+x+1で割り切れる」ならば意味に紛れはありませんが,
「どんな実数xについても」が付いてしまうと,(*)とx^2+x+1は,
もはや整式ではなく,xに応じて定まるある実数となります.
すると,この問題文は「実数が実数で割り切れる」と言っていることになりますが,
これは意味をなしません.

(例) f(x)=xの場合を考えます.
f(x)+f(x^2)+…+f(x^15)とx^2+x+1は,
何もことばを付けなければ,x^15+x^14+…+xとx^2+x+1という2つの整式であり,
「割り切れる」はちゃんと意味をなします.
(整式の割り算を実行して,剰余が0ということですね.)
一方,「どんな実数xについても割り切れる」ということは,
例えばx=0.1のときも割り切れるということになりますが
このときは,「0.111111111111111が1.11で割り切れる」ことになってしまいます.

ということで,問題文から「どんな実数xについても」を除く必要があると思います.
<問題の補足>も同様であり,「任意の実数xに対し」を除く必要があると思います.

解答は,p=0が除かれていますが,不適切だと思います.
もし「どんな実数xに対してもf(x)≠0」なら,値f(x)に関する記述になります
(もっとも,定数関数を1次関数に含めない立場であれば,
「任意の実数xに対してf(x)≠0」を満たす実係数1次関数f(x)は存在しません)
が,何もことばを付けない「f(x)≠0」は,関数f(x)に関する記述と解釈されます.
「整式f(x)は整式0ではなく,整式g(x)は整式0ではない」ことは,
「f(p)=g(p)の解p」からp=0を除く理由にはなりませんね.

解答方針は,提示されている「f(x)=ax+bを当てはめる」方法がベストでしょう.
ただ,f(x)がより高次の整式である場合に拡張することを考えると,
割り切れる条件は,別の見方も有意義かもしれません.
また,f(p)=g(p)の解についての考察は,ある程度,「f(x)が1次式」を用いずに
進めることもできるので,それも含めた解を提示します.

No title

題意の条件を満たすとき,恒等的にf(x)+f(x^2)+…+f(x^15)=(x^2+x+1)g(x)であり,
x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4は実数xに対して正だから,実数pに対して,
「f(p)=g(p)」⇔「(p^2+p+1)f(p)=(p^2+p+1)g(p)」
⇔「(p^2+p+1)f(p)=f(p)+f(p^2)+…+f(p^15)」
⇔「(p^2+p)f(p)=f(p^2)+…+f(p^15)」.

f(x)+f(x^2)+…+f(x^15)がg(x)=x^2+x+1で割り切れる条件を調べる.
ω=(-1+√3i)/2とすると,g(x)=(x-ω)(x-ω^2)だから,条件は
f(ω)+f(ω^2)+…+f(ω^15)=0かつf(ω^2)+f(ω^4)+…+f(ω^30)=0.
ここで,ω^3=1であることに注意すると,条件は15(f(1)+f(ω)+f(ω^2))=0となる.
[ここまでは,f(x)が1次関数であることは用いていません.次で使います.]
f(x)は1次関数だから,
(f(p)+f(q)+f(r))/3=f((p+q+r)/3)であり,条件はf((1+ω+ω^2)/3)=0,
つまり,f(0)=0.
これより,f(x)=ax (aは0でない定数)と表される.
(p^2+p)f(p)=f(p^2)+…+f(p^15)に代入して,
a(p^2+p)p=a(p^2+p^3+…+p^15).
a≠0より,p^4+p^5+…+p^15=0.
p^4(1+p+p^2)(1+p^3)(1+p^6)=0.
よって,実数解は,p=-1,0.

たけちゃんさん

不備があったようで、見つけていただきありがとうございます☆ただ今後ほとんど時間が取れそうにないので、修正がいつになるか分かりません。後ほどの記事でも記載するのですが、より新しい問題に関して返信や修正を優先させるかもしれません。

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