問71

ちょっと不思議な数列
<コメント>数字マニアにしかおすすめしない問題です。今回は1からひたすら順番に探しても、そう簡単には見つかりませんよ。制作者自身も途中で頭が痛くなりました(笑)

問71

<追加コメント>倍数判定法は必須です⇒倍数まとめ

答えが分かったら、下のコメント欄から解答↓↓↓
<正解者> くわがたお、shah-san、いわちょ、M.R、coldia (敬称略)

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問題のまとめと難易度
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くわがたおさん

> mm2445さん、こんばんは!!^^

くわがたおさん、こんばんは☆途中まではかなりいい感じでしたが、後半は完全に勘に頼りましたね(笑)11の倍数は前半は全く出てきませんが、途中から結構出てくるようになるんですよ♪あとたしか21項目は、倍数判定法によれば11の倍数ですよ。

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いろはさん

おしいですね☆解き方はOKですが、11の倍数だけは実はもっと複雑です♪11項目以降は複雑な数列になり、実際に21項目は11の倍数ですが、22項目は11の倍数になりませんよ。

11の倍数を最後に考えた方がいいかもしれませんね。今回はとくにすっきりした解き方はなく、探すのが面倒なだけの問題になってしまいました。

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くわがたおさん

> mm2445さん、おはようございます!!^^
>
> ※56項目まで手計算しました。その時。私は何をしているのだろうと思いました。^^;7の倍数判定のExcelの表を作れたのは、うれしかったっす。
> 合ってれば、だけど。m(__;m

くわがたおさん、おはようございます!すばらしい、正解です♪最初の正解者ですね☆

手計算って、筆算ということですか?56項はものすごいですね!3と7の倍数には法則がありますが、11の倍数はあまり規則性がないため、11の倍数はひたすら探すことになりますからね。執念の正解です☆

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> これは、大変でした。
> 一応、3,7,11の倍数の規則性みたいなものは出てくるんですが、複雑すぎて。目の子で勘定した方が早いかと思いきや、それも大変。桁が大きすぎて直接的な検算もできないので、あってるかどうかも確認できないし。とにかく疲れました。数え落としがないことを祈ります。

こんにちは!しっかり考えてもらえてうれしいです☆これはかなり大変な問題になってしまいましたね。n=202も231の倍数なのですが、2番目のものです。よってかなりおしいですが、不正解ですね。7の倍数のピックアップが違っていそうです。

3の倍数は10回周期があるのに対し、実は7の倍数は30回周期があります♪そして残ったnだけを残して、同じ1の位のものでくくって11の倍数を見ていくのが効率が良いかもしれません☆

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shah-sanさん

> こんにちは
>
> なんでやるかなぁ、計算ミス。

こんにちは♪再解答ありがとうございました!今度は正解です、すばらしい☆

3番目まで教えてもらいありがとうございます!

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いわちょさん

> ミスってそうだ…


ミスもなく、合っていますよ♪それなりの難問の予定でしたが、あっと言う間に解いてしまうとは!

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M.Rさん

すばらしい、正解です!たしかに2つ目は202項目ですよ☆7の倍数の周期はそれで合っていますが、他の倍数の周期が違うので、ランダムに現れると思います。

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スモークマンさん

> になるのかいなぁ…^^;


残念ながら不正解です。a152はたしか7や11の倍数ではなかったはずです!

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coldiaさん

> 非効率かもしれませんが書き出してみました。
>
> 231=3*7*11なので、3の倍数かつ7の倍数かつ11の倍数であれば良い。
> これを1つずつチェックしていきます。
>
> ・3の倍数について
> n>=11のときは、a1~a10の頭に1234567890(3の倍数)が付け加えられるだけなので、例えばa2≡0→a12≡1+2+3+…+9+0+a2≡0 (mod3) 、といった感じで添え字の下1桁が同じ場合は3で割った余りも等しくなります。
> よってa1~a10を調べれば網羅できて、
> この中で3の倍数となるのは
> a2=12, a3=123, a5=12345, a6=123456, a8=12345678, a9=123456789, a10=1234567890
> のとき(結構多い)。
> したがってanが3の倍数になるとき、nの末尾は2,3,5,6,8,9,0のどれである。
>
> ・7の倍数について
> 7で割った余りは、倍数判定法によると
> 下から3桁ずつ区切ってプラスマイナスと符号をつけて足し合わせた結果を7で割った余りと等しくなります。
> ここで、例えば a12=123456789012 と a15=123456789012345 に対して倍数判定法を用いると
> (a15の場合)=345-012+789-456+123
> =345-(012-789+456-123)
> =345-(a12の場合)
> という式が成り立ちます。したがって、anを7で割った余りをbnとおけば
> bn=100*{(n-2)%10}+10*{(n-1)%10}+n%10-b_(n-3)
> という漸化式が成り立ちます。%10は、10で割った余りという意味です(つまり36%10=6 など)。
> 「anを7で割った余りは、(n-2),(n-1),nを並べた3桁の数字からa_(n-3)を7で割った余りを引けば求まる」という意味です。難しい。
> つまり、7で割った余りは、nの下1桁と3つ前の項を使って次々作れるということです。nの下1桁と3つ前の余りの組が繰り返すところまで書き上げていきます。
> まず、mod7として
> 100a+10b+c≡2a+3b+c
> 100(a+1)+10(b+1)+(c+1)≡2(a+1)+3(b+1)+(c+1)≡2a+3b+c-1
> より、各桁の数字を全て1増やすと7で割った余りは1減るということに注意すると
> 901≡5, 012≡5, 123≡4, 234≡3, 345≡2, 456≡1, 567≡0, 678≡6, 789≡5, 890≡1
> という関係が準備できます(890,901のみ法則性が崩れているのは、9+1≠0なので桁の数字を1つ増やしたことになってないからです)。
> あとはbnの項を、上の3桁の余りと3項前の数字を随時用いながらかくと
> {bn}=
> 1,5,4,2,4,4,5,2,1,3,
> 3,4,1,0,5,0,0,1,5,1,
> 4,0,3,6,2,5,1,4,0,0,
> 1,5,4,2,4,…
> のようになり、bnの値 & nの下1桁の組が周期30で循環しました。
> したがってanが7で割れる⇔bn=0であるのは
> nを30で割った余りが14,16,17,22,29,0のときです。
>
> つまりanが21の倍数になるのは、nを30で割った余りが0,16,22,29のときです。
>
> ・11の倍数について。
> 同様の方針です。11で割った余りは、上から1桁ずつプラスマイナスの符号をつけて足した数の余りと等しいので、例えばmod11として
> a3=123≡1-2+3=2
> という計算を用います。また、
> a13=1234567890123=1-2+3-4+…+1-2+3≡(1-2+3-4+5-6+7-8+9-0)+a3
> =a3+5
> となるので、anを11で割った余りを横に10個ずつ並べていったとき、上段+5という計算で10個先の項を作ることができます。それを利用して楽をしつつ、
> anを11で割った余りをcnとして、cnが循環するまで書き出すと、
> {cn}=
> 1,10,2,9,3,8,4,7,5,5,
> 6,4,7,3,8,2,9,1,10,10,
> 0,9,1,8,2,7,3,6,4,4,
> 5,3,6,2,7,1,8,0,9,9,
> 10,8,0,7,1,6,2,5,3,3,
> 4,2,5,1,6,0,7,10,8,8,
> 9,7,10,6,0,5,1,4,2,2,
> 3,1,4,0,5,10,6,9,7,7,
> 8,6,9,5,10,4,0,3,1,1,
> 2,0,3,10,4,9,5,8,6,6,
> 7,5,8,4,9,3,10,2,0,0,
> 1,10,2,9,3,8,4,7,5,5,
> …
> というように周期110でcnが循環しました。c(n+10)≡cn+5という漸化式なので、10個連続で同じ数字が現れればその後循環します。
> これよりanが11の倍数⇔cn=0の条件は
> nを110で割った余りが0,21,38,43,56,65,74,87,92,109
> です。
>
> これと先の21の倍数になる条件を統合すると
> 231の倍数⇔nを330で割った余りが166,202,329
> となるので、題意を満たすnを小さい順に書いていくと
> n=166, 202, 329, 496, 532, 659, …
> 求める答えはn=166.
>
> いかがでしょうか?
>
>
> 結構頑張らないといけない問題でしたけど、下1桁が倍数判定の計算においてクリティカルなので10個ひとまとめで考えれば、11の倍数は余りが11種類あるのでそれが全種類縦に並ぶだろうと推測できるんで110個くらい書いてみるかーってなりますよね。


正解です♪これまでせいぜい2個目の答えまででしたが、3個目以降の答えも見つけてもらえるとは!すごいですね☆

通常は7の倍数の方が難しいですが、この場合は11の倍数の方が面倒な問題でした☆

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mm2445

Author:mm2445
アメリカ在住。日本人。
自作問題を作ることが趣味。
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