問75

9の倍数に特化した問題
<コメント>9の倍数の見分け方は、全ての桁の数字を足して9で割り切れるか確認でしたね♪例えば123456789なら1+2+3+4+5+6+7+8+9=45で、45が9で割り切れるので123456789も9の倍数です!倍数の詳しい内容はこちらです⇒☆2〜10の倍数

問75

<追加コメント>以下は問題の意味の補足です♪
まず0を使わない9で割り切れる9桁の数字を思い浮かべます。その9桁の数字から数字を抜き出し、9で割り切れるものを探します。もし9で割り切れるものが1つでも見つかれば、その数字は答えではありませんので、次の9桁の数字を考えます。どうしても9で割り切れる数字が見つからない場合は、その9桁の数字は答えの中の1つです。このような数字が何種類あるのか数えるという、普通に数えたらきりがない問題です☆上に書いてある177398182は取り出し方の具体例であり、問題とは関係ありません!

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> みまり、shah-san、M.R、くわがたお、スモークマン、coldia (敬称略)

問題の一覧↓
問題のまとめと難易度
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フェアリーグランマさん

177398182は問題ではありませんよ!まず何でもいいので、0を使わない9で割り切れる9桁の数字を思い浮かべます。その9桁の数字から数字を抜き出し、9で割り切れるものを探します。9で割り切れるものが1つでも見つかれば、その数字は答えではありませんので、次の9桁の数字を考えます。どうしても9で割り切れる数字が見つからない場合は、それは答えの中の1つです。このような数字が何種類あるのか数えるという、途方に暮れてしまう問題です☆

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服部夕音さん

親切なご連絡をありがとうございました☆こちらの理解力が乏しくて申し訳ありませんが、現在のブログのコメント欄を閉鎖して、新しいブログを始めるということでしょうか?今後も服部夕音さんの記事を読ませていただきたいと思っていますので、新しいサイトを紹介していただければぜひそちらに訪問したいです♪しかも服部夕音さんのブログ内に紹介していただけるのなら光栄です!うれしいです、ありがとうございます!今後ともどうぞよろしくお願いいたします。

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ハギ子さん

> こんばんわ!
>
> 全然違いますか?
>
> 頭使うのって面白いですね(^^♪
>
> あ、問題読み間違えました。
> やっぱり私のちからじゃ無理でした( ;∀;)

こんばんは♪たしかに不正解ではありましたが、ちょっとおしい感じですよ!208はどこから出てきたのか気になりますが。何度も解答できるので、もし分かったらぜひまた解答してくださいね☆

楽しんでもらえてうれしいです♪難しい受験をイメージしないような、気楽に解きやすい問題をできるだけ作成しています!

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みまりさん

すばらしい!1人目の正解者です☆丁寧な解答をありがとうございました!

問題を楽しんでいただけて、うれしいです♪できるだけおもしろい問題を作れるようにがんばりたいと思います☆

フェアリーグランマさん

考え方は合っていますよ!よって253897218にはいくつも9の倍数が隠れているため、答えではありません。

例えば9で割り切れる111111111は(11や11111など)どのように抜き出しても9で割り切れないので、答えの1つです!この111111111のような数字が、いくつあるか数えるという問題ですね☆

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ハギ子さん

> 何回もコメントしてごめんなさい。
> さっきの解答が間違っていると気づきました(;_;)
> やっぱりあきらめます(;_;)

いえ再解答ありがとうございます♪残念ながら違いますね。もっと少ないですよ!

もし何かひらめいたら、ぜひまた解答してくださいね☆

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shah-sanさん

> すいません。回答の再送です

> こんばんは

こんばんは!9桁目で9の倍数になる追加の説明も丁寧にありがとうございます♪さすがですね、正解です☆

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くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^
>
> ※当てずっぽうの理由その1:888,888,888から順に小さいものを888,878,711まで調べましたが、気が狂いそうになったため。^^;
>
> ※その2:成績優秀者の発表に載りたい為。m(__;m


くわがたおさん、こんばんは!

残念ながら不正解です!今回は当てずっぽうでは無理なぐらい多いですよ♪

半日後に成績優秀者を発表する予定です!がんばってくださいね☆

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M.Rさん

> はじめまして
> 学校の先生から問題を紹介されましたが、解けそうにないのでプログラムを作って数え上げてしまいました…
> 数学的な(まともな?)解き方が気になります

はじめまして、解答ありがとうございます!正解です☆解答者リストにお名前を掲載させてもらいました♪

ちなみに数学的な解答の流れは、一の位に入る数字の種類が8通り(9以外)、十の位に入る数字の種類が7通り(9と、2桁で9の倍数になる数1つ、計2つを引く)、百の位に入る数字の種類が6通り(9と、3桁で9の倍数になる数1つ、百と十の位の2桁で9の倍数になる数1つ、計3つを引く)……、と進んでいき、最後は全部で9の倍数になるのは?通りという感じですね。現在解説の作成が全く間に合っていないので、最近の問題の解答掲載がいつになるのかわかりません。よく分からない場合などは、遠慮なく質問してくださいね☆

学校の先生から、ということは、M.Rさんは現在高校生でしょうか?受験勉強などに役立ててもらえるとうれしいです♪

なるほど!

先に9の倍数判定をしようとしてました…それだと規則が探しにくいですね……
ただいま高校二年生です
また他の問題にも挑戦してみます

M.Rさん

高校二年生だと、もう高校で習う勉強を半分以上終えたところですね。

できるだけ幅広く問題を作成していますので、ぜひ挑戦してみてくださいね☆ときどき新しい問題を更新しています♪

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くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^
>
> ※御記事のコメント欄、M.Rさんへのコメ返を参考にさせていただきました。^^;


くわがたおさん、こんばんは。正解です!というか、ほとんど答えでしたね(笑)

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スモークマンさん

> かな…^^


完璧ですね♪正解です!

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coldiaさん

> まずどの桁も、その数自身を取り出したときに9の倍数になってはいけないので、9を用いてはいけません。
> この前提のもとで、1桁ずつ左から並べていきます。
>
> 1桁目
> 9以外のすべての数字が使えるので8通りあります。
> 例えば3を選んだことにしましょう。
>
> 2桁目
> 3*
> この*に当てはまる数は、
> ・9ではいけない。
> ・3+*が9の倍数になってはいけない。
> *に当てはまる数は6なので、6,9が今回は使用できません。
> 1桁目が3以外の場合でも、1*なら*≠8、2*なら*≠7、…、8*なら*≠1
> のように、使用できない(9以外の)数字が必ず1つだけ登場するようになっています。
> なので2桁目に当てはまる数は7通りあります。
> 今回は5を選んで
> 35
> にしましょう。
>
> 3桁目
> 35*の*に入る数を考えます。*は
> ・9ではいけない。
> ・5+*が9の倍数ではいけない。→4ではいけない。
> ・3+5+*が9の倍数ではいけない。→1ではいけない。
> ここで倍数判定法から、*+(何か)が9の倍数ではいけないことが分かりますが
> (何か)の部分も9の倍数ではないので、(何か)の部分を9で割った余りは1~8のどれかになります。すると、その余りが1のときは*≠8、2のときは*≠7…
> というように、*+(何か)が9の倍数になってしまうような*の候補が必ず1つあり、それが除外されます。
> 今回は9,4,1と除外されたので、6通りです。
> 356と選んだことにしましょうか。
>
> 4桁目
> 同様にすれば、4種の数字が除外されて5通りです。
> この例だと
> ・*は9ではない
> ・6+*は9の倍数ではない→3ではない
> ・5+6+*は9の倍数ではない→8ではない
> ・3+5+6+*は9の倍数ではない→5ではない
> ので3,5,8,9が除かれています。
>
> 5桁目
> 6桁目
> …
> 8桁目
> 8種の数字が除外されるので1通りです。
>
> 9桁目
> 8桁の各数字をすべて足して9で割った余りは0ではないはず(1,2,3,…,8)
> なので、その数字に対して9桁目を(8,7,6,…,1)に設定すれば9の倍数に出来ます。
>
> 以上より、8*7*6*5*4*3*2*1*8=322560通り
> だと思います。
>
> ここで、もう一つ議論しなければいけないことがあります。
> 1桁目は1種類(9)が除かれ
> 2桁目は2種類が除かれ
> 3桁目は3種類が除かれ
> …
> 8桁目は8種類が除かれる。
> ということを考察しましたが、
> この除かれる8種類は本当に8種類なのか?(重複はしないのか?)
> ということは非自明と思われます。
> ここで、各ステップで候補から除外される数字というのは必ず異なることを示します。
>
> 例えば5桁の数字abcde
> が確定していてそこにもう1つ数字を加えるとします。
> すなわち
> abcde*
> という6桁の数字を考えます。ルールによって
> ・*は9ではない
> ・e+*は9の倍数ではない ←
> …
> ・b+c+d+e+*は9の倍数ではない ←
> ・a+b+c+d+e+*は9の倍数ではない 
>
> このとき←をつけた2つの条件によって除外される*が等しいとします。
> つまり*≠k(=1,2,…,8)であるとします。
> これが除かれるということは、mod9として
> e≡9-k
> b+c+d+e≡9-k
> の両方の式が成り立っているということになります。
> これより、b+c+d≡0となり、bcdという取り出し方が9の倍数になってしまいます。
> これまでどの取り出し方も9の倍数にならないようにa~eを並べてきたので、b+c+dが9の倍数となることは有り得ず矛盾します。
> したがって、どの取り出し方でも9の倍数が作れないように並べている限り除外される数字が重複する可能性はありません。
>
> 以上より上のすべて議論が妥当であるといえます。
> したがって322560通りです。


さすがですね!掲載解答では省略してしまいましたが、coldiaさんがしっかり検討していただいた重複などの議論も本来ならするのがベストですね☆ありがとうございます!ただし最後に1つミスがあり、9桁目は8種類ではなく1種類ですよ。9の倍数になるための数字は1通りなので。ほぼ完璧なので、正解にしますね☆

No title

いきなりコメント欄にベタ打ちせずに紙に書いて思考をまとめてから書き込むよう気をつけます(笑)。
8!ですね。

coldiaさん

> いきなりコメント欄にベタ打ちせずに紙に書いて思考をまとめてから書き込むよう気をつけます(笑)。
> 8!ですね。


答えも正解です!直接ここに書いてしまうと、計算ミスなどもしやすそうですよね。

また細かいミスについては、ここではあまり気にしなくてもいいですよ☆解き方重視なので。

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
記事もいろんなところで書いています。

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